第三章 习题课 轨迹问题(课件 学案 练习)高中数学人教A版 选择性必修第一册

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名称 第三章 习题课 轨迹问题(课件 学案 练习)高中数学人教A版 选择性必修第一册
格式 zip
文件大小 3.1MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-09-05 21:58:06

文档简介

作业31 轨迹问题
分值:80分
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.平面内一点M到两定点F1(0,-3),F2(0,3)的距离之和为10,则M的轨迹方程是
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.已知△ABC的周长为12,B(0,-2),C(0,2),则顶点A的轨迹方程为
A.=1(x≠0) B.=1(y≠0)
C.=1(x≠0) D.=1(y≠0)
3.已知P是椭圆=1上的动点,过P作y轴的垂线,垂足为A,若动点B满足=3,则动点B的轨迹方程为
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
4.(多选)已知A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是n.当保证M的轨迹是椭圆(去掉(-5,0),(5,0)两点)时,下列哪些n的值能满足条件
A.n=-1 B.n=
C.n=- D.n=-
5.动圆M与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,则动圆圆心M的轨迹方程是
A.=1 B.=1
C.+y2=1 D.x2+=1
6.已知点P为椭圆=1上的任意一点,O为坐标原点,M满足,则点M的轨迹方程为            .
7.(13分)如图所示,Rt△ABC的顶点A(-2,0),直角顶点B(0,-2),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.
(1)求边BC所在直线的方程;(4分)
(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;(4分)
(3)若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心N的轨迹方程.(5分)
8.(15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),且经过点A(2,3).
(1)求椭圆C的标准方程;(7分)
(2)若P是椭圆C上的动点,求PF的中点Q的轨迹方程.(8分)
9.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线交CQ于点M,则M的轨迹方程为
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
10.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,,则点M的轨迹方程为
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
11.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可能是
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线
12.已知A(-2,0),B(2,0)是x轴上两定点,C(0,m),D是y轴上两动点,则直线AC与BD的交点P的轨迹方程为
A.-y2=1(x≠±2)
B.+y2=1(x≠±2)
C.x2-=1(x≠±2)
D.x2+=1(x≠±2)
答案精析
1.B [平面内一点M到两定点F1(0,-3),F2(0,3)的距离之和为10>6,
所以点M的轨迹满足椭圆的定义,
且a=5,c=3,则b=4,
椭圆的焦点在y轴上,
所以点M的轨迹方程为
=1.]
2.A [∵△ABC的周长为12,
顶点B(0,-2),C(0,2),
∴|BC|=4,
|AB|+|AC|=12-4=8,
∴点A到两个定点B,C的距离之和等于定值,
又8>4,∴点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(不包含y轴上的两个点),
且a=4,c=2,
∴b2=12,∴点A的轨迹方程为
=1(x≠0).]
3.B [设P(x1,y1),B(x,y),
则A(0,y1),=(x-x1,y-y1),
=(-x1,0),
因为=3,
所以(x-x1,y-y1)=3(-x1,0),
可得
又点P在椭圆=1上,
则=1,代入得=1.]
4.CD [设点M(x,y)(y≠0),
依题意得·=n,
整理得=1,
因此点M的轨迹方程是
=1(y≠0),
要满足M的轨迹是椭圆(去掉(-5,0),(5,0)两点),
则-25n>0且-25n≠25,
即n<0且n≠-1,选项A,B不满足,选项C,D满足.]
5.B [设动圆M的圆心为M(x,y),半径为R,动圆M与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,
与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,
∴|MM1|+|MM2|=1+R+5-R=6,
∵|MM1|+|MM2|>|M1M2|=2,
∴该动圆圆心M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,且2a=6,c=1,
∴a=3,b2=8,
∴动圆圆心M的轨迹方程为
=1.]
6.=1
解析 设点M(x,y),
由得点P(2x,2y),
而点P为椭圆=1上的任意一点,于是得=1,
整理得=1,
所以点M的轨迹方程是
=1.
7.解 (1)∵kAB=-,AB⊥BC,
∴kCB=.
∴边BC所在直线的方程为
y=x-2,
即x-y-4=0.
(2)∵边BC所在直线的方程为
x-y-4=0,
令y=0,得C(4,0),
∴圆心M(1,0).
又∵|AM|=3,
∴圆M的方程为(x-1)2+y2=9.
(3)∵P(-1,0),M(1,0),
且圆N过点P(-1,0),
∴|PN|是该圆的半径.
又∵动圆N与圆M内切,
∴|MN|=3-|PN|,
即|MN|+|PN|=3>2.
∴点N的轨迹是以M,P为焦点的椭圆,且2a=3.
∴a=,c=1,
b=.
∴圆心N的轨迹方程为
x2+y2=1.
8.解 (1)依题意,设椭圆C的左焦点为F'(-2,0),从而有
解得
又a2=b2+c2,∴b2=12,
故椭圆C的标准方程为=1.
(2)设P(x0,y0),Q(x,y),
∵Q为PF的中点,

又P是=1上的动点,
∴=1,
即Q点的轨迹方程是
=1.
9.D [圆(x+1)2+y2=25的圆心为C(-1,0),半径为5,设点M(x,y),
∵AQ的垂直平分线交CQ于点M,
∴|MA|=|MQ|,
∴|MA|+|MC|=|MQ|+|MC|=|QC|=5>|AC|=2,
由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,∴b=,
故M的轨迹方程为=1.]
10.A [设M(x,y),A(x0,0),
B(0,y0),
由,
可得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),
则解得
因为|AB|=5,
所以=25,
即=1.]
11.AB [如图,设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆的半径为r.
若点A与点B不重合,由于两圆相内切,
则|AC|=R-r,由于r=|BC|,
∴|AC|=R-|BC|,
即|CA|+|CB|=R,
∴动点C到两个定点A,B的距离之和为常数R.
∵B为圆内的定点,∴|AB|∴动点C的轨迹为椭圆.
若A,B重合为一点,则此时动点C的轨迹为以C为圆心,为半径且过点A的圆.]
12.B [设点P(x,y),由题意可知
m≠0,x≠±2,
kAP=kAC,即, ①
kBP=kBD,即=-, ②
①×②得=-(x≠±2),
整理可得x2+4y2=4(x≠±2),
即+y2=1(x≠±2),
所以点P的轨迹方程为
+y2=1(x≠±2).]习题课 轨迹问题
学习目标 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程.
一、定义法求轨迹方程
问题 回顾圆、椭圆的定义,圆、椭圆上的点分别满足什么条件?
例1 一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
反思感悟 定义法求椭圆动点的轨迹方程的关键
(1)判断:符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.
(2)求值:椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.
跟踪训练1 已知定点B(-4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
二、代入法(相关点法)求轨迹方程
例2 设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.求点P的轨迹方程.
反思感悟 代入法(相关点法)求动点的轨迹方程的步骤
(1)设点:设所求轨迹上动点为P(x,y),已知曲线上动点Q(x0,y0).
(2)求关系式:用点P的坐标表示出点Q的坐标.
(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程.
(4)化简:化简方程得所求方程.
跟踪训练2 已知F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,点P是椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(  )
A.=1(y≠0)
B.+y2=1(y≠0)
C.+3y2=1(y≠0)
D.x2+y2=1(y≠0)
三、直接法求轨迹方程
例3 在平面直角坐标系Oxy中,已知点M(4,0),N(1,0),动点P满足·=6||.求点P的轨迹方程.
反思感悟 设轨迹上任一点的坐标为(x,y),轨迹方程就是x,y之间的等式,关键是找到等量关系,然后用x,y表示.
跟踪训练3 已知△ABC的顶点A(-4,0),B(4,0),且tan Atan B=.记点C的轨迹为曲线E,则E的方程为    .
1.知识清单:
(1)定义法求轨迹方程.
(2)代入法(相关点法)求轨迹方程.
(3)直接法求轨迹方程.
2.方法归纳:数形结合.
3.常见误区:在求动点的轨迹方程时,易忽略检查是否有要删除(增加)的点.
1.已知两定点A(2,0),B(-2,0),动点P(x,y)满足·,则点P的轨迹方程为(  )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.在平面直角坐标系Oxy内,动点P的坐标(x,y)满足方程=2,则动点P的轨迹方程为(  )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足=m+n,其中m,n∈R,且m2+n2=,则动点P的轨迹方程是(  )
A.x2+=1 B.+y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
4.在平面直角坐标系中,已知两点A(1,1),B(-1,-1),点P为动点,且直线AP与BP的斜率之积为-,则动点P的轨迹方程为(  )
A.x2+2y2=3
B.x2+2y2=3(x≠±1)
C.x2-2y2=3(x≠±1)
D.2x2+y2=3(x≠±1)
答案精析
问题 圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数.
例1 解 将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,可知该圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图.
设动圆圆心M的坐标为(x,y),
由于动圆与定圆内切,设切点为C,
∴定圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离,
即|BC|-|CM|=|BM|,
而|BC|=6,
∴|BM|+|CM|=6,
又|CM|=|AM|,
∴|BM|+|AM|=6,
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.
∴a=3,c=2,b=
∴动圆圆心M的轨迹方程为
=1.
跟踪训练1 解 由点B(-4,0),
C(4,0)可知|BC|=8.
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|.
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且点A不在x轴上,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10.由a=5,c=4,
得b2=a2-c2=25-16=9.
所以点A的轨迹方程为
=1(y≠0).
例2 解 设P(x,y),M(x0,y0),
则N(x0,0)=(x-x0,y),
=(0,y0),
由得x0=x,y0=y.
因为M(x0,y0)在椭圆C上,
所以=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
跟踪训练2 C [依题意知
F1(-1,0),F2(1,0),
设P(x0,y0)(y0≠0),G(x,y),
则由三角形重心坐标公式可得

代入=1,
得重心G的轨迹方程为
+3y2=1(y≠0).]
例3 解 设P(x,y),
则=(-3,0)=(x-4,y),
=(x-1,y),
∵·=6||,
∴-3(x-4)=6.
∴x2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2,
即3x2+4y2=12,
∴点P的轨迹方程为=1.
跟踪训练3 =1(x≠±4)
解析 设C(x,y),
则tan Atan B=·(x≠±4),整理得=1,
故E的方程为=1(x≠±4).
随堂演练
1.C [由题意知=(2-x,-y),
=(-2-x,-y),∴·=(2-x,-y)·(-2-x,-y)=x2+y2-4=即=1.]
2.B [由两点间的距离公式知,
=2的几何意义是点P(x,y)到点F1(-0)与F2(0)的距离之和为2
∵|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2
∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,设其长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则2a=22c=2
∴a=c=∴b2=a2-c2=3,
∴点P的轨迹方程为=1.]
3.B [由题意得
(x,y)=(2m+2n,m-n),
∴x=2m+2n,y=m-n,
∴m=n=
∵m2+n2=

即动点P的轨迹方程是+y2=1.]
4.B [设P(x,y),
∵A(1,1),B(-1,-1),
∴kAP=(x≠1),
kBP=(x≠-1),
由kAPkBP=-
得·=-(x≠±1),
即x2+2y2=3(x≠±1).
∴动点P的轨迹方程为
x2+2y2=3(x≠±1).](共71张PPT)
习题课
轨迹问题
第三章 圆锥曲线的方程
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1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.
2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程(重点).
学习目标
生活中我们处处可见轨迹的影子.例如:太阳一天中移动的轨迹,美丽的流星划过夜空留下的轨迹.
导 语
一、定义法求轨迹方程
二、代入法(相关点法)求轨迹方程
课时对点练
三、直接法求轨迹方程
随堂演练
内容索引
定义法求轨迹方程

提示 圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数.
回顾圆、椭圆的定义,圆、椭圆上的点分别满足什么条件?
问题
一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
例 1
将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,
可知该圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图.
设动圆圆心M的坐标为(x,y),
由于动圆与定圆内切,设切点为C,
∴定圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离,
即|BC|-|CM|=|BM|,而|BC|=6,
∴|BM|+|CM|=6,
又|CM|=|AM|,
∴|BM|+|AM|=6,

根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.
∴a=3,c=2,
b==,
∴动圆圆心M的轨迹方程为+=1.

定义法求椭圆动点的轨迹方程的关键
(1)判断:符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.
(2)求值:椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.




     已知定点B(-4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
跟踪训练 1
由点B(-4,0),C(4,0)可知|BC|=8.
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|.
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且点A不在x轴上,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10.由a=5,c=4,
得b2=a2-c2=25-16=9.
所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0).


代入法(相关点法)求轨迹方程
(课本例2) 如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?(当点P经过圆与x轴的交点时,规定点M与点P重合.)
例 2
设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则点D的坐标为(x0,0),由点M是线段PD的中点,得x=x0,y=.
因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以+=4. ①
把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=4,
即+y2=1.
所以点M的轨迹是椭圆.

设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.求点P的轨迹方程.
例 2
设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),
=(x-x0,y),=(0,y0),
由=得x0=x,y0=y.
因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.

代入法(相关点法)求动点的轨迹方程的步骤
(1)设点:设所求轨迹上动点为P(x,y),已知曲线上动点Q(x0,y0).
(2)求关系式:用点P的坐标表示出点Q的坐标.
(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程.
(4)化简:化简方程得所求方程.




已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P是椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为
A.+=1(y≠0) B.+y2=1(y≠0)
C.+3y2=1(y≠0) D.x2+y2=1(y≠0)
跟踪训练 2

依题意知F1(-1,0),F2(1,0),
设P(x0,y0)(y0≠0),G(x,y),
则由三角形重心坐标公式可得
代入+=1,
得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).
解析
直接法求轨迹方程

(课本例3) 如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-求点M的轨迹方程.
例 3
设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),
所以直线AM的斜率kAM=(x≠-5).
同理,直线BM的斜率kBM=(x≠5).
由已知,有×=-(x≠±5),
化简,得点M的轨迹方程为+=1(x≠±5).
点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.

(课本例6) 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是常数求动点M的轨迹.
例 3
如图,设d是点M到直线l:x=的距离,根据题意,动点M的轨迹就是
集合P=.
由此得=.
将上式两边平方,并化简,
得9x2+25y2=225,即+=1.
所以,点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.

在平面直角坐标系Oxy中,已知点M(4,0),N(1,0),动点P满足·=6||.求点P的轨迹方程.
例 3
设P(x,y),则=(-3,0),=(x-4,y),=(x-1,y),
∵·=6||,
∴-3(x-4)=6.
∴x2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2,
即3x2+4y2=12,
∴点P的轨迹方程为+=1.

设轨迹上任一点的坐标为(x,y),轨迹方程就是x,y之间的等式,关键是找到等量关系,然后用x,y表示.




已知△ABC的顶点A(-4,0),B(4,0),且tan Atan B=.记点C
的轨迹为曲线E,则E的方程为     .
跟踪训练 3
设C(x,y),则tan Atan B=·=(x≠±4),整理得+=1,
故E的方程为+=1(x≠±4).
解析
+=1(x≠±4)
1.知识清单:
(1)定义法求轨迹方程.
(2)代入法(相关点法)求轨迹方程.
(3)直接法求轨迹方程.
2.方法归纳:数形结合.
3.常见误区:在求动点的轨迹方程时,易忽略检查是否有要删除(增加)的点.
随堂演练

1
2
3
4
1.已知两定点A(2,0),B(-2,0),动点P(x,y)满足·=,则点P的轨迹方程为
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1

由题意知,=(2-x,-y),
=(-2-x,-y),∴·=(2-x,-y)·(-2-x,-y)=x2+y2-4=+=1.
解析
1
2
3
4
2.在平面直角坐标系Oxy内,动点P的坐标(x,y)满足方程
+=2,则动点P的轨迹方程为
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1

1
2
3
4
由两点间的距离公式知,
+=2的几何意义是点P(x,y)到点F1(-,0)与F2(,0)的距离之和为2,
∵|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2,
∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,设其长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,
则2a=2,2c=2,
解析
1
2
3
4
∴a=,c=,
∴b2=a2-c2=3,
∴点P的轨迹方程为+=1.
解析
1
2
3
4
3.已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足=m+ n,其中m,n∈R,且m2+n2=,则动点P的轨迹方程是
A.x2+=1 B.+y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1

1
2
3
4
由题意得(x,y)=(2m+2n,m-n),∴x=2m+2n,y=m-n,∴m=,n=,
∵m2+n2=,∴+=,
即动点P的轨迹方程是+y2=1.
解析
1
2
3
4
4.在平面直角坐标系中,已知两点A(1,1),B(-1,-1),点P为动点,且直线AP与BP的斜率之积为-,则动点P的轨迹方程为
A.x2+2y2=3
B.x2+2y2=3(x≠±1)
C.x2-2y2=3(x≠±1)
D.2x2+y2=3(x≠±1)

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设P(x,y),∵A(1,1),B(-1,-1),
∴kAP=(x≠1),kBP=(x≠-1),
由kAPkBP=-,得·=-(x≠±1),
即x2+2y2=3(x≠±1).
∴动点P的轨迹方程为x2+2y2=3(x≠±1).
解析
课时对点练

对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B CD B
题号 9 10 11 12 答案 D A AB B
7.
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(1)∵kAB=-,AB⊥BC,∴kCB=.
∴边BC所在直线的方程为y=x-2,
即x-y-4=0.
(2)∵边BC所在直线的方程为x-y-4=0,
令y=0,得C(4,0),∴圆心M(1,0).
又∵|AM|=3,
∴圆M的方程为(x-1)2+y2=9.
7.
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(3)∵P(-1,0),M(1,0),且圆N过点P(-1,0),
∴|PN|是该圆的半径.
又∵动圆N与圆M内切,
∴|MN|=3-|PN|,即|MN|+|PN|=3>2.
∴点N的轨迹是以M,P为焦点的椭圆,且2a=3.
∴a=,c=1,b=.
∴圆心N的轨迹方程为x2+y2=1.
8.
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(1)依题意,设椭圆C的左焦点为F'(-2,0),
从而有
解得
又a2=b2+c2,∴b2=12,
故椭圆C的标准方程为=1.
8.
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(2)设P(x0,y0),Q(x,y),
∵Q为PF的中点,

又P是=1上的动点,∴=1,
即Q点的轨迹方程是=1.
基础巩固
1.平面内一点M到两定点F1(0,-3),F2(0,3)的距离之和为10,则M的轨迹方程是
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.-=1

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平面内一点M到两定点F1(0,-3),F2(0,3)的距离之和为10>6,
所以点M的轨迹满足椭圆的定义,
且a=5,c=3,则b=4,
椭圆的焦点在y轴上,
所以点M的轨迹方程为+=1.
解析
2.已知△ABC的周长为12,B(0,-2),C(0,2),则顶点A的轨迹方程为
A.+=1(x≠0) B.+=1(y≠0)
C.+=1(x≠0) D.+=1(y≠0)

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∵△ABC的周长为12,
顶点B(0,-2),C(0,2),
∴|BC|=4,|AB|+|AC|=12-4=8,
∴点A到两个定点B,C的距离之和等于定值,
又8>4,∴点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(不包含y轴上的两个点),
且a=4,c=2,
∴b2=12,∴点A的轨迹方程为+=1(x≠0).
解析
答案
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3.已知P是椭圆+=1上的动点,过P作y轴的垂线,垂足为A,若动点B满足=3,则动点B的轨迹方程为
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1

答案
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设P(x1,y1),B(x,y),则A(0,y1),=(x-x1,y-y1),=(-x1,0),
因为=3,
所以(x-x1,y-y1)=3(-x1,0),
可得
又点P在椭圆+=1上,
则+=1,代入得+=1.
解析
4.(多选)已知A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是n.当保证M的轨迹是椭圆(去掉(-5,0),(5,0)两点)时,下列哪些n的值能满足条件
A.n=-1 B.n=
C.n=- D.n=-

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设点M(x,y)(y≠0),
依题意得·=n,
整理得+=1,
因此点M的轨迹方程是+=1(y≠0),
要满足M的轨迹是椭圆(去掉(-5,0),(5,0)两点),
则-25n>0且-25n≠25,
即n<0且n≠-1,选项A,B不满足,选项C,D满足.
解析
5.动圆M与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,则动圆圆心M的轨迹方程是
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.x2+=1

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设动圆M的圆心为M(x,y),半径为R,
动圆M与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,
与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,
∴|MM1|+|MM2|=1+R+5-R=6,
∵|MM1|+|MM2|>|M1M2|=2,
∴该动圆圆心M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,
且2a=6,c=1,∴a=3,b2=8,
∴动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
解析
6.已知点P为椭圆+=1上的任意一点,O为坐标原点,M满足=,
则点M的轨迹方程为     .
答案
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+=1
设点M(x,y),由=得点P(2x,2y),而点P为椭圆+=1上的任意一点,于是得+=1,整理得+=1,所以点M的轨迹方程是+=1.
解析
7.如图所示,Rt△ABC的顶点A(-2,0),直角顶点B(0,-2),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.
(1)求边BC所在直线的方程;
答案
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∵kAB=-,AB⊥BC,∴kCB=.
∴边BC所在直线的方程为y=x-2,
即x-y-4=0.

(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;
答案
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∵边BC所在直线的方程为x-y-4=0,
令y=0,得C(4,0),∴圆心M(1,0).
又∵|AM|=3,∴圆M的方程为(x-1)2+y2=9.

(3)若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心N的轨迹方程.
答案
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∵P(-1,0),M(1,0),且圆N过点P(-1,0),
∴|PN|是该圆的半径.
又∵动圆N与圆M内切,
∴|MN|=3-|PN|,即|MN|+|PN|=3>2.
∴点N的轨迹是以M,P为焦点的椭圆,且2a=3.
∴a=,c=1,b===.
∴圆心N的轨迹方程为x2+y2=1.

8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),且经过点A(2,3).
(1)求椭圆C的标准方程;
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依题意,设椭圆C的左焦点为F'(-2,0),
从而有
解得
又a2=b2+c2,∴b2=12,
故椭圆C的标准方程为+=1.

(2)若P是椭圆C上的动点,求PF的中点Q的轨迹方程.
答案
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设P(x0,y0),Q(x,y),
∵Q为PF的中点,

又P是+=1上的动点,
∴+=1,
即Q点的轨迹方程是+=1.

9.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线交CQ于点M,则M的轨迹方程为
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
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综合运用
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圆(x+1)2+y2=25的圆心为C(-1,0),半径为5,设点M(x,y),
∵AQ的垂直平分线交CQ于点M,
∴|MA|=|MQ|,
∴|MA|+|MC|=|MQ|+|MC|=|QC|=5>|AC|=2,
由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,∴b=,
故M的轨迹方程为+=1.
解析
10.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=
+,则点M的轨迹方程为
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
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设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),
由=+,
可得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),

因为|AB|=5,所以+=25,
即+=1.
解析
11.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可能是
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.射线

能力提升
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如图,设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆的半径为r.
若点A与点B不重合,由于两圆相内切,
则|AC|=R-r,由于r=|BC|,
∴|AC|=R-|BC|,即|CA|+|CB|=R,
∴动点C到两个定点A,B的距离之和为常数R.
∵B为圆内的定点,∴|AB|若A,B重合为一点,则此时动点C的轨迹为以C为圆心,为半径且过点A的圆.
解析
12.已知A(-2,0),B(2,0)是x轴上两定点,C(0,m),D是y轴上两动点,则直线AC与BD的交点P的轨迹方程为
A.-y2=1(x≠±2) B.+y2=1(x≠±2)
C.x2-=1(x≠±2) D.x2+=1(x≠±2)

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设点P(x,y),由题意可知m≠0,x≠±2,
kAP=kAC,即=, ①
kBP=kBD,即==-, ②
①×②得=-(x≠±2),
整理可得x2+4y2=4(x≠±2),
即+y2=1(x≠±2),
所以点P的轨迹方程为+y2=1(x≠±2).
解析
第三章 圆锥曲线的方程
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