九年级数学上册苏科版 第一章《 一元二次方程》单元复习题（含答案）

第一章《 一元二次方程》单元复习题
一、单选题
1．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ）
A． B．2 C． D．不能确定
2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
3．若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　）
A．6 B．2或 C．6或 D．6或
4．已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
5．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ．
7．已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
8．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为 ．
10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ．
三、解答题
11．解方程：
(1)； (2)．
12．解方程：．
解：设，则原方程可化为，得．
当时，即，解得：；
当时，即，解得：．
故原方程的解为．
上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：．
13．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根满足，求的值．
14．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结．
(1)若，，求的长．
(2)设，．
①线段的长是方程的一个根吗？说明理由．
②若，求的值．
15．小华计划用总长为的木板制作矩形置物架，其简化图如下图所示，已知该置物架上面部分为两个全等的矩形（矩形和矩形），下面左边部分为矩形，右边部分为矩形．已知，设置物架的长为．
(1)当时，的长为______．
(2)求置物架的高（用含x的代数式表示）．
(3)为了方便放置物品，要求的高度不能超过．若置物架的面积为，求置物架的长．
16.现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）
(1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高；
(2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？
17.坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？
参考答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可，注意二次项系数不为0的隐含条件．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
∴，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
3．C
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，分类讨论，掌握一元二次方程解法及勾股定理是解题的关键；先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度．
【详解】解：解方程，
因式分解得 ，
解得 ，；
当6和4均为直角边时，斜边为 ；
当6为斜边，4为直角边时，另一条直角边为 ，此时斜边仍为6；
由于斜边必为最长边，4不可能是斜边，
因此，斜边可能为6或，对应选项C；
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案．
【详解】解：把代入得：
，，，
相加得：，
，
，
∵，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得
，
故选：A．
二、填空题
6．
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可．
【详解】解：把 代入，得
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
7．
【分析】本题主要考查根据方程有解求参数，分两种情况，当时和当时，当时，一元一次方程有解，当当时，根据一元二次方程根的判别式，即可求出k的取值范围．
【详解】解：当时，即时，
则方程变成，
此时方程有解．
当时，即时，
则的方程为且有解，
∴，
解得：，且，
综上：关于的方程有解，则的取值范围是
故答案为：
8．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为和，
，，
，
．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．
设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，，求出和，即可求解另一个根与的乘积．
【详解】解：设方程的另一个根为，
由题意得，，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于t的方程是解题的关键．
设运动时间为秒，根据点的运动速度分别表示出和的长度，再利用直角三角形面积公式列出关于的一元二次方程，求解方程得到运动时间．
【详解】设经过秒时，的面积等于．
点的速度是，移动时间为秒，，则；
点的速度是，移动时间为秒，则．
∵，
∴ 的面积．
∵，
∴，
化简得，
即，
整理为，
解得．
所以经过的时间是．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：，
，
，
，
或，
，；
（2）解：，
，，，
，
，．
12．详解】解：设，则原方程可化为，
，解得．
当时，即，解得：；
当时，即，解得：．
故原方程的解为．
13．（1）证明：整理原方程得，，
，
无论为何实数，总有，从而，
即．
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程整理得，
方程的两个实数根、，
，，，
，
解得．
14．（1）解：由作图过程可知，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
答：的长为．
（2）解：线段的长是方程的一个根，
理由：
∵，，，，
∴，
由得，，
∴，
∴线段的长是方程的一个根．
由作图过程可知，，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
答：的值为．
15．（1）解：由题意知，
，矩形，矩形，
，
，
置物架上面部分是两个全等的矩形，
，
，
，
故答案为：55．
（2）解：，，，
；
（3）解：由题意得：，
，，
当时，，
，不超过，符合题意；
当时，，
，超过，不符合题意，舍去，
置物架的长为．
16.（1）解：设该长方体盒子的高为，
由题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该长方体盒子的高为；
（2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，
由题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：每个有盖盒子应降价4元．
17.（1）解：某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件，
∴设增长率为，
∴，
解得，（负值舍去），
∴若月平均增长率相同，月平均增长率为；
（2）解：售价每降低1元，每天销量可增加4件，
∴设降价元，则每天销量可增加件，
∴降价后的售价为元，销量为件，
∴降价后每件的利润为（元），
∴，
整理得，，
解得，，即，，
当降价为时，每天的销量为件，
当降价为时，每天的销量为件，
∵尽量减少库存，
∴售价应降低元．