第2课时 双曲线及其标准方程的应用
学习目标 1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.2.双曲线在实际生活中的应用.
一、双曲线定义的应用
例1 (1)已知A(-4,0),B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为( )
A.9 B.2+6 C.10 D.12
(2)已知双曲线=1的左、右焦点分别是F1,F2.若双曲线上一点P满足∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
反思感悟 双曲线的定义的应用
(1)求解与双曲线有关的长度和最值问题,都可以通过相应的双曲线的定义去解决.
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
跟踪训练1 已知定点A(3,1),F是双曲线=1的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为( )
A. B.5+4
C.5-4 D.+4
二、双曲线方程的设法
例2 (1)求经过点P,Q的双曲线的标准方程;
(2)若双曲线C与已知双曲线=1有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
反思感悟 (1)若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论.
(2)与双曲线=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线方程为=1(-a2<λ0,b>0)有公共焦点的双曲线方程为=1(-a2<λ跟踪训练2 已知双曲线中,c=,且经过点(-5,2),焦点在x轴上,求该双曲线的标准方程.
三、双曲线在实际生活中的应用
例3 单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一,它可以用直的钢梁建造,既能减少风的阻力,又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1,俗称“小蛮腰”的广州塔位于中国广州市,它的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑,此地标建筑的平面图形是双曲线,如图2,最细处的直径为100 m,楼底的直径为50 m,楼顶直径为50 m,最细处距楼底300 m,则该地标建筑的高为( )
A.350 m B.375 m
C.400 m D.450 m
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
跟踪训练3 如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是 km.
1.知识清单:
(1)双曲线定义的应用.
(2)双曲线方程的设法.
(3)双曲线在实际生活中的应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:双曲线在实际生活中的应用中,建模容易出错.
1.相距4k千米的A,B两地,听到炮弹爆炸的时间相差2秒,若声速为k千米/秒,则炮弹爆炸点P的轨迹是( )
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
2.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线,且过A(-2,1)和B两点,则曲线C的标准方程为 .
3.已知F1,F2分别为双曲线C:=1的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= .
4.已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .
答案精析
例1 (1)C [设点C(1,4),圆的半径为r,点B在圆上,
则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1,
由点P在双曲线右支上,点A为双曲线左焦点,设A'为双曲线右焦点,
所以由双曲线定义知
|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10.]
(2)解 由=1得,
a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义和余弦定理得
|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
跟踪训练1 C [如图,设F1是双曲线的左焦点,则F1(-4,0),
根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得
|PF1|-|PF|=2a,
所以|PF|=|PF1|-2a,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+|PF1|-4,
结合图形可得|PA|+|PF1|≥|AF1|
==5
当且仅当P,A,F1三点共线时等号成立,
所以|PA|+|PF1|-4≥5-4,
所以|PA|+|PF|的最小值为5-4.]
例2 解 (1)方法一 若焦点在x轴上,则设双曲线的方程为
=1(a>0,b>0),
由于点P和Q在双曲线上,
所以
解得(舍去).
若焦点在y轴上,则设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),
将P,Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为=1.
综上,双曲线的标准方程为=1.
方法二 设双曲线方程为
mx2+ny2=1(mn<0),
因为P,Q两点在双曲线上,
所以
解得
所以所求双曲线的标准方程为
=1.
(2)方法一 由于双曲线=1的焦点为(±20),
又焦点在x轴上,
故设双曲线C的方程为
=1,
因为双曲线过点(32),
所以=1,
解得a2=12或a2=30.
当a2=30时,方程可化为=1,表示椭圆,不符合题意;
当a2=12时,方程可化为=1,符合题意.
故双曲线C的标准方程为=1.
方法二 设所求双曲线C的方程为=1(-4<λ<16),
由于双曲线C过点(32),
所以=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去),
所以所求双曲线C的方程为
=1.
跟踪训练2 解 方法一 依题意可设双曲线方程为
=1(a>0,b>0),
则有解得
故所求双曲线的标准方程为
-y2=1.
方法二 ∵焦点在x轴上,c=
∴设所求双曲线方程为=1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(-5,2),
∴=1,
解得λ=5或λ=30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是
-y2=1.
例3 C [建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得
A(50,0),
C(25-300),
设B(25y0)
(y0>0),
双曲线的方程是
=1(a>0,b>0),
则
解得
所以双曲线的方程是
=1,
将点B(25y0)代入,
得=1,
解得y0=100,
所以该地标建筑的高为
300+100=400(m).]
跟踪训练3 2-2
解析 如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
则A(-2,0),
B(2,0),|DA|-|DB|=2,根据双曲线定义知,点D的轨迹(即曲线PQ)为双曲线的右支.
故2c=4,c=2,2a=2,a=1,
b2=c2-a2=4-1=3,
故轨迹方程为x2-=1(x≥1).
根据题意知C(3),
|MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2-2.
当且仅当A,M,C三点共线时,等号成立,故两条公路MB,MC的路程之和最短是(2-2)km.
随堂演练
1.B [由已知可得||PA|-|PB||=2k<4k=|AB|,根据双曲线的定义可知,点P在以A,B为焦点的双曲线上,则炮弹爆炸点P的轨迹是双曲线.]
2.-y2=1
解析 设曲线C的方程为
mx2+ny2=1,代入点A(-2,1),
点B
得解得
所以曲线C为双曲线,
其标准方程为-y2=1.
3.
解析 由题意可得,
解得|PF1|=4|PF2|=2
因为|F1F2|=2=4,
所以cos∠F1PF2
=
=.
4.9
解析 对于双曲线=1,
则a=2,b=2
c=4,
如图所示,设双曲线的右焦点为M,则M(4,0),
由双曲线的定义可得
|PF|-|PM|=4,
则|PF|=4+|PM|,
所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4≥|AM|+4=+4=9,
当且仅当A,P,M三点共线时,等号成立.
因此,|PF|+|PA|的最小值为9.(共75张PPT)
第2课时
双曲线及其标准方程的应用
第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程
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1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题(重点).
2.双曲线在实际生活中的应用(难点).
学习目标
双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形,这节课一起来研究双曲线在实际生活中的应用.
导 语
一、双曲线定义的应用
二、双曲线方程的设法
课时对点练
三、双曲线在实际生活中的应用
随堂演练
内容索引
双曲线定义的应用
一
(1)已知A(-4,0),B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线-=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为
A.9 B.2+6 C.10 D.12
√
例 1
设点C(1,4),圆的半径为r,点B在圆上,
则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1,
由点P在双曲线右支上,点A为双曲线左焦点,
设A'为双曲线右焦点,
所以由双曲线定义知
|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10.
解析
(2)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2.若双曲线上一点P满足∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
由-=1得,a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义和余弦定理得
|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
解
双曲线的定义的应用
(1)求解与双曲线有关的长度和最值问题,都可以通过相应的双曲线的定义去解决.
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
反
思
感
悟
已知定点A(3,1),F是双曲线-=1的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为
A. B.5+4
C.5-4 D.+4
跟踪训练 1
√
如图,设F1是双曲线的左焦点,则F1(-4,0),
根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|-|PF|=2a,
所以|PF|=|PF1|-2a,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+|PF1|-4,
结合图形可得|PA|+|PF1|≥|AF1|
==5,
当且仅当P,A,F1三点共线时等号成立,
所以|PA|+|PF1|-4≥5-4,
所以|PA|+|PF|的最小值为5-4.
解析
二
双曲线方程的设法
(1)求经过点P,Q的双曲线的标准方程;
例 2
方法一 若焦点在x轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由于点P和Q在双曲线上,
所以(舍去).
若焦点在y轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
解
将P,Q两点坐标代入可得解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
综上,双曲线的标准方程为-=1.
解
方法二 设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),
因为P,Q两点在双曲线上,
所以
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
解
(2)若双曲线C与已知双曲线-=1有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
方法一 由于双曲线-=1的焦点为(±2,0),
又焦点在x轴上,
故设双曲线C的方程为-=1,
因为双曲线过点(3,2),
所以-=1,
解得a2=12或a2=30.
当a2=30时,方程可化为+=1,表示椭圆,不符合题意;
解
当a2=12时,方程可化为-=1,符合题意.
故双曲线C的标准方程为-=1.
方法二 设所求双曲线C的方程为
-=1(-4<λ<16),
由于双曲线C过点(3,2),所以-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去),
所以所求双曲线C的方程为-=1.
解
(1)若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论.
(2)与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ0,b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ反
思
感
悟
已知双曲线中,c=,且经过点(-5,2),焦点在x轴上,求该双曲线的标准方程.
跟踪训练 2
方法一 依题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
则有
故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
解
方法二 ∵焦点在x轴上,c=,
∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(-5,2),∴-=1,
解得λ=5或λ=30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是-y2=1.
解
双曲线在实际生活中的应用
三
(课本例2) 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
例 3
如图,建立平面直角坐标系Oxy,使A,B两点在x轴上,并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),
则|PA|-|PB|=340×2=680,
即2a=680,a=340.
又|AB|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400.
因为|PA|-|PB|=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的右支,因此x≥340.
所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为-=1(x≥340).
解
单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一,它可以用直的钢梁建造,既能减少风的阻力,又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1,俗称“小蛮腰”的广州塔位于中国广州市,它的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑,此地标建筑的平面图形是双曲线,如图2,最细处的直径为100 m,楼底的直径为50 m,楼顶直径为50 m,最细处距楼底300 m,则该地标建筑的高为
A.350 m B.375 m
C.400 m D.450 m
例 3
√
建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得A(50,0),C(25,-300),
设B(25,y0)(y0>0),
双曲线的方程是-=1(a>0,b>0),
则
所以双曲线的方程是-=1,
将点B(25,y0)代入,得-=1,
解得y0=100,所以该地标建筑的高为300+100=400(m).
解
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
反
思
感
悟
如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是 km.
跟踪训练 3
2-2
如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
则A(-2,0),B(2,0),|DA|-|DB|=2,根据双曲线定义知,点D的轨迹(即曲线PQ)为双曲线的右支.
故2c=4,c=2,2a=2,a=1,
b2=c2-a2=4-1=3,
故轨迹方程为x2-=1(x≥1).
解析
根据题意知C(3,),
|MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2-2.
当且仅当A,M,C三点共线时,等号成立,
故两条公路MB,MC的路程之和最短是(2-2)km.
解析
1.知识清单:
(1)双曲线定义的应用.
(2)双曲线方程的设法.
(3)双曲线在实际生活中的应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:双曲线在实际生活中的应用中,建模容易出错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.相距4k千米的A,B两地,听到炮弹爆炸的时间相差2秒,若声速为k千米/秒,则炮弹爆炸点P的轨迹是
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
√
由已知可得||PA|-|PB||=2k<4k=|AB|,根据双曲线的定义可知,点P在以A,B为焦点的双曲线上,
则炮弹爆炸点P的轨迹是双曲线.
解析
1
2
3
4
2.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线,且过A(-2,1)和B两点,则曲
线C的标准方程为 .
设曲线C的方程为mx2+ny2=1,代入点A(-2,1),点B,
得
所以曲线C为双曲线,其标准方程为-y2=1.
解析
-y2=1
3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=
2|PF2|,则cos∠F1PF2= .
由题意可得,
解得|PF1|=4,|PF2|=2,
因为|F1F2|=2=4,
所以cos∠F1PF2===.
解析
1
2
3
4
1
2
3
4
4.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .
9
1
2
3
4
对于双曲线-=1,则a=2,b=2,c=4,
如图所示,设双曲线的右焦点为M,则M(4,0),
由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4,
则|PF|=4+|PM|,
所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4≥|AM|+4=+4=9,
当且仅当A,P,M三点共线时,等号成立.
因此,|PF|+|PA|的最小值为9.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B B A BC
题号 9 10 11 13
答案 B C D
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当双曲线的焦点在x轴上时,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,
由△AF1B的周长等于26,
得|AF1|+|AB|+|BF1|=26,
由双曲线的定义可知
|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,
两式相加得,|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|=4a,
即|AF1|-|AB|+|BF1|=4a,
而|AB|=5,
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因此可得5-(-5)=26-4a a=4,因为|F1F2|=10,所以c=5,
于是b==3,
所以双曲线方程为=1;
当双曲线的焦点在y轴上时,同理可得双曲线方程为=1,
综上所述,双曲线方程为=1或=1.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)F1,F2是双曲线=1的两个焦点,
则a=3,b=4,c=5,
设点M到另一个焦点的距离为m,
由双曲线定义可知|m-16|=2a=6,
解得m=10或m=22,即点M到另一个焦点的距离为10或22.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)P是双曲线左支上的点,|PF2|-|PF1|=2a=6,
则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36,
代入|PF1|·|PF2|=32,
可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100,
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,
所以△F1PF2为直角三角形,
所以|PF1|·|PF2|=×32=16.
基础巩固
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2=90°,且|AF1|=2|AF2|=4,则双曲线的方程为
A.x2-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意,根据双曲线的定义及|AF1|=2|AF2|=4,可得|AF1|-|AF2|=2=2a,
解得a=1,因为∠F1AF2=90°,
所以|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2=20,
即(2c)2=20,即c2=5,
又b2+a2=c2,则b2=c2-a2=4,
所以双曲线的方程为x2-=1.
解析
2.若双曲线C与双曲线-x2=1有相同的焦点,且双曲线C过点(2,-2),则双曲线C的标准方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设双曲线C的方程为
-=1(-5<λ<1),
由于双曲线C过点(2,-2),
则-=1,
解得λ=-1或λ=13(舍去),
所以双曲线C的标准方程为-=1.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3.已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为
A.4+ B.4(1+)
C.2(+) D.+3
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设双曲线的左焦点为F',
则|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|=4+|PF'|,
所以△APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=4+|PF'|+|PA|+2≥4+2+|AF'|=4+4,
当且仅当P在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号,所以△APF周长的最小值为4+4.
解析
4.地震预警是指在破坏性地震发生以后,在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息,可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断,震中到地震台B站的距离至少为
A.8 km B.6 km
C.4 km D.2 km
√
答案
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答案
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12
设震中为P,依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近A的一支,
因为|PA|+|PB|≥|AB|=10,
当且仅当A,P,B三点共线时取等号,
所以|PB|-6+|PB|≥10,所以|PB|≥8,
所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.
解析
5.(多选)已知点P在双曲线C:-=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则
A.|PF1|-|PF2|=8
B.|PF1|+|PF2|=
C.点P到x轴的距离为4
D.∠F1PF2=
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答案
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答案
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由已知得a=4,b=3,
则c==5,
由双曲线的定义可知,||PF1|-|PF2||=2a=8,故A错误;
设P(xP,yP),则
=×2c|yP|=×10×|yP|=20,
所以|yP|=4,故C正确;
解析
答案
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不妨取点P的坐标为,得|PF2|==,
由双曲线的定义,得|PF1|=|PF2|+2a=+8=,
所以|PF1|+|PF2|=+=,故B正确;
由余弦定理,得
cos∠F1PF2==≠,
所以∠F1PF2≠,故D错误.
解析
6.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|=6,则双曲线E的标准方程是
.
答案
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-=1
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由题意得|AB|=3,|BC|=2.
如图所示,设AB,CD的中点分别为M,N,在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,
故|BN|===.
由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=-=1,
则a=,又2c=2,
所以c=1,b2=c2-a2=.
所以双曲线E的标准方程是-=1.
解析
7.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,且|F1F2|=10,过F2的直线交双曲线的一支于A,B两点,当|AB|=5,△AF1B的周长等于26时,求此双曲线的标准方程.
答案
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当双曲线的焦点在x轴上时,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,
由△AF1B的周长等于26,得|AF1|+|AB|+|BF1|=26,
由双曲线的定义可知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,两式相加得,
|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|=4a,即|AF1|-|AB|+|BF1|=4a,而|AB|=5,
因此可得5-(-5)=26-4a a=4,因为|F1F2|=10,所以c=5,
于是b===3,
所以双曲线方程为-=1;
解
答案
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当双曲线的焦点在y轴上时,同理可得双曲线方程为-=1,
综上所述,双曲线方程为-=1或-=1.
解
8.设F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
答案
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F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,
则a=3,b=4,c=5,
设点M到另一个焦点的距离为m,
由双曲线定义可知|m-16|=2a=6,
解得m=10或m=22,
即点M到另一个焦点的距离为10或22.
解
(2)若P是双曲线左支上一点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
答案
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12
P是双曲线左支上的点,|PF2|-|PF1|=2a=6,
则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36,
代入|PF1|·|PF2|=32,
可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100,
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,
所以△F1PF2为直角三角形,
所以=|PF1|·|PF2|=×32=16.
解
9.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2等于
A. B.
C. D.
答案
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综合运用
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设|PF1|=d1,|PF2|=d2,
则d1+d2=2, ①
|d1-d2|=2, ②
①2+②2,得+=18.
①2-②2,得2d1d2=6.
而c=2,
∴cos∠F1PF2=.
解析
10.双曲线的光学性质是:从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线射向C上的点P(8,y0)后,被C反射出去,则入射光线与反射光线夹角的余弦值是
A. B.-
C. D.-
答案
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设P(8,y0)在第一象限,
-=1 y0=3,
|PF2|==6,
|PF1|=6+8=14,|F1F2|=10,
cos∠F1PF2==.
解析
11.已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0),四点A(6,),B,C(5,2),
D(-5,-2)中恰有三点在Γ上,则双曲线Γ的标准方程为 .
能力提升
答案
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-y2=1
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将点C,D的坐标代入双曲线中,可得点C,D都在双曲线Γ上,对于点
A,><->-=1,
即点A不在双曲线Γ上,所以点B,C,D都在双曲线Γ上,
所以解得
因此,双曲线Γ的标准方程为-y2=1.
解析
12.3D打印是一种快速成型技术,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术,如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm,下底直径为9 cm,喉部(中间最细处)的直径为8 cm,上底与喉部的距离为2 cm,则该塔筒的高为
A. cm B.18 cm
C. cm D.9 cm
√
答案
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答案
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该塔筒的轴截面如图所示,以喉部(中间最细处)的中点O为原点,建立平面直角坐标系,
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),A与B分别为上、下底面对应点,C为双曲线与x轴正半轴的交点,
由题意得A(3,2),
由喉部(中间最细处)的直径为8 cm,得2a=8,a=4,
将点A代入得-=1,则b=8,
解析
答案
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12
所以双曲线的方程为-=1,
设点B(xB,yB),由xB=,得yB=-7,
所以该塔筒的高为2+7=9(cm).
解析
第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程
<<<作业37 双曲线及其标准方程的应用
分值:80分
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2=90°,且|AF1|=2|AF2|=4,则双曲线的方程为
A.x2-=1 B.-y2=1
C.=1 D.=1
2.若双曲线C与双曲线-x2=1有相同的焦点,且双曲线C过点(2,-2),则双曲线C的标准方程为
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.已知双曲线=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为
A.4+ B.4(1+)
C.2() D.+3
4.地震预警是指在破坏性地震发生以后,在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息,可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断,震中到地震台B站的距离至少为
A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km
5.(多选)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则
A.|PF1|-|PF2|=8
B.|PF1|+|PF2|=
C.点P到x轴的距离为4
D.∠F1PF2=
6.已知双曲线E:=1(a>0,b>0),矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|=6,则双曲线E的标准方程是 .
7.(14分)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,且|F1F2|=10,过F2的直线交双曲线的一支于A,B两点,当|AB|=5,△AF1B的周长等于26时,求此双曲线的标准方程.
8.(15分)设F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(7分)
(2)若P是双曲线左支上一点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.(8分)
9.设椭圆=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2等于
A. B. C. D.
10.双曲线的光学性质是:从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线射向C上的点P(8,y0)后,被C反射出去,则入射光线与反射光线夹角的余弦值是
A. B.- C. D.-
11.已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0),四点A(6,),B,C(5,2),D(-5,-2)中恰有三点在Γ上,则双曲线Γ的标准方程为 .
12. 3D打印是一种快速成型技术,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术,如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm,下底直径为9 cm,喉部(中间最细处)的直径为8 cm,上底与喉部的距离为2 cm,则该塔筒的高为
A. cm B.18 cm
C. cm D.9 cm
答案精析
1.A [由题意,根据双曲线的定义及|AF1|=2|AF2|=4,
可得|AF1|-|AF2|=2=2a,
解得a=1,因为∠F1AF2=90°,
所以|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2=20,
即(2c)2=20,即c2=5,
又b2+a2=c2,则b2=c2-a2=4,
所以双曲线的方程为x2-=1.]
2.B [设双曲线C的方程为
=1(-5<λ<1),
由于双曲线C过点(2,-2),
则=1,
解得λ=-1或λ=13(舍去),
所以双曲线C的标准方程为
=1.]
3.B [设双曲线的左焦点为F',
则|PF|-|PF'|=2a=4,
所以|PF|=4+|PF'|,
所以△APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=4+|PF'|+|PA|+2≥4+2+|AF'|=4+4,
当且仅当P在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号,所以△APF周长的最小值为4+4.]
4.A [设震中为P,依题意有
|PB|-|PA|=6<|AB|=10,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近A的一支,
因为|PA|+|PB|≥|AB|=10,当且仅当A,P,B三点共线时取等号,
所以|PB|-6+|PB|≥10,
所以|PB|≥8,
所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.]
5.BC [由已知得a=4,b=3,
则c==5,
由双曲线的定义可知,
||PF1|-|PF2||=2a=8,故A错误;
设P(xP,yP),则
×2c|yP|=×10×|yP|=20,
所以|yP|=4,故C正确;
不妨取点P的坐标为,
得|PF2|=,
由双曲线的定义,得
|PF1|=|PF2|+2a=+8=,
所以|PF1|+|PF2|=,故B正确;
由余弦定理,得
cos∠F1PF2=
=≠,
所以∠F1PF2≠,故D错误.]
6.=1
解析 由题意得
|AB|=3,
|BC|=2.
如图所示,设AB,CD的中点分别为M,N,
在Rt△BMN中,
|MN|=2c=2,
故|BN|=
=.
由双曲线的定义可得
2a=|BN|-|BM|==1,
则a=,又2c=2,
所以c=1,b2=c2-a2=.
所以双曲线E的标准方程是
=1.
7.解 当双曲线的焦点在x轴上时,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,
由△AF1B的周长等于26,
得|AF1|+|AB|+|BF1|=26,
由双曲线的定义可知
|AF1|-|AF2|=2a,
|BF1|-|BF2|=2a,
两式相加得,
|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|=4a,
即|AF1|-|AB|+|BF1|=4a,
而|AB|=5,
因此可得5-(-5)=26-4a a=4,因为|F1F2|=10,所以c=5,
于是b==3,
所以双曲线方程为=1;
当双曲线的焦点在y轴上时,同理可得双曲线方程为=1,
综上所述,双曲线方程为
=1或=1.
8.解 (1)F1,F2是双曲线=1的两个焦点,
则a=3,b=4,c=5,
设点M到另一个焦点的距离为m,
由双曲线定义可知|m-16|=2a=6,
解得m=10或m=22,即点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)P是双曲线左支上的点,
|PF2|-|PF1|=2a=6,
则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36,
代入|PF1|·|PF2|=32,
可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100,
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,
所以△F1PF2为直角三角形,
所以|PF1|·|PF2|=×32=16.
9.B [设|PF1|=d1,|PF2|=d2,
则d1+d2=2, ①
|d1-d2|=2, ②
①2+②2,得=18.
①2-②2,得2d1d2=6.
而c=2,
∴cos∠F1PF2=.]
10.C [设P(8,y0)在第一象限,
=1 y0=3,
|PF2|==6,
|PF1|=6+8=14,|F1F2|=10,
cos∠F1PF2=.]
11.-y2=1
解析 将点C,D的坐标代入双曲线中,可得点C,D都在双曲线Γ上,对于点A,>,<,
所以>=1,
即点A不在双曲线Γ上,所以点B,C,D都在双曲线Γ上,
所以
解得
因此,双曲线Γ的标准方程为
-y2=1.
12.D [该塔筒的轴截面如图所示,以喉部(中间最细处)的中点O为原点,建立平面直角坐标系,
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),A与B分别为上、下底面对应点,C为双曲线与x轴正半轴的交点,
由题意得A(3,2),
由喉部(中间最细处)的直径为8 cm,得2a=8,a=4,
将点A代入得=1,则b=8,
所以双曲线的方程为=1,
设点B(xB,yB),
由xB=,得yB=-7,
所以该塔筒的高为
2+7=9(cm).]