集合的表示,运算
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文档简介
高一数学集合与集合的表示方法、集合之间的关系、运算人教实（B）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
集合与集合的表示方法、集合之间的关系、运算
二、学习目标
1、首先通过实例，引入集合与集合的元素的概念，接着给出了空集的含义。然后，学习了集合的两种表示方法（列举法和特征性质描述法）；从观察集合与集合之间元素的关系开始，给出子集、真子集以及集合相等的概念，同时学习了用维恩（Venn）图表示集合，学习了交集、并集以及全集、补集的初步知识。
2、理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．培养从具体到抽象的思维能力．
5、理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
6、能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
三、知识要点
1、集合
①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
②表示
列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a，b，c}
描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P＝{x∣P（x）}.
如：
图示法：用文氏图表示题中不同的集合。
③分类：有限集、无限集、空集。
④性质：确定性：必居其一，
互异性：不写{1，1，2，3}而写{1，2，3}，集合中元素互不相同
无序性：{1，2，3}＝{3，2，1}
2、常用数集
复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集（或N＋） 有理数集Q
3、元素与集合的关系：
4、集合与集合的关系：
①子集：若对任意都有[或对任意的都有] 则A是B的子集。
记作：
②真子集：若，且存在，则A是B的真子集。
记作：B[或“”] AB，BC AC
③
④空集：不含任何元素的集合，用表示
对任何集合A有，若则A
注：
5、子集的个数
若，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n －1个和2n －2个。
6、①交集：
②并集：
③全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示。
④补集：
7、常用运算性质及一些重要结论
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
【典型例题】
例1. 已知P＝{0，1}，M＝{x∣xP}，则P 与M的关系为（ ）
解：∵P＝{0，1} ∴M＝{x∣xP}＝{，{0}，{1}，{0，1}}
∴P∈M 应选A
例2. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）某班较瘦的同学组成一个集合；
（2）集合｛1，，，0.5，0.8｝有5个元素；
（3）高一年级全体学生组成一个集合；
（4）集合A＝｛（1，－3）｝与B＝｛（－3，1）｝是同一集合。
策略：从集合的三个特征入手。
解答：（1）错。因为集合中的每个对象都是确定的。“较瘦的”是一个模糊的不确定的标准。因此（1）是错误的。
（2）错。对于一个给定的集合它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都应是不同的，所以这个集合只能有4个元素而不是5个。
（3）对。完全符合集合的特征。
（4）错。A＝｛（1，－3）｝表示的是点（1，－3）组成的集合，B＝｛（－3，1）｝表示的是点（－3，1）组成的集合。因此集合A、B是不相同的。
总结：1、判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征，缺一不可。
2、注意区分数集与点集的不同。
例3. 已知集合
①若，求实数m的取值范围；
②若，求实数m的取值范围。
解：
①
②
例4. 用列举法表示下列集合：
（1）｛平方后等于4的数｝；
（2）｛绝对值不大于3的整数｝；
（3）｛y︱y＝x２－２，x≤３，x∈Ｎ｝；
（4）｛（x，y）︱y＝x２－２，x≤３，x∈Ｎ｝。
思路：列举法就是将集合中的元素不重复、不计次序、不遗漏地列出来。
解：（1）因为平方等于4的数有2和－2，所以平方后等于4的数的集合是{2，－2}
（2）因为绝对值不大于3的整数有－3，3，－2，2，－1，1，0，所以绝对值不大于3的整数组成的集合是{－3，3，－2，2，－1，1，0}。
（3）因为x≤3，x∈N，所以x=0，1，2，3，所以y=－2，－1，2，7。所以{y︱y=x2－2，x≤3，x∈N}用列举法表示为{－2，－1，2，7}。
（4）由上题知，{（x，y）︱y＝x2－2，x≤3，x∈N}用列举法表示为{（0，－2），（1，－1），（2，2），（3，7）}。
例5. 已知集合，求实数b的取值范围。
解：，∴两点集M与N无公共点
点集M是一个半圆，点集N是随b变化的一组平行直线
例6. 已知集合A＝｛x︱ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R｝
（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合；
（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围。
策略：A表示的是方程ax2＋2x＋1＝0的解集。
解答：（1）当a＝0时，方程2x＋1＝0只有一根x＝－；当a≠0时，△＝0，即 4－4a＝0，所以a＝1，这时x1＝x2＝－1。
所以，当a＝0或a＝1时，A中只有一个元素分别为－或－1。
（2）A中至多有一个元素包括两种情形，即A中有一个元素和A是空集。当A是空集时，则有a≠0且4－4a<0，解得a>1；结合（1）知：当a＝0或a≥1时，A中至多有一个元素。
总结：
1、一般容易忽略a＝0的情况；
2、（2）中的a＝0或a≥1不能等同于a≥0，因为0到1之间的数不符合条件。
［本讲涉及的主要数学思想方法］
1、数学语言的转换是数学解题的重要方法之一，数学中的符号语言、文字语言及图形语言的互相转换，值得重视。
2、分类讨论的思想在数学的解题中有很重要的应用，一定要做到思考问题要严密，做到不重不漏。
3、数形结合思想在解决相关问题的时候，会起到很好的作用，使一些问题很快就得到解决。
【模拟试题】
一、选择题
1. 不能形成一集合的是 （ ）
A. 正三角形的全体 B. 《高一代数》中的所有难题
C. 大于2的所有整数 D. 所有的无理数
2. 用列举法将集合{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为 （ ）
A. {1，2}∈A B. {1，2}
C. 2＝{（2，2）} D. {（1，2），（1，1），（2，1），（2，2）}
*3. 满足｛a，b｝M｛a、b、c、d、e｝的集合M的个数有（ ）个
A. 2 B. 4 C. 7 D. 8
4. 以下四个关系：，，{}，，其中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 若集合，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列四个集合中，是空集的是 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
*7. A＝｛x | x ＝2n＋1，n∈Z｝，B＝{x | x＝4n＋1，n∈Z｝则A____B（填，，＝）。
8. 已知集合A有10个元素，集合B有8个元素，A∩B有4个元素，则集合
A∪B有________个元素。
9. 已知，，则B＝ 。
三、解答题
*10. 已知集合A ＝｛a2，a＋1，－3｝，B ＝｛a－3，2a－1，a2＋1｝，且
A∩B＝｛－3｝，求实数a的值。
11. 已知全集，，。求：，，。
**12. 设，，。
（1），求a的值；
（2），且＝，求a的值。
试题答案
一、选择题：
1~6 BDCADD
二、填空题
7、； 8、14； 9、{0，1，2}；
三、解答题
10、解： ∵A∩B＝｛－3｝
∴－3∈B．
①若a－3＝－3，则a＝0，则A＝｛0，1，－3｝，B＝｛－3，－1，1｝
∴A∩B＝｛－3，1｝与A∩B＝｛－3｝矛盾，所以a－3≠－3．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，则A＝｛1，0，－3｝，B＝｛－4，－3，2｝
此时A∩B＝｛－3｝符合题意，所以a＝－1．
11、解：；
；
；
＝＝{2}。
12、解：
（1）此时当且仅当，由韦达定理可得和同时成立，即；
（2）由于，，故只可能3。
此时，也即或，由（1）可得
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【本讲教育信息】
一. 教学内容：
集合与集合的表示方法、集合之间的关系、运算
二、学习目标
1、首先通过实例，引入集合与集合的元素的概念，接着给出了空集的含义。然后，学习了集合的两种表示方法（列举法和特征性质描述法）；从观察集合与集合之间元素的关系开始，给出子集、真子集以及集合相等的概念，同时学习了用维恩（Venn）图表示集合，学习了交集、并集以及全集、补集的初步知识。
2、理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．培养从具体到抽象的思维能力．
5、理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
6、能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
三、知识要点
1、集合
①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
②表示
列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a，b，c}
描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P＝{x∣P（x）}.
如：
图示法：用文氏图表示题中不同的集合。
③分类：有限集、无限集、空集。
④性质：确定性：必居其一，
互异性：不写{1，1，2，3}而写{1，2，3}，集合中元素互不相同
无序性：{1，2，3}＝{3，2，1}
2、常用数集
复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集（或N＋） 有理数集Q
3、元素与集合的关系：
4、集合与集合的关系：
①子集：若对任意都有[或对任意的都有] 则A是B的子集。
记作：
②真子集：若，且存在，则A是B的真子集。
记作：B[或“”] AB，BC AC
③
④空集：不含任何元素的集合，用表示
对任何集合A有，若则A
注：
5、子集的个数
若，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n －1个和2n －2个。
6、①交集：
②并集：
③全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示。
④补集：
7、常用运算性质及一些重要结论
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
【典型例题】
例1. 已知P＝{0，1}，M＝{x∣xP}，则P 与M的关系为（ ）
解：∵P＝{0，1} ∴M＝{x∣xP}＝{，{0}，{1}，{0，1}}
∴P∈M 应选A
例2. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）某班较瘦的同学组成一个集合；
（2）集合｛1，，，0.5，0.8｝有5个元素；
（3）高一年级全体学生组成一个集合；
（4）集合A＝｛（1，－3）｝与B＝｛（－3，1）｝是同一集合。
策略：从集合的三个特征入手。
解答：（1）错。因为集合中的每个对象都是确定的。“较瘦的”是一个模糊的不确定的标准。因此（1）是错误的。
（2）错。对于一个给定的集合它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都应是不同的，所以这个集合只能有4个元素而不是5个。
（3）对。完全符合集合的特征。
（4）错。A＝｛（1，－3）｝表示的是点（1，－3）组成的集合，B＝｛（－3，1）｝表示的是点（－3，1）组成的集合。因此集合A、B是不相同的。
总结：1、判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征，缺一不可。
2、注意区分数集与点集的不同。
例3. 已知集合
①若，求实数m的取值范围；
②若，求实数m的取值范围。
解：
①
②
例4. 用列举法表示下列集合：
（1）｛平方后等于4的数｝；
（2）｛绝对值不大于3的整数｝；
（3）｛y︱y＝x２－２，x≤３，x∈Ｎ｝；
（4）｛（x，y）︱y＝x２－２，x≤３，x∈Ｎ｝。
思路：列举法就是将集合中的元素不重复、不计次序、不遗漏地列出来。
解：（1）因为平方等于4的数有2和－2，所以平方后等于4的数的集合是{2，－2}
（2）因为绝对值不大于3的整数有－3，3，－2，2，－1，1，0，所以绝对值不大于3的整数组成的集合是{－3，3，－2，2，－1，1，0}。
（3）因为x≤3，x∈N，所以x=0，1，2，3，所以y=－2，－1，2，7。所以{y︱y=x2－2，x≤3，x∈N}用列举法表示为{－2，－1，2，7}。
（4）由上题知，{（x，y）︱y＝x2－2，x≤3，x∈N}用列举法表示为{（0，－2），（1，－1），（2，2），（3，7）}。
例5. 已知集合，求实数b的取值范围。
解：，∴两点集M与N无公共点
点集M是一个半圆，点集N是随b变化的一组平行直线
例6. 已知集合A＝｛x︱ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R｝
（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合；
（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围。
策略：A表示的是方程ax2＋2x＋1＝0的解集。
解答：（1）当a＝0时，方程2x＋1＝0只有一根x＝－；当a≠0时，△＝0，即 4－4a＝0，所以a＝1，这时x1＝x2＝－1。
所以，当a＝0或a＝1时，A中只有一个元素分别为－或－1。
（2）A中至多有一个元素包括两种情形，即A中有一个元素和A是空集。当A是空集时，则有a≠0且4－4a<0，解得a>1；结合（1）知：当a＝0或a≥1时，A中至多有一个元素。
总结：
1、一般容易忽略a＝0的情况；
2、（2）中的a＝0或a≥1不能等同于a≥0，因为0到1之间的数不符合条件。
［本讲涉及的主要数学思想方法］
1、数学语言的转换是数学解题的重要方法之一，数学中的符号语言、文字语言及图形语言的互相转换，值得重视。
2、分类讨论的思想在数学的解题中有很重要的应用，一定要做到思考问题要严密，做到不重不漏。
3、数形结合思想在解决相关问题的时候，会起到很好的作用，使一些问题很快就得到解决。
【模拟试题】
一、选择题
1. 不能形成一集合的是 （ ）
A. 正三角形的全体 B. 《高一代数》中的所有难题
C. 大于2的所有整数 D. 所有的无理数
2. 用列举法将集合{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为 （ ）
A. {1，2}∈A B. {1，2}
C. 2＝{（2，2）} D. {（1，2），（1，1），（2，1），（2，2）}
*3. 满足｛a，b｝M｛a、b、c、d、e｝的集合M的个数有（ ）个
A. 2 B. 4 C. 7 D. 8
4. 以下四个关系：，，{}，，其中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 若集合，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列四个集合中，是空集的是 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
*7. A＝｛x | x ＝2n＋1，n∈Z｝，B＝{x | x＝4n＋1，n∈Z｝则A____B（填，，＝）。
8. 已知集合A有10个元素，集合B有8个元素，A∩B有4个元素，则集合
A∪B有________个元素。
9. 已知，，则B＝ 。
三、解答题
*10. 已知集合A ＝｛a2，a＋1，－3｝，B ＝｛a－3，2a－1，a2＋1｝，且
A∩B＝｛－3｝，求实数a的值。
11. 已知全集，，。求：，，。
**12. 设，，。
（1），求a的值；
（2），且＝，求a的值。
试题答案
一、选择题：
1~6 BDCADD
二、填空题
7、； 8、14； 9、{0，1，2}；
三、解答题
10、解： ∵A∩B＝｛－3｝
∴－3∈B．
①若a－3＝－3，则a＝0，则A＝｛0，1，－3｝，B＝｛－3，－1，1｝
∴A∩B＝｛－3，1｝与A∩B＝｛－3｝矛盾，所以a－3≠－3．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，则A＝｛1，0，－3｝，B＝｛－4，－3，2｝
此时A∩B＝｛－3｝符合题意，所以a＝－1．
11、解：；
；
；
＝＝{2}。
12、解：
（1）此时当且仅当，由韦达定理可得和同时成立，即；
（2）由于，，故只可能3。
此时，也即或，由（1）可得
PAGE
用心 爱心 专心