3.2.2 双曲线的简单几何性质 课件(25张PPT） 高二数学 人教A版2019 选择性必修第一册

(共25张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
教材分析
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：
第三章 圆锥曲线的方程 课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质
所在位置 教材第118页 教材第121页
新教材内容分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 双曲线的标准方程、几何性质 学习目标
1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．
2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
重点、难点
重点：运用双曲线的方程获得几何性质
难点：双曲线的渐近线及离心率的意义
（一）新知导入
观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？
观察图，我们发现，不同双曲线的开阔程度不同，你能用适当的量定量刻画双曲线的开阔程度吗？
（二）双曲线的简单几何性质
知识点一 双曲线的简单几何性质
【探究1】1．类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？
[提示]　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
2．只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？
[提示]　不能．因为不能根据渐近线方程的斜率确定焦点位置，而渐近线方程中斜率只是比值．
3．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？
[提示]　双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大．
（二）双曲线的简单几何性质
◆双曲线的几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：x轴、y轴_　对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率 渐近线
（二）双曲线的简单几何性质
【点睛】1．渐近线是标志双曲线位置的一个量，它确定着双曲线张口的大小．随着x越来越大或x越来越小，双曲线与渐近线的距离越来越小，趋近于0，但是永远不会相交．
2．双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．
【做一做1】(教材P124例3改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 　　 B．2　　　
C．4　　　 D．4
【做一做2】双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【做一做3】若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
（二）双曲线的简单几何性质
知识点二 等轴双曲线
【探究2】实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？
[提示]　实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是y＝±x，离心率是 .
◆等轴双曲线
　(1) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
例1.(1)已知双曲线-＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D．－＝1
(2)渐近线方程为y＝± x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析]　(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以 ＝，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为－＝1，故选D.
（三）典型例题
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝± x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：
－＝1(a>0，b>0)，则 ＝ .　　①
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1. ②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，则 ＝.　　 ③
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.　④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（三）典型例题
【类题通法】1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为．
(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．
(4)与双曲线－＝1共焦点的方程可设为－＝1 (λ≠0，－b2<λ（三）典型例题
【巩固练习1】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等．
解析：(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（三）典型例题
【巩固练习1】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等．
[解析] (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，
可设其方程为，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
（三）典型例题
2.双曲线的离心率与渐近线
例2.　(1)已知双曲线
(2)设F1，F2是双曲线C：
[解析]　(1)∵a＞，∴＜1，
∴y＝x的倾斜角小于45°，
∴＝tan＝，
∴a＝，c＝ ＝2，
∴e＝＝＝.(如图所示)
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2(4a)(2c)cos 30°，
整理得(e－)2＝0，所以e＝.
（三）典型例题
【类题通法】求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝ 得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
【巩固练习2】(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：
A. B．2 C. D．2
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为________．
（三）典型例题
[解析] (1)∵e2＝＝＝1＋＝2，∴＝1，∴＝1，∴渐近线方程为x±y＝0，
则点(4,0)到渐近线的距离d＝＝2.
(2)当焦点在x轴上时，＝3，即＝，所以e2＝，解得e＝；
当焦点在y轴上时，＝，即＝，所以e2＝，解得e＝，
即双曲线的离心率为或.
[答案] (1)D　(2)或
（三）典型例题
3.直线与双曲线的位置关系
例3. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且过点P(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
[解析] (1)由e＝，可得a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1.
将点P(，1)代入双曲线C的方程，可解得b2＝1.所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)联立直线与双曲线方程 (1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得解得－1＜k＜1且k≠±，所以k的取值范围为－1＜k＜1且k≠±.
（二）双曲线的简单几何性质
【变式探究】将本题(2)中改为直线l1与双曲线C有且只有一个公共点，k的取值范围又如何？
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
当1－3k2＝0，即k＝±时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，
由Δ＝0，即36－36k2＝0，所以k＝±1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点．
所以当k＝±或k＝±1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点．
（三）典型例题
例4. 经过点M(2,2)作直线l交双曲线－＝1于A，B两点，且M为AB中点．
(1)求直线l的方程；
(2)求线段AB的长．
[解析]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得－＝1，
两式相减得－－(－)＝0，(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵M为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，∴4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，kl＝＝4，
经检验k＝4符合题意．∴l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6.
(2)将y＝4x－6代入到－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝，
∴|AB|＝＝.
（三）典型例题
【类题通法】1.直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
2.求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|.
（三）典型例题
【巩固练习3】已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解析] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.
∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－.
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴－y12＝1,－y22＝1 ,
两式相减得＝.∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2. ∴kMN＝＝－.
经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
（四）操作演练 素养提升
1.双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
2.已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2 B. C. D．1
3.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
4.已知双曲线C：－＝1，过点P(1,2)的直线l，与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：1.D 2.D 3.C 4. B
（五）课堂小结
知识总结
学生反思
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
作业布置
完成教材—— 第124页 练习 第1，2，3,4题
第126页 练习 第1，2，3题
第127页 习题3.2 第3,4,8,9,13题
不积跬步，无以至千里；
不积小流，无以成江海。