3.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
知识梳理
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距.
例1 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝1，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在
反思感悟 椭圆定义的理解
(1)椭圆定义中包含一动点和两定点.
(2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离.
跟踪训练1 下列说法中正确的是( )
A.到点M(－4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B.到点M(0，－4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C.到点M(－4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0，－4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆
二、椭圆的标准方程
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
知识梳理
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
a，b，c的关系
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
反思感悟 (1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
(2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同的焦点.
三、椭圆的焦点三角形
例3 已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
延伸探究 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
反思感悟 椭圆焦点三角形的常用结论
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a＋2c.
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，过F1的直线交C于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|＝5，则|AB|等于( )
A.2 B.3 C.2 D.2
1.知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用.
(2)椭圆的标准方程.
(3)椭圆的焦点三角形.
2.方法归纳：分类讨论、待定系数法.
3.常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系.
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
1.点P为椭圆＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A.13 B.1 C.7 D.5
2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.＝1 B.＋y2＝1
C.＝1 D.＋x2＝1
3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A.(0，＋∞) B.(0，2)
C.(1，＋∞) D.(0，1)
4.已知点A，B是椭圆C：＝1上关于原点对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若|AF1|＝2，则|BF1|等于( )
A.1 B.2 C.4 D.5
答案精析
问题1 椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数.
知识梳理
常数(大于|F1F2|) 两个定点
两焦点间的距离 一半
例1 (1)A [∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆.]
(2)D [由题设知
|PA|＋|PB|＝1<|AB|＝2，
则动点P的轨迹不存在.]
跟踪训练1 C [由椭圆定义知，C正确.]
问题2 观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0).
根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
因为|MF1|＝
|MF2|＝
所以＝2a. ①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－. ②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a ③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得
(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，得
＝1， ⑤
由椭圆的定义可知，2a>2c>0，
即a>c>0，所以a2－c2>0.
令b＝
那么方程⑤就是
＝1(a>b>0). ⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.
问题3 ＝1(a>b>0).
知识梳理
＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2
例2 解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为
＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求椭圆的标准方程为
＋x2＝1.
(2)方法一 由题意得椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2
即a＝
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为
＝1.
方法二 由题意得椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
＝1(a>b>0)，
由题意知
解得
所以所求椭圆的标准方程为
＝1.
(3)方法一 (分类讨论法)
①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0).
依题意，有
解得
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0).
依题意，有
解得
所以所求椭圆的标准方程为
＝1.
方法二 (待定系数法)
设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
则解得
所以所求椭圆的方程为
5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＝1.
跟踪训练2 解 (1)方法一 (分类讨论法)
①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0).
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为
＝1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0).
由已知条件得
解得
则a2b>0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为
＝1.
方法二 (待定系数法)
设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
将两点(2，－)代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为
＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为
＝1(a>b>0).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
所以a2－b2＝16. ①
又点(－)在椭圆上，
所以＝1，
即＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为
＝1.
例3 解 由已知得a＝2b＝
所以c＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝4
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
延伸探究 解 由已知得
a＝2b＝
所以c＝＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝.
所以·|PF1|·|F1F2|
＝××6＝
即△F1PF2的面积是.
跟踪训练3 B [由椭圆的定义，知
|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝4，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝8，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF2|＋|BF2|＝5，所以|AB|＝3.]
随堂演练
1.D [由已知得a＝4，
|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5.]
2.A [由已知得c＝1，又由点P(2，0)在椭圆上，可得a＝2，则b2＝3，
∴椭圆的方程为＝1.]
3.D [∵方程x2＋ky2＝2，
即＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故04.C [
因为|OA|＝|OB|，
|OF1|＝|OF2|，
所以四边形AF1BF2是平行四边形，所以|BF1|＝|AF2|.
由椭圆的定义得
|AF2|＝2×3－|AF1|＝6－2＝4，
所以|BF1|＝4.](共89张PPT)
3.1.1
椭圆及其标准方程
第三章 §3.1 椭圆
<<<
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导(难点).
3.会求简单的椭圆的标准方程(重点).
学习目标
椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.例如，神舟十九号载人飞船在进入太空后，先以椭圆轨道运行，
导 语
后经过变轨调整为圆形轨道.那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番.
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程
课时对点练
三、椭圆的焦点三角形
随堂演练
内容索引
椭圆的定义
一
提示 椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数.
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
问题1
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距.
常数(大于|F1F2|)
两个定点
两焦点间的距离
一半
(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.
(2)定值必须大于两定点间的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
注 意 点
<<<
(1)设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
√
例 1
∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6，
由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆.
解析
(2)已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=1，则动点P的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在
√
由题设知|PA|+|PB|=1<|AB|=2，
则动点P的轨迹不存在.
解析
椭圆定义的理解
(1)椭圆定义中包含一动点和两定点.
(2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离.
反
思
感
悟
下列说法中正确的是
A.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆
跟踪训练 1
√
由椭圆定义知，C正确.
解析
二
椭圆的标准方程
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
问题2
提示 观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0).
根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.因为|MF1|=，|MF2|=，
所以+=2a. ①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，
得=2a-. ②
对方程②两边平方，得
(x+c)2+y2=4a2 -4a+(x-c)2+y2，
整理，得a2-cx=a， ③
对方程③两边平方，得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，
整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， ④
将方程④两边同除以a2(a2-c2)，得
+=1， ⑤
由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，
所以a2-c2>0.
令b=，
那么方程⑤就是+=1(a>b>0). ⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.
如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
问题3
提示 +=1(a>b>0).
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _______________ ________________
图形
焦点坐标 __________________ __________________
a，b，c的关系 ________
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
b2=a2-c2
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上.
注 意 点
<<<
(课本例1) 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点求它的标准方程.
例 2
由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).
由椭圆的定义知c=2，
2a=+=2
所以a=.
所以b2=a2-c2=10-4=6.
所以，所求椭圆的标准方程为+=1.
解
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
例 2
因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以
所以所求椭圆的标准方程为+x2=1.
解
(2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
方法一 由题意得椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a=+=2，
即a=，
又c=2，所以b2=a2-c2=6，
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
方法二 由题意得椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)，
由题意知
解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
(3)经过点P，Q.
方法一 (分类讨论法)
①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意，有
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
解
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意，有
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
方法二 (待定系数法)
设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).
则
所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1，
故椭圆的标准方程为+=1.
解
(1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
(2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).
反
思
感
悟
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，-)，；
跟踪训练 2
方法一 (分类讨论法)
①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
解
由已知条件得
则a2b>0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为+=1.
解
方法二 (待定系数法)
设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).
将两点(2，-代入，
得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
(2)过点(，-)，且与椭圆+=1有相同的焦点.
因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，
且c2=25-9=16.
设它的标准方程为+=1(a>b>0).
因为c2=16，且c2=a2-b2，
所以a2-b2=16. ①
又点(，-)在椭圆上，
解
所以+=1，
即+=1. ②
由①②得b2=4，a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
椭圆的焦点三角形
三
已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
例 3
由已知得a=2，b=，
所以c===3，
从而|F1F2|=2c=6，在△F1PF2中，
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4，
即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|=4.
所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=.
解
若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”，求△F1PF2的面积.
延伸探究
由已知得a=2，b=，
所以c===3.
从而|F1F2|=2c=6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2，
即|PF2|2=|PF1|2+36，
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4，
所以|PF2|=4-|PF1|.
解
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36，
解得|PF1|=.
所以=·|PF1|·|F1F2|=××6=，
即△F1PF2的面积是.
解
椭圆焦点三角形的常用结论
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a+2c.
反
思
感
悟
已知F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，过F1的直线交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=5，则|AB|等于
A.2 B.3
C.2 D.2
跟踪训练 3
√
由椭圆的定义，知
|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4，
所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，
即|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
又|AF2|+|BF2|=5，
所以|AB|=3.
解析
1.知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用.
(2)椭圆的标准方程.
(3)椭圆的焦点三角形.
2.方法归纳：分类讨论、待定系数法.
3.常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系.
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.点P为椭圆+=1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|=3，则|PF2|等于
A.13 B.1 C.7 D.5
√
由已知得a=4，
|PF2|=2a-|PF1|=8-3=5.
解析
1
2
3
4
2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+x2=1
√
由已知得c=1，又由点P(2，0)在椭圆上，
可得a=2，则b2=3，
∴椭圆的方程为+=1.
解析
1
2
3
4
3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0，+∞) B.(0，2)
C.(1，+∞) D.(0，1)
√
∵方程x2+ky2=2，
即+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴>2，故0解析
1
2
3
4
4.已知点A，B是椭圆C：+=1上关于原点对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若|AF1|=2，则|BF1|等于
A.1 B.2 C.4 D.5
√
1
2
3
4
因为|OA|=|OB|，|OF1|=|OF2|，
所以四边形AF1BF2是平行四边形，
所以|BF1|=|AF2|.
由椭圆的定义得|AF2|=2×3-|AF1|=6-2=4，
所以|BF1|=4.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
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5
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12
题号 1 2 3 4 5 6
答案 AC A C C A ＝1
题号 9 10 11 12
答案 B 4+2 B
7.
答案
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(1)由椭圆的定义得，2a＝|PF1|+|PF2|＝4，
∴a＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得，
|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°，
∴4c2＝15，∴c＝，b2＝a2-c2＝4-，
故椭圆C的方程为+4y2＝1.
(2)|PF1||PF2|sin 120°＝×(2+)×(2-)×.
8.
答案
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12
(1)方法一 由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，
则
化简并整理得5b4+11b2-16＝0，
故b2＝1或b2＝-(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为+y2＝1.
8.
答案
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12
方法二 由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，
则2a＝＝2，
所以a＝，因为c＝2，
所以b2＝a2-c2＝1.
故椭圆M的标准方程为+y2＝1.
8.
答案
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12
(2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±.
所以点P的纵坐标为-或.
基础巩固
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|+|PB|=2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a=2时，点P的轨迹不存在
B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
√
答案
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√
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12
当a=2时，2a=4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a=4时，2a=8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|=6，B错误，C正确；
当a=3时，2a=6=|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
解析
2.过点P和点Q的椭圆的标准方程是
A.+x2=1
B.+y2=1或+x2=1
C.+y2=1
D.以上都不对
√
答案
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12
设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)，
由题意得
所以此椭圆的标准方程为+x2=1.
解析
答案
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3.已知曲线C：+=1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
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若曲线C是椭圆，则有
解得a>0，且a≠2，
故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.
解析
4.设P为椭圆+=1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是
A.4 B.6
C.9 D.12
√
|PF1|+|PF2|=2a=6，
|PF1|·|PF2|≤=9，
当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号.
解析
答案
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12
5.P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|
=12，则∠F1PF2的大小为
A.60° B.30°
C.120° D.150°
√
答案
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由椭圆的定义得
|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=2，
∴(|PF1|+|PF2|)2=64，
∵|PF1|·|PF2|=12，∴|PF1|2+|PF2|2=40，
在△F1PF2中，
由余弦定理得cos∠F1PF2==，
∵0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2=60°.
解析
6.已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时|PF1|+|PF2|=
2|F1F2|，则椭圆的标准方程为 .
答案
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+=1
答案
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由已知，可设椭圆的方程为
+=1(a>b>0)，椭圆经过点P(2，)，
则+=1(a>b>0)， (*)
又|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，
由椭圆定义得2a=4c，即a2=4c2，
因为a2-b2=c2，所以b2=3c2，代入(*)式
得c2=2，所以a2=8，b2=6，
所以椭圆的标准方程为+=1.
解析
7.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2=120°，|PF1|=2+，|PF2|=2-.
(1)求椭圆C的方程；
答案
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答案
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12
由椭圆的定义得，2a=|PF1|+|PF2|=4，
∴a=2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得，
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°，
∴4c2=15，
∴c=，b2=a2-c2=4-=，
故椭圆C的方程为+4y2=1.
解
(2)求△PF1F2的面积.
答案
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12
=|PF1||PF2|sin 120°=×(2+)×(2-)×=.
解
8.已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
答案
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答案
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方法一 由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4+11b2-16=0，
故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5，
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
解
答案
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12
方法二 由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则2a=+
=2，
所以a=，因为c=2，所以b2=a2-c2=1.
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
解
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的纵坐标.
答案
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12
由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，
解得y0=±.所以点P的纵坐标为-.
解
9.已知椭圆C：+=1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点M满足=+，则||等于
A.6 B.4
C. D.2
答案
1
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12
√
综合运用
答案
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11
12
设椭圆C的右焦点为F2，连接PF，PF2，取PF的中点为N，如图所示，
由椭圆定义可知|PF|+|PF2|=2a=12，又|PF|=8，可得|PF2|=4.
易知=+=2，
所以||=2||，
又因为O为FF2的中点，所以ON∥PF2，
且|ON|=|PF2|=2，可得||=4.
解析
10.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆+=1上，则= .
答案
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答案
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12
由椭圆的方程得a=5，b=4，c=3.
则△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆+=1上，
∴|BC|+|AB|=2a=10，
∴由正弦定理可知===.
解析
11.如图，椭圆C：+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是 .
能力提升
答案
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12
4+2
答案
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11
12
因为M，O，N分别为PF1，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|=|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，所以|MP|=|ON|，
由四边形OMPN的周长为4可知，
|PF1|+|PF2|=2(|PM|+|PN|)=4，
即2a=4，所以a=2，则c==，
于是△PF1F2的周长是2a+2c=4+2.
解析
12.已知F1是椭圆+=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是
A.9- B.6-
C.3+ D.6+
√
答案
1
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答案
1
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11
12
如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，则F2(2，0)，
连接F2A并延长交椭圆于点P'，连接P'F1，PF2.
∵|PF1|+|PF2|=2a=6，
∴|PF1|=6-|PF2|，
∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|).
当点P位于P'时，|PA|-|PF2|最小，
其值为-|AF2|=-，
此时|PA|+|PF1|的最小值为6-.
解析
第三章 §3.1 椭圆
<<<作业30 椭圆及其标准方程
分值：80分
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
2.过点P和点Q的椭圆的标准方程是
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或＋x2＝1
C.＋y2＝1
D.以上都不对
3.已知曲线C：＝1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.设P为椭圆＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是
A.4 B.6 C.9 D.12
5.P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为
A.60° B.30° C.120° D.150°
6.已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆的标准方程为 .
7.(14分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－.
(1)求椭圆C的方程；(7分)
(2)求△PF1F2的面积.(7分)
8.(15分)已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；(8分)
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的纵坐标.(7分)
9.已知椭圆C：＝1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点M满足，则||等于
A.6 B.4
C. D.2
10.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝ .
11. 如图，椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是 .
12.已知F1是椭圆＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是
A.9－ B.6－
C.3＋ D.6＋
答案精析
1.AC [当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.]
2.A [设椭圆方程为
Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
由题意得
解得
所以此椭圆的标准方程为
＋x2＝1.]
3.C [若曲线C是椭圆，则有
解得a>0，且a≠2，故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.]
4.C [|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|PF1|·|PF2|≤＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号.]
5.A [由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝，
∵0°<∠F1PF2<180°，
∴∠F1PF2＝60°.]
6.＝1
解析 由已知，可设椭圆的方程为
＝1(a>b>0)，
椭圆经过点P(2，)，
则＝1(a>b>0)，(*)
又|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
由椭圆定义得2a＝4c，即a2＝4c2，
因为a2－b2＝c2，
所以b2＝3c2，代入(*)式
得c2＝2，所以a2＝8，b2＝6，
所以椭圆的标准方程为＝1.
7.解 (1)由椭圆的定义得，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，
∴a＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，
∴4c2＝15，∴c＝，
b2＝a2－c2＝4－，
故椭圆C的方程为＋4y2＝1.
(2)|PF1||PF2|sin 120°＝×(2＋)×(2－)×.
8.解 (1)方法一 由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为
＝1(a>b>0)，
则
化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
方法二 由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为
＝1(a>b>0)，
则2a＝＝2，
所以a＝，因为c＝2，
所以b2＝a2－c2＝1.
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为
×4×|y0|＝1，解得y0＝±.
所以点P的纵坐标为－或.
9.B [设椭圆C的右焦点为F2，连接PF，PF2，取PF的中点为N，如图所示，
由椭圆定义可知|PF|＋|PF2|＝2a＝12，
又|PF|＝8，可得|PF2|＝4.
易知＝2，
所以||＝2||，
又因为O为FF2的中点，
所以ON∥PF2，
且|ON|＝|PF2|＝2，
可得||＝4.]
10.
解析 由椭圆的方程得
a＝5，b＝4，c＝3.
则△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理可知.
11.4＋2
解析 因为M，O，N分别为PF1，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|＝|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，所以|MP|＝|ON|，由四边形OMPN的周长为4可知，
|PF1|＋|PF2|＝2(|PM|＋|PN|)＝4，即2a＝4，所以a＝2，
则c＝，
于是△PF1F2的周长是2a＋2c＝4＋2.
12.B [如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，则F2(2，0)，
连接F2A并延长交椭圆于点P'，连接P'F1，PF2.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|＝6－|PF2|，
∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|＝6＋(|PA|－|PF2|).
当点P位于P'时，|PA|－|PF2|最小，
其值为－|AF2|＝－，
此时|PA|＋|PF1|的最小值为6－.]
