【人教七上数学情境课堂课件】综合与实践 进位制的认识与研究 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
人教新版 七上 数学
同步课件
2025年秋人教新版七上数学情境课堂教学课件
第二章 有理数的运算
综合与实践
进位制的认识与探究
1.能够理解不同进位制的概念，明确常见进位制(二进制、八进制、十进制)的基数和计数规则.
2.激发学生对数学在现代科技领域应用的兴趣，培养学生勇于探索新知识的精神和创新意识.
同学们还记得自己最早学习加法时的情景吗？是如何计算的？
是掰着手指进行计算的.
手指是世界上最古老的 “计算器”，这种掰手指算数的方式， 与目前使用最广泛的 “十进制记数法”密切相关． 而计算机使用的 “二进制记数法”，同样具有划时代的意义．
两种不同进位制的意义分别是什么？为什么会有不同的进位制？
不同进位制的数之间能否互相转换？如何进行转换呢？
二进制数之间能否进行运算？如何运算？是否还有其他进位制哇？
让我们带着这些问题
一起来探究进位制吧
活动目标
认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换以及进制数的加法运算，挖掘古代灿烂文明和现代科学技术的联系．
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活动准备
查阅相关资料，初步了解二进制；查找第十四届国际数学教育大会(ICME-14)标识及其介绍．
国际数学教育大会是在国际数学教育委员会指导下举办的全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，每 4 年举办一次，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”，对于推动世界范围内数学教育的发展具有重要意义.
活动任务
认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换
活动一
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说， “逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0~9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、 千位……．
问 题 尝试将“3721”的每个数字表示出来
3 7 2 1
3 个千
7 个百
1 个一
2 个十
3721=3×103+7×102+2×101+1×100
一个数可以表示成各数位上的数字与基
数的幂的乘积之和的形式．
规定当a≠0时，a0=1
任务1 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1011表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011)2就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
解：(1011)2 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20
= 8 + 0 + 2 + 1
= 11.
任务2 把89转换为二进制数和八进制数．
提示：
转换为二进制数时，把89表示成0或1与基数2的幂的乘积之和的形式；
转换为八进制数时，把89表示成0，1，2，3，4，5，6或7与基数8的幂的乘积之和的形式．
解：转换为二进制
法一 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.
89 ÷ 2 = 44······1
44÷ 2 = 22
22÷ 2 = 11
11÷ 2 = 5······1
5÷ 2 = 2······1
2÷ 2 = 1
因此，89 = = 1×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = (1011001)2 .
代表89由44个2和1个1组成；
代表44由22个2和1个1组成，因此89由22个22和1个1组成；
代表89由11个23和1个1组成；
代表89由5个24、1个23和1个1组成；
代表89由2个25、1个24、1个23和1个1组成；
代表89由1个26、1个24、1个23和1个1组成；
解：转换为二进制
法二
89
44
22
11
5
2
1
2
2
2
2
2
2
2
0
余数
1
0
0
1
1
0
1
低位
高位
将上式中的各步所得的余数按照逆序排列，即可得89 = (1011001)2 .
任务2 把89转换为二进制数和八进制数．
解：同理，用除8取余法把89转换为八进制数:
89 ÷ 8 = 11······1
11÷ 8 = 1······3
因此，89 = =1×82 + 3×81 + 1×80= (131)8 .
代表89由11个8和1个1组成；
代表89由1个82、3个8和1个1组成；
任务3 通过研究二进制数及十进制数之间的转换，你有哪些发现？进一
步地，你能进行其他不同进制数之间的转换吗？
解： (1)同一个数字，在不同的位置上表示不同的数值；
(2)由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同；
(3)一般地，先把二进制数写成不同位上的数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.
探究进制数的加法运算
活动二
二进制只用0和1两个数字，这正好与电路的断和通两种状态相对应，因此计算机内部都使用二进制．计算机在进行数(十进制)的运算时，先把接收到的数转换为二进制数进行运算，再把运算结果转换为十进制数，并输出结果．
任务1 查阅资料，分析计算机运算选择二进制的原因，从多个角度分析选择二进制的优越性．
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任务2 小组合作，研究二进制数的加法运算法则，并填写表1中的活动记录单.
加数 0 0 1 1
加数 0 1 0 1
和
0
1
1
(10)2
表1 活动记录单
(1)根据上面的加法运算法则，计算 (10010)2+(111)2，并交流一下计算方法．
( 1 0 0 1 0 )2
+ ( 1 1 1 )2，
( 1 1 0 0 1 )2
1
1
解：
(2)① 计算45+23；
① 45 + 23 = 68.
② 把45，23分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
③ 比较①②的计算结果是否相同．
相同
② 把45，23分别转化为二进制数，利用二进制数加法运算法则计算它们的和，再把和转化为十进制数，具体过程如下：
45=(101101)2 ，23=(10111)2
(101101)2+(10111)2 = 1×26+1×22=68
任务3 计算机的存储容量是指存储器能存放二进制代码的总位数，用于计量存储容量的基本单位是字节 (byte)．请研究手机、计算机等电子存储设备的容量以及它们存储的一些电子文件的大小，它们通常以什么单位表示？这些单位之间有什么关系？
太字节(TB)、吉字节(GB)、兆字节(MB)、千字节(KB)、字节(B)；
1TB = 210GB = 2100MB = 21000KB = 210000B
任务4 古人在研究天文、历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天、一年12个月、一小时60分钟的记时方法．结合角度、时间等实际问题，分小组讨论一下六十进制数的加法运算法则．
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任选下列主题之一进行研究
活动三
1.国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、 规模最大的学术盛会，每四年一届．ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办． 大会标识(图1)中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中 “洛书”与 “河图”
为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号(图2)可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．
图1
图2
拓 展
八卦中 称为阳爻， 称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，这样，图2中从左起第一个符号表示的二进制数为(011)2．
大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数得到一个四位数；将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数．
答：①先将会徽中的八卦符号依次转换为二进制数(011) ，(111) ，(100) ，(101) ；
②将上述二进制数分别转换为八进制数3，7，4，5；
③再将其整体看作八进制数(3745)8；
④最后将八进制数(3745)；转换为十进制数2021.
图1
图2
2.除了十进制、二进制、八进制等记数法，日常生活中还经常使用其他进位制，如十二进制、六十进制等．结合上述学习，写一篇与进位制有关的文章，包括进位制的意义及其运算，不同进位制的特点、适用范围及互相转换等．
同学们自行思考，并在组内进行交流.
每组选出代表向全班同学展示本组的研究成果，分享活动经验，并反思活动中的不足.
①明确分工：使每位成员都有明确的任务.
②完成活动任务，形成研究报告.
组成5～8人一组的研究小组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人.
展示交流
组建合作团队
方案构思
方案实施
讨论与交流，集思广益，形成解决任务的方案.
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成表、表现评分表、自我反思表等进行评价.与老师和全班同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动.
附：综合与实践活动研究报告的参考形式
报告主题：_________
___年级__班__组 报告时间：_______
1.活动名称
2.研究小组成员与分工
3.选题的意义
4.研究方案
5.研究过程
6.研究成果
7.收获与体会
8.对此研究报告的评价(由评价小组或教师填写)
1.(2025 威海)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
22＝1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝101102．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
22＝2×32+1×31+1×30＝2113．
将二进制数10112化为三进制数为( )
A. 1023 B. 1013 C. 1103 D. 123
A
2.将下列进位制数转化为十进制数.
(1)111001(2) ； (2) 421(5) .
解：(1)111001(2)
=1×25+1×24+1×23+ 0×22 + 0×21 + 1×20
=32+16+8+0+0+1
=57.
(2)421(5)
=4×52+2×51+1×50
=100+10+1
=111.
3.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.
如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，
采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数.
图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况(4×71+2×70=30)，
那么由图2可知，孩子自出生后的天数是_________.
提示：1×73+3×72+2×71+ 6×70=510(天)，
故孩子自出生后的天数是510天.
510
4.把八进制数53化为二进制的数.
解：53(8)
=581+380
=125 +024 +123 +022 +121+120
=101011(2).
43
=32+8+2+1
=125 +123+121+120
=43.
可以先将八进制转化为十进制，再转化为二进制
进位制的认识
与研究
进位制的定义
进位制的算法
进制即进位制，是人们规定的进位方法. 一般逢几进一便叫作几进制.
二进制：每位相加的结果如果超过1，则向前进1；
八进制：每位相加的结果如果超过7，则向前进1，并在本位上减去8
Thanks!
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