九年级数学上册苏科版 第1章《一元二次方程》单元测试卷（含答案）

第1章《一元二次方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ）
A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1
2．下列方程中，是一元二次方程的有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．1或
5．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
8．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ．
9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
10．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ．
11．若方程是关于的一元二次方程，则 ．
12．已知方程的解是，，则方程的解是 ．
13．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ．
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
14．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ．
15．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ．
16．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．）
17．用指定方法解下列方程：
(1)；（配方法） (2)；（公式法）
18．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值：
(1) (2)
19．解方程：
(1)；
(2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解方程：，
解：方程两边同除以，得第一步
移项，合并同类项，得第二步
系数化为，得第三步
任务：
小蒋的解法从第_____步开始出现错误；
请写出此题的正确解题过程．
20．已知一元二次方程
(1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？
21．定义新运算“ ”：当时，；当时，．
如：∵，∴；
∵，∴．
(1)计算：_______；
(2)若，求x的值．
22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求a的取值范围；
(2)若，求a的值．
23．根据表格中的信息回答后面提出的问题．
方程 方程的根，
第1个方程 ，
第2个方程 ，
第3个方程 ，
第4个方程 ，
… … …
(1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______．
(2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性．
24．某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到．
(1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．
(2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？
25．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
26．利用以下素材解决问题．
茶叶定价问题
素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克．
素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克．
任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？
任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由．
27．如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)两平行线与之间的距离是______．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值．
(3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键．
将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值．
【详解】解：原方程为，
展开左边得，
移项，得，
方程化简为，
可得，，，
故选：B．
2．C
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条件即可．
【详解】①方程中，未明确说明，因此不一定是二次方程，排除．
②方程含有分式，不是整式方程，排除．
③方程含有两个未知数和，是二元二次方程，排除．
④方程展开后化简为，是一元一次方程，排除．
⑤方程符合一元二次方程的定义，正确．
⑥方程展开后为，是一元二次方程，正确．
综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个．
故选C．
3．D
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：．
4．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可．
【详解】解：将代入方程，
得：，即，
解得，
方程为一元二次方程，
二次项系数，即，
，
故选A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知，，，，则，然后列出，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：由题意可知，，，，
∴，
∴，
解得：（负值已舍去），
故选：．
6．C
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，解得：，
∴且，
故选：．
二、填空题
7．58
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：58．
8．
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程组配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
故答案为：．
9．9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：9．
10．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步，
∴矩形的长为步．
依题意，得：．
故答案为：．
11．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义得到，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
12．，
【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可．
【详解】∵方程的解是，，
∴方程的解为或，
解得，，，
故答案为：，．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足．
【详解】解：由题意得
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
∴当时，；
当时，，
∴当时，必有一个解，
∴x的取值范围是．
故答案为：．
14．3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可．
【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，，
∴可以把，看作是方程的两个根，
∴根据根与系数的关系可知：．
故答案为：．
15．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
，
∴，
∴，
故答案为：1．
16．或
【分析】本题考查一元二次方程的应用和解一元一次不等式，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．
令，解得的取值范围，然后分两种情况列得方程，解方程确定符合题意的的值即可．
【详解】解：令，
解得：，
当时，，
则，
整理得：，
因式分解得：，
解得：（舍）或，
当时，，
则，
整理得：，
解得：，
综上，的值为或，
故答案为：或．
三、解答题
17．（1）解：，
，
，
，
所以 ．
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
18．（1）解： m是一元二次方程的根，
，
，
；
（2）解： m是一元二次方程的根，
，
，
19．（1）解：，
，
∵x+5=0或，
，；
（2）解：在第一步中，方程两边同除以，需要，故小蒋的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
，
移项，得，
因式分解，得，
或，
，．
20．（1）解：将代入原方程得：，即；
（2）解：将代入原方程得：，即；
（3）解：将代入原方程可得：，
∴．
21．（1）解：
．
故答案为：．
（2）解：当时即，；
整理，得，
解得（舍去），
此时；
当时即，．
整理，得，
解得（舍去），
此时；
综上所述，符合题意的x的值为或．
22．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（1）解：第5个方程为，第5个方程的根为，；
故答案为：，，6；
（2）解：第个方程为，第个方程的根为，．
理由如下：，，，
，
，
，．
24．（1）解：设年增长率为x．
2022年平均亩产量为，2023年则为，2024年为．
∴．
化简得，
开方得
舍去负根，得，即年增长率为．
答：“红美人”平均亩产量的年增长率为．
（2）设增加种植面积y亩．
原来种植10亩，成本为万元．
增加后种植面积为亩，每亩成本为万元．
由种植成本不变，列方程：．
展开并整理得，
因式分解得．
解得（舍去）或，即应增加20亩．
答：2025年该合作社应增加种植面积20亩．
25．（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
26．解：任务1：设每千克茶叶应降价元，
则每千克的销售利润为元，
平均每周可售出千克，
根据题意得，
整理得，
解得；
∴每千克茶叶应降价元或元；
任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元；
∵尽可能让利于顾客
∴每千克茶叶应降价元，
则，
即该店应按原售价的八折出售；
任务3：不能，理由如下：
设每千克茶叶应涨价元，
则每千克的销售利润为元，
平均每周可售出千克，
根据题意得，
∴
∴
则，
此方程无实数根，
故不能达到41600元．
27．（1）解：过点作于点，
∵， ，
∴，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：在中，
∵， ，
∴，
∴，
①当四边形为平行四边形时， ，
∴，
∴，
②当四边形为平行四边形时， ，
∴，
，
综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）解：①当在边上时，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
解得 (舍去)，
②当在边上时，
，
解得；
综上所述或时，平行四边形的面积为．