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12.3.2一次函数与二元一次方程教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 12
课题 12.3.2一次函数与二元一次方程 课时 2
教材分析 本节内容深化一次函数与二元一次方程的关系，重点探讨函数图象与方程解的几何意义。教材通过数形结合，引导学生理解“交点即解”的本质，并引入方程组解的情况（唯一解、无解、无穷解）与直线位置关系（相交、平行、重合）的对应。内容承上启下，既巩固函数与方程基础，又为后续学习不等式、优化问题铺垫，突出数学思想的应用。
学情 分析 学生已掌握一次函数图象与性质、二元一次方程解法，具备初步数形结合意识。但抽象理解“方程组的解即交点坐标”仍有困难，容易混淆代数与几何的对应关系。部分学生画图准确性不足，影响结论推导。需通过直观演示与分层练习，强化图象分析能力，突破认知难点。
核心素养目标 1. 知道一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组 2. 通过一次函数，了解二元一次方程组无解的情形 3. 会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况
教学重点 会用图象法解二元一次方程组
教学难点 会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 一次函数y=kx+b的图象与二元一次方程kx-y+b=0的解有何关系？ 一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解 以二元一次方程 kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b图象上。 一次函数与二元一次方程可以相互转化的，从形式到内容它们都是统一的。 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 两条直线可能相交，只有一个交点；可能平行，没有交点；可能重合，有无数个交点.上节课，我们知道一次函数上的点对应二元一次方程的解，那么，两个一次函数的交点坐标对应的是不是两个二元一次方程的公共解呢？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 (1)在同一平面直角坐标系中画出直线l1:y=-x+1与直线l2:y=2x+6; (2)直线l1与l2交于点P，根据图象，请你写出点P的坐标; (3)检验点P的坐标是不是方程组的解. (2)点P的坐标为(-2，2). (3)将x=-2，y=2代入方程组 经验证方程组中两个方程均成立， 故点P的坐标是方程组的解 归纳 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标. 解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这个函数值是何值． 利用函数图象解方程组: 过点A(0，-2)和B(2，3)画出方程5x-2y=4所对应的直线l:y=x-2. 同样地，点A(0，-2)和B(2，3)也在方程10x-4y=8所对应的直线上.所以方程5x-2y=4，10x-4y=8所对应的直线都是通过A(0，-2)和B(2，3)两点的直线l，如图，就是说，这两条直线重合.显然，直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解. 归纳 你能归纳运用图象法解二元一次方程组的一般步骤吗？ ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象的交点坐标 ④写出方程组的解 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式 师生互动，变式深化 例2、利用函数图象解方程组: 解:方程3x+2y=-2对应直线l1:y=-x-1. 方程6x+4y=4对应直线l2:y=-x+1. 作出直线l1和l2的图象如图，两条直线平行，故方程组无解. 归纳 二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 思考： 上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况:当把二元一次方程组化为 后，比较每个例题的两个方程中x的系数之比、y的系数之比、常数项之比，你发现了怎样的规律 ①当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解； ②当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷组解； ③当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解. 学生思考解答 学生思考，交流归纳，总结规律 通过例题的讲解，巩固所学知识 培养学生语言表达能力
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.二元一次方程组的解为，则一次函数y=5-x与y=2x-1的交点坐标为（ ） A.（2，3） B.（3，2） C.（-2，3） D.（2，-3） 2.用图象法解方程组时，下列选项中的图象正确的是（ ） 3.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点坐标为(-5，-8)，则方程组的解是 . 4.如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的的二元一次方程组的解是 . 5.利用函数图像解方程组： 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 一次函数与二元一次方程组的关系 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计 一次函数与二元一次方程组的关系
作业 设计 1.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 2.不解方程，下列方程组中无解的是（ ） A. B. C.D. 3、若二元一次方程组的解为，则函数与的图象的交点坐标为 . 4.已知函数y=k1x+b与函数y=k2x的图象如图所示，则方程组的解是 . 5.如图，直线l1:y1＝2x＋1与坐标轴交于A、C两点，直线l2:y2＝－x－2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P.求三角形APB的面积.
教学反思 本节课以图象探究为核心，学生通过动手画图、观察交点，有效理解了方程组的解义。但部分学生作图粗糙，导致分析偏差，需加强作图指导。时间分配可优化，增加小组讨论环节以深化理解。整体上，数形结合思想渗透成功，但需后续练习巩固几何与代数的转换能力。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十二章
课标要求 1.通过简单实例理解函数的概念，能识别函数关系；2.掌握一次函数的概念、图象和性质，能根据已知条件确定一次函数表达式；3.能用一次函数解决简单实际问题，体会模型思想；4.发展数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养
内容分析 函数是描述变量间关系的重要数学模型，一次函数是最基本的函数类型。本章从生活实例出发，通过观察变化规律引出函数概念，重点研究一次函数的表达式、图象和性质，并建立实际问题与数学模型之间的联系。学习本章能帮助学生初步形成用函数观点认识世界的思维方式，为后续学习各类函数奠定基础。
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标1.理解函数的概念，能判断两个变量间是否存在函数关系；2.掌握一次函数的概念，能根据条件确定表达式并绘制图象；3.理解k、b对一次函数图象的影响，掌握其性质；4.能用一次函数模型解决简单实际问题。（二）教学重点、难点重点：1.函数的概念理解2.一次函数的图象与性质难点：1.函数概念的形成过程2.实际问题中函数关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1 函数412.2 一次函数612.3一次函数与二元一次方程3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1函数(第一课时)1.通过具体实例（如行程问题、温度变化等），理解变量与常量的概念，并能区分两者。2.初步认识函数的概念，知道函数是描述两个变量之间依赖关系的数学工具。3.能根据给定的情境判断两个变量之间是否存在函数关系。1.学生能正确区分实际问题中的变量与常量。2.能举例说明生活中的函数关系（如“时间-路程”“单价-总价”）。3.能判断给定的两个变量是否构成函数关系（如“一个x值对应唯一y值”）。任务一：给出几个生活实例，让学生标出其中的变量与常量。任务二:提供多组变量关系，让学生判断哪些是函数关系，并说明理由。任务三:判断给定表格或描述是否符合函数定义。12.1函数(第二课时)1.掌握函数的三种表示方法：解析式法、表格法、图像法。2.能根据实际问题写出函数的解析式或列出对应数值表格。3.理解函数的对应关系，并能用解析式或表格描述变量之间的关系。1.能根据问题情境写出函数解析式2.能根据给定的函数解析式，计算并填写对应的数值表格。3.能分析表格数据，判断是否符合函数定义任务一：给定实际问题，让学生写出费用y与里程x的函数解析式。任务二：提供函数解析式让学生计算x取不同值时对应的y值，并填写表格。任务三：给出几个表格（部分含重复x值对应不同y值），让学生判断哪些表格表示函数关系。12.1函数(第三课时)1.理解函数图像的概念，能在平面直角坐标系中绘制简单函数的图像。2.能根据函数解析式描点作图，并分析图像的特征（如直线、曲线）。3.体会数形结合思想，理解函数图像与解析式的关系。1.能根据给定的函数解析式，正确描点并绘制图像。2.能分析函数图像的特征（如是否连续、上升或下降趋势）。3.能根据图像判断某个点是否在函数图像上。任务一：描点作图任务二：图像分析，让学生描述其变化趋势任务三：给出函数图像和几个点的坐标，让学生判断哪些点在图像上。12.1函数(第四课时)1.能综合运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图像）解决实际问题。2.通过生活实例（如汽车行驶问题、销售利润问题）建立函数模型。3.提高数学建模能力，体会函数在现实生活中的应用价值。1.能根据实际问题选择合适的函数表示方法（如用解析式计算、用图像分析趋势）。2.能结合具体情境（如“水费计算”“行程问题”）建立函数关系并求解。3.能综合运用函数知识解决稍复杂的开放性问题（如优化问题）任务一：实际问题建模任务二：给出某商品销量与利润的函数图像，让学生分析销量为多少时利润最高。任务三：设计开放性问题，分组讨论并展示解决方案。12.2一次函数(第一课时)1. 理解正比例函数的定义，掌握其一般形式 2.能根据实际问题建立正比例函数模型3.理解正比例函数的性质1. 能准确判断给定函数是否为正比例函数2. 能列举生活中的正比例关系实例3.能解释k在具体问题中的含义任务一：判断函数类型任务二：小组讨论并展示生活实例。任务三：分析k 的实际意义12.2一次函数(第二课时)1.理解一次函数的定义，掌握其一般形式y=kx+b（k≠0）2.能根据实际问题识别一次函数关系3.会判断给定的函数是否为一次函数1.能准确说出一次函数的标准形式2.能列举生活中的一次函数实例3.能正确判断函数是否为一次函数任务一：由正比例函数引出一次函数的概念任务二：认识平移，截距任务三：研究一次函数的图象12.2一次函数(第三课时)1.掌握一次函数的单调性2.理解一次函数与坐标轴的交点3.会求一次函数的特殊点1.能根据k值判断函数的增减性2.会求函数与坐标轴的交点任务一：画出一次函数图象任务二：研究一次函数的性质任务三：探究一次函数k，b的特点12.2一次函数(第四课时)1.理解待定系数法的基本思想，掌握用待定系数法求一次函数解析式的步骤。2.能根据已知条件（两点坐标或一点坐标及k值）确定一次函数的解析式。1.能准确描述待定系数法的步骤和原理。2.能根据给定条件正确设出函数解析式并求解参数。任务一：例题解析任务二：掌握待定系数法一次函数解析式12.2一次函数(第五课时)1.能建立简单实际问题的一次函数模型2.会用一次函数解决简单应用问题3.理解函数模型的实际意义1.能正确建立实际问题的一次函数模型2.能利用函数模型进行预测和计算3.能解释函数模型中参数的实际意义任务一：例题解析任务二：建立实际问题的一次函数模型任务三：认识分段函数。12.2一次函数(第六课时)1.理解一次函数与一元一次方程的关系2.掌握用图像法解一元一次不等式3.会利用函数图像分析方程的解1.能用图像法解简单方程2.能通过函数图像解不等式3.会分析函数图像与方程解的关系任务一：用图像法解方程2x+6=0任务二：用函数图像解不等式2x+6>0和2x+6<03.分析y=kx+b与x轴交点的意义12.3一次函数与二元一次方程(第一课时)1.理解二元一次方程可以转化为一次函数的形式，掌握两者之间的对应关系。2.通过具体实例，体会方程的解与函数图像上点的对应关系3.认识数形结合思想在解决数学问题中的价值1.能准确将二元一次方程变形为y=kx+b的形式。2. 能解释方程的解在函数图像上的几何意义3. 会利用函数图像求简单二元一次方程的整数解。任务一：将3x+2y=6等方程转化为函数形式任务二：分析方程与函数的解的关系12.3一次函数与二元一次方程(第二课时)1. 掌握通过绘制函数图像求二元一次方程组解的方法。2.掌握通过绘制函数图像求二元一次方程组解的方法。3.发展几何直观能力，提高解决实际问题的应用意识。1. 能正确画出两个一次函数的图像并确定交点坐标。2.能根据图像判断方程组有唯一解、无解或无穷多解的情况。3.能解决简单的实际问题（如相遇问题）。任务一：解方程组并验证任务二：分析不同斜率方程组解的情况12.3一次函数与二元一次方程(第三课时)1. 综合运用函数与方程的知识解决实际问题。2.通过优化问题，培养数学建模和决策能力。3.通过优化问题，培养数学建模和决策能力。1. 能建立实际问题的一次函数模型并转化为方程组。2. 会通过图像分析最优解（如成本最低、利润最大）。3.能解释解的合理性并进行验证。任务：设计旅游路线的最优方案
《函数与一次函数》单元教学设计
11.2图形在坐标系中的平移
11.1.平面内点的坐标(第三课时)
11.1平面内点的坐标(第二课时)
活动1：引入课题
12.1函数(第一课时)
活动2：探究函数的基本概念
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
12.1函数(第二课时)
活动2：探究函数的表示方法
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
函数与一次函数
活动2：探究用图象法表示函数。
12.1函数(第三课时)
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
12.1函数(第四课时)
活动2：函数三种形式的综合利用
活动3：例题讲解
活动2：探究正比例函数的概念
活动1：引入课题
活动3：探究正比例函数的性质
12.2一次函数(第一课时)
活动4：例题讲解
活动2：探究一次函数的概念
活动1：引入课题
活动3：画出一次函数的图象
12.2一次函数(第二课时)
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
12.2一次函数(第三课时)
活动2：探究一次函数的性质
活动3：探究一次函数k，b的特征
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究待定系数法求一次函数的解析式
12.2一次函数(第四课时)
活动3：例题讲解
12.2一次函数(第五课时)
活动1：引入课题
活动3：例题讲解
函数与一次函数
活动2：探究一次函数解决实际问题
活动1：引入课题
活动3：探究一次函数与一元一次不等式的关系
活动2：探究一次函数和一元一次方程的关系
12.2一次函数(第六课时)
活动4：例题讲解
12.3一次函数与
二元一次方程(第一课时)
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数和二元一次方程的关系
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动3：例题讲解
活动2：探究利用一次函数图象解二元一次方程组
12.3一次函数与
二元一次方程(第二课时)
活动1：引入课题
活动3：例题讲解
12.3一次函数与
二元一次方程(第三课时)
活动2：综合运用函数与方程的知识解决实际问题。
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第十二章 函数与一次函数
12.3.2一次函数与二元一次方程
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
知道一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组
01
通过一次函数,了解二元一次方程组无解的情形
02
会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况
03
02
复习旧知
一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；
一次函数y=kx+b的图象与二元一次方程kx-y+b=0的解有何关系？
以二元一次方程 kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b图象上。
一次函数与二元一次方程可以相互转化的，从形式到内容它们都是统一的。
02
创设情境
两条直线可能相交，只有一个交点；可能平行，没有交点；可能重合，有无数个交点.上节课，我们知道一次函数上的点对应二元一次方程的解，那么，两个一次函数的交点坐标对应的是不是两个二元一次方程的公共解呢？
03
新知探究
(1)在同一平面直角坐标系中画出直线l1:y=-x+1与直线l2:y=2x+6;
(2)直线l1与l2交于点P,根据图象,请你写出点P的坐标;
(3)检验点P的坐标是不是方程组的解.
03
新知探究
(2)点P的坐标为(-2,2).
(3)将x=-2,y=2代入方程组
经验证方程组中两个方程均成立,
故点P的坐标是方程组的解
03
新知探究
归纳
两个一次函数所在直线的交点坐标
二元一次方程组的解
从形到数
从数到形
一一对应
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值．
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
03
新知探究
例、利用函数图象解方程组:
x 0 2
y -2 3
过点A(0,-2)和B(2,3)画出方程5x-2y=4所对应的直线l:y=x-2.
03
新知探究
同样地,点A(0,-2)和B(2,3)也在方程10x-4y=8所对应的直线上.所以方程5x-2y=4,10x-4y=8所对应的直线都是通过A(0,-2)和B(2,3)两点的直线l,如图,就是说,这两条直线重合.显然,直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.
03
新知探究
你能归纳运用图象法解二元一次方程组的一般步骤吗？
一般步骤
①方程化成函数
②画出函数图象
③找出图象的交点坐标
④写出方程组的解
归纳
03
新知探究
例2、利用函数图象解方程组:
解:方程3x+2y=-2对应直线l1:y=-x-1.
方程6x+4y=4对应直线l2:y=-x+1.
作出直线l1和l2的图象如图,两条直线平行,故方程组无解.
03
新知探究
二元一次方程组的解的情况有三种：
（1）图象相交时，原方程组有唯一组解；
（2）图象重合时，原方程组有无穷多组解；
（3）图象平行时，原方程组无解.
归纳
03
新知探究
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况:当把二元一次方程组化为 后,比较每个例题的两个方程中x的系数之比、y的系数之比、常数项之比,你发现了怎样的规律
03
新知探究
①当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解；
②当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷组解；
③当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.二元一次方程组的解为，则一次函数y=5-x与y=2x-1的交点坐标为（ ）
A.（2,3） B.（3,2） C.（-2,3） D.（2，-3）
2.用图象法解方程组时，下列选项中的图象正确的是（ ）
A
A B C D
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点坐标为(-5,-8),则方程组的解是 .
4.如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的的二元一次方程组的解是 .
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：直线与直线y＝2x＋7的交点坐标为（﹣2，3），所以原方程组的解为
5.利用函数图像解方程组：
05
课堂小结
解二元一次方程组
当自变量为何值时两
个函数的值相等，以
及这个函数值是何值。
解二元一次方程组
确定两条直线
交点的坐标
从数的角度看
从形的角度看
一次函数与二元一次方程组的关系
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
2.不解方程，下列方程组中无解的是（ ）
A. B. C.D.
B
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3、若二元一次方程组的解为,则函数与的图象的交点坐标为 .
4.已知函数y=k1x+b与函数y=k2x的图象如图所示,则方程组的解是 .
（2，2）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，直线l1:y1＝2x＋1与坐标轴交于A、C两点，直线l2:y2＝－x－2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P.求三角形APB的面积.
解:由题意得方程组
解得
所以点P坐标为(－1，－1)，
所以S三角形ABP＝＝.
Thanks!
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