3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
一、双曲线的简单几何性质
问题 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线＝1(a>0，b>0)的几何性质.
知识梳理
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
性质 范围 ； y∈R x∈R；
对称性 对称轴： ；对称中心：
顶点坐标
渐近线
离心率 e＝ ，e∈ ， 其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0)
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
延伸探究 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程.
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1 (多选)已知双曲线＝1，对于 k∈R且k≠0，下列四个选项中因k改变而变化的是( )
A.焦距 B.离心率
C.顶点坐标 D.渐近线方程
二、由双曲线的简单几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0).
②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)与双曲线＝1有共同的渐近线，并且经过点(2，－3).
三、求双曲线的离心率
例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解.
(2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解.
跟踪训练3 已知F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率.
1.知识清单：
(1)双曲线的简单几何性质.
(2)由双曲线的简单几何性质求标准方程.
(3)求双曲线的离心率.
2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
1.双曲线＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A.6 B.8 C.9 D.10
2. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 .
答案精析
问题 1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程＝1可得＝1＋≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，
即x2≥a2，y∈R.
所以x≤－a，或x≥a；y∈R.
2.对称性
双曲线＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线＝1(a>0，b>0)与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个.
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.方程为x2－y2＝m(m≠0).
4.渐近线
双曲线＝1(a>0，b>0)在第一象限内的方程为
y＝(x>0)，
它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方.
它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图所示.
(1)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x.
(2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图.
5.离心率
(1)定义：e＝.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
知识梳理
＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) x≤－a或x≥a
y≤－a或y≥a 坐标轴 原点
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) y＝±x y＝±x (1，＋∞) a2＋b2
例1 解 将9y2－4x2＝－36化为标准方程为＝1，即＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为
A1(－3，0)，A2(3，0)，
焦点坐标为F1(－0)，
F2(0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝
渐近线方程为y＝±x＝±x.
延伸探究 解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为
＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝
虚半轴长b＝
顶点坐标为(－0)，(0)，
c＝
焦点坐标为(0)，(－0)，
离心率e＝
所以渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.
跟踪训练1 AC [∵双曲线
＝1， k∈R且k≠0，
∴a2＝2k2，b2＝k2，c2＝3k2，
焦距为2c＝2|k|，
离心率e＝
顶点坐标(±|k|，0)，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标.]
例2 解 (1)设所求双曲线方程为
＝1(a>0，b>0).
∵e＝
∴e2＝＝1＋
∴.
由题意得解得
∴所求双曲线的标准方程为
＝1.
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，
设所求双曲线的标准方程为
＝1(a>0，b>0)，
则. ①
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴＝1. ②
①②联立，无解.
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则. ③
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴＝1. ④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为
＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为
y＝±x，
可设双曲线方程为
－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为
＝1.
跟踪训练2 解 (1)设所求双曲线的标准方程为
＝1(a>0，b>0)，
由题意知2b＝8，e＝
从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为＝1.
(2)设所求双曲线的方程为
＝λ(λ≠0).
将点(2－3)代入方程得λ＝－
∴双曲线的方程为＝－
故所求双曲线的标准方程为
＝1.
例3 C [由双曲线
＝1(a>0，b>0)，
可得其一条渐近线的方程为y＝x，
即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，
可得圆心为C(0，5)，半径r＝2，
则圆心到渐近线的距离为
d＝则＝2，
可得e＝.]
跟踪训练3 解 设F1(c，0)，
将x＝c代入双曲线的方程得
＝1，那么y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.
随堂演练
1.B [由已知得左焦点的坐标为(－5，0)，
右顶点的坐标为(3，0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.]
2.ABD [双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1，
可得a＝4b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8
虚轴长为4，焦距为12，
离心率为.]
3.A [由直线3x－4y＋12＝0，
令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，
即双曲线方程为x2－y2＝8.]
4.y＝±x
解析 ∵
∴
∴∴∴.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为
＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为
y＝±x.(共80张PPT)
第1课时
双曲线的简单几何性质
第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质
<<<
1.掌握双曲线的简单几何性质(重点).
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程(难点).
学习目标
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
导 语
一、双曲线的简单几何性质
二、由双曲线的简单几何性质求标准方程
课时对点练
三、求双曲线的离心率
随堂演练
内容索引
双曲线的简单几何性质
一
类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线-=1(a>0，b>0)的几何性质.
问题
提示 1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程-=1可得=1+≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R.
所以x≤-a，或x≥a；y∈R.
2.对称性
双曲线-=1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线-=1(a>0，b>0)与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
顶点是A1(-a，0)，A2(a，0)，只有两个.
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
方程为x2-y2=m(m≠0).
4.渐近线
双曲线-=1(a>0，b>0)在第一象限内的方程为y=(x>0)，
它与y=x的位置关系：在y=x的下方.
它与y=x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图所示.
(1)双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x.
(2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图.
5.离心率
(1)定义：e=.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到== =，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __________________
__________________
图形
-=1(a>0，b>0)
-=1(a>0，b>0)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
性 质 范围 ；y∈R x∈R；____________
对称性 对称轴： ；对称中心：_____ 顶点坐标 ___________________ __________________
渐近线 ________ ________
离心率 a，b，c间的关系 c2= (c>a>0，c>b>0) x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
坐标轴
原点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
y=±x
y=±x
(1，+∞)
a2+b2
(1)B1(0，-b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点.
(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2-y2=m(m≠0).
注 意 点
<<<
(课本例3) 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
例 1
把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程-=1.
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3；
c===5，
焦点坐标是(0，-5)，(0，5)；
离心率e==；渐近线方程为y=±x.
解
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
例 1
将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1，即-=1，
所以a=3，b=2，c=.
因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)，
焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)，
实轴长2a=6，虚轴长2b=4，
离心率e==，
渐近线方程为y=±x=±x.
解
若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程.
延伸探究
把方程nx2-my2=mn(m>0，n>0)化为标准方程为-=1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a=，
虚半轴长b=，顶点坐标为(-，0)，(，0)，c=，
焦点坐标为(，0)，(-，0)，
离心率e===，
所以渐近线方程为y=±x，
即y=±x.
解
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
反
思
感
悟
(多选)已知双曲线-=1，对于 k∈R且k≠0，下列四个选项中因k改变而变化的是
A.焦距 B.离心率
C.顶点坐标 D.渐近线方程
跟踪训练 1
√
√
∵双曲线-=1， k∈R且k≠0，
∴a2=2k2，b2=k2，c2=3k2，
焦距为2c=2|k|，离心率e===，
顶点坐标(±|k|，0)，渐近线方程为y=±x，
即y=±x.
∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标.
解析
二
由双曲线的简单几何性质求标准方程
(课本例4) 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图).它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m).
例 2
根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径CC'，BB'都平行于x轴，且|CC'|=13×2，|BB'|=25×2.
设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y-55).
因为直径AA'是实轴，
所以a=12.又B，C两点都在双曲线上，
解
所以
由方程②，得y=(负值舍去).代入方程①，
得-=1.
化简得19b2+275b-18 150=0. ③
解方程③，得b≈25(负值舍去).
因此所求双曲线的方程为-=1.
解
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)；
例 2
设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0).
∵e=，
∴e2===1+=，
∴=.
由题意得
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
解
(2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3).
方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±x.
当焦点在x轴上时，
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
则=. ①
∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ②
①②联立，无解.
解
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
则=. ③
∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ④
联立③④，解得a2=8，b2=32.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
解
方法二 由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)，
∵A(2，-3)在双曲线上，
∴-(-3)2=λ，即λ=-8.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
解
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
②渐近线方程为Ax±By=0的双曲线方程可设为A2x2-B2y2=λ (λ≠0).
反
思
感
悟
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
跟踪训练 2
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
由题意知2b=8，e==，
从而b=4，c=a，
代入c2=a2+b2，得a2=9，
故双曲线的标准方程为-=1.
解
(2)与双曲线-=1有共同的渐近线，并且经过点(2，-3).
设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0).
将点(2，-3)代入方程得λ=-，
∴双曲线的方程为-=-，
故所求双曲线的标准方程为-=1.
解
求双曲线的离心率
三
已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
例 3
√
由双曲线-=1(a>0，b>0)，
可得其一条渐近线的方程为y=x，
即bx-ay=0，
又由圆C：x2+y2-10y+21=0，
可得圆心为C(0，5)，
半径r=2，
则圆心到渐近线的距离为d===2，
可得e==.
解析
求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e=得解.
(2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+qac+ra2 =0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
反
思
感
悟
已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q=90°，求双曲线的离心率.
跟踪训练 3
设F1(c，0)，
将x=c代入双曲线的方程得-=1，
那么y=±.
由|PF2|=|QF2|，
∠PF2Q=90°，
知|PF1|=|F1F2|，
所以=2c，
所以b2=2ac，
解
所以c2-2ac-a2=0，
所以-2×-1=0，
即e2-2e-1=0，
所以e=1+或e=1-(舍去)，
所以双曲线的离心率为1+.
解
1.知识清单：
(1)双曲线的简单几何性质.
(2)由双曲线的简单几何性质求标准方程.
(3)求双曲线的离心率.
2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于
A.6 B.8 C.9 D.10
√
由已知得左焦点的坐标为(-5，0)，
右顶点的坐标为(3，0)，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
解析
1
2
3
4
2. (多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32，则
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
√
√
√
1
2
3
4
双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1，
可得a=4，
b=2，c=6，
所以双曲线的实轴长为8，
虚轴长为4，
焦距为12，
离心率为.
解析
1
2
3
4
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
√
由直线3x-4y+12=0，令y=0，得x=-4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(-4，0)，
∴c=4，a2=b2=c2=×16=8，
即双曲线方程为x2-y2=8.
解析
1
2
3
4
4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线
方程为 .
y=±x
1
2
3
4
∵=，∴==，
∴=，∴=，∴=.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D B C AD
题号 9 10 11 12
答案 B C A y＝±2x
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2-a2＝62-32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为
＝1或＝1.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
(2)设双曲线方程为4x2-9y2＝λ(λ≠0)，
即＝1(λ≠0)，
由题意得a＝3.
当λ>0时，＝9，λ＝36，
双曲线方程为＝1；
7.
答案
1
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3
4
5
6
7
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12
当λ<0时，＝9，λ＝-81，
双曲线方程为＝1.
故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1.
8.
答案
1
2
3
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12
直线l的方程为＝1，
即bx+ay-ab＝0.
于是有c，
所以ab＝c2，两边平方，
得a2b2＝c4.
又b2＝c2-a2，
8.
答案
1
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12
所以16a2(c2-a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4-16e2+16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b>a，
所以e2＝＝1+>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
基础巩固
1.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于
A. B.
C. D.
√
由题意知a2+5=9，解得a=2，e==.
解析
答案
1
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6
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12
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
答案
1
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12
由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.
解析
3.若双曲线-=1的离心率为，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
√
∵e=，∴==3，
∴b2=2a2，∴双曲线方程为-=1，
∴渐近线方程为y=±x.
解析
答案
1
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11
12
4.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为
A.4 B.3
C.2 D.1
√
由双曲线的几何性质可得，双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x，又因为渐近线方程为3x±2y=0，即y=±x，故a=2.
解析
答案
1
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12
5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是
A.C的方程为-=1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
√
答案
1
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√
答案
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由双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线方程为y=±x，可得c=5，焦点在x轴上，所以=，因为c=5，所以b=4，a=3，所以C的方程为-=1，A正确；
离心率为e=，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d==4，C不正确；
|PF|的最小值为c-a=2，D正确.
解析
6.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，
则该双曲线的方程为 .
答案
1
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-=1
答案
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椭圆4x2+y2=64可变形为+=1，a2=64，c2=64-16=48，
∴焦点为(0，4)，(0，-4)，离心率e=，
则双曲线的焦点在y轴上，
c'=4，e'==，
从而a'=6，b'2=12，
故所求双曲线的方程为-=1.
解析
7.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
答案
1
2
3
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6
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12
由两顶点间的距离是6，得2a=6，即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12，即c=6，
于是有b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
解
(2)渐近线方程为2x±3y=0，且两顶点间的距离是6.
答案
1
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11
12
设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)，
即-=1(λ≠0)，由题意得a=3.
当λ>0时，=9，λ=36，双曲线方程为-=1；
当λ<0时，=9，λ=-81，双曲线方程为-=1.
故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
解
8.设双曲线-=1(0
答案
1
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12
答案
1
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11
12
直线l的方程为+=1，
即bx+ay-ab=0.
于是有=c，
所以ab=c2，两边平方，得a2b2=c4.
又b2=c2-a2，所以16a2(c2-a2)=3c4，
两边同时除以a4，得3e4-16e2+16=0，
解得e2=4或e2=.
解
答案
1
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12
又b>a，所以e2==1+>2，则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
解
9.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的标准方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案
1
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11
12
√
综合运用
答案
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12
因为圆C：x2+y2+6x+5=0的圆心为C(-3，0)，半径r=2，所以c=3，
又双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，
由题意知=2，
整理得到a2=b2，
又a2+b2=9，所以b2=4，a2=5，
则双曲线的方程为-=1.
解析
10.已知P为双曲线-x2=1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关
答案
1
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12
√
答案
1
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12
设点P(x0，y0)，则有-=1，
所以-4=4.
易知双曲线-x2=1的渐近线方程为2x±y=0，
所以|PA|·|PB|=·==.
解析
11.已知F1，F2分别为双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，连接AF2并延长交E于点C，若|BF2|=|AC|，∠F1BF2=，则双曲线E的离心率为
A. B.2
C. D.
√
能力提升
答案
1
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答案
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12
结合双曲线的对称性可知，∠F1AF2=，|AF1|=|AC|，
所以△ACF1为等边三角形，
则|AF1|=|CF1|，AC⊥F1F2.
由双曲线的定义，得|AF1|-|AF2|=2a，
所以|AF1|=4a，|AF2|=2a，
则==tan =，则e==.
解析
12.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知=，则双曲线的渐近线方程为 .
答案
1
2
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12
y=±2x
答案
1
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12
依题意，=，|PF2|-|PF1|=2a，
则|PF2|=4a，|PF1|=2a，
双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0，
则点F2(c，0)到渐近线的距离d==b，
则cos∠PF2F1=，
解析
答案
1
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3
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11
12
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2||PF2|cos∠PF2F1=|PF1|2，
得(2c)2+(4a)2-2·2c·4a·=(2a)2，
整理得c2+3a2-4ab=0，
即4a2-4ab+b2=0，解得b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.
解析
第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质
<<<作业38 双曲线的简单几何性质
分值：80分
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.已知双曲线＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于
A. B. C. D.
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
3.若双曲线＝1的离心率为，则其渐近线方程为
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
4.设双曲线＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是
A.C的方程为＝1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
6.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 .
7.(14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(6分)
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.(8分)
8.(15分)设双曲线＝1(09.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2＋6x＋5＝0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
10.已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关
11.已知F1，F2分别为双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，连接AF2并延长交E于点C，若|BF2|＝|AC|，∠F1BF2＝，则双曲线E的离心率为
A. B.2 C. D.
12.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知，则双曲线的渐近线方程为 .
答案精析
1.C [由题意知a2＋5＝9，
解得a＝2，e＝.]
2.D [由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，
可得λ＝52－32＝16，
所以双曲线方程为x2－y2＝16，
即＝1.]
3.B [∵e＝，∴，
即＝3，∴b2＝2a2，
∴双曲线方程为＝1，
∴渐近线方程为y＝±x.]
4.C [由双曲线的几何性质可得，双曲线＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.]
5.AD [ 由双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上，所以，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；
焦点到渐近线的距离为
d＝＝4，C不正确；
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.]
6.＝1
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为＝1，a2＝64，
c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0，4)，(0，－4)，
离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，
c'＝4，e'＝，
从而a'＝6，b'2＝12，
故所求双曲线的方程为＝1.
7.解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为
＝1或＝1.
(2)设双曲线方程为
4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即＝1(λ≠0)，
由题意得a＝3.
当λ>0时，＝9，λ＝36，
双曲线方程为＝1；
当λ<0时，＝9，λ＝－81，
双曲线方程为＝1.
故所求双曲线的标准方程为
＝1或＝1.
8.解 直线l的方程为＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
于是有c，
所以ab＝c2，两边平方，
得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，
所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，
得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b>a，
所以e2＝＝1＋>2，
则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
9.B [因为圆C：x2＋y2＋6x＋5＝0的圆心为C(－3，0)，半径r＝2，
所以c＝3，
又双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
由题意知＝2，
整理得到a2＝b2，
又a2＋b2＝9，所以b2＝4，a2＝5，
则双曲线的方程为＝1.]
10.C [设点P(x0，y0)，
则有＝1，
所以－4＝4.
易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，
所以|PA|·|PB|＝·.]
11.A [结合双曲线的对称性可知，
∠F1AF2＝，
|AF1|＝|AC|，
所以△ACF1为等边三角形，则
|AF1|＝|CF1|，
AC⊥F1F2.
由双曲线的定义，
得|AF1|－|AF2|＝2a，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，
则＝tan ，
则e＝.]
12.y＝±2x
解析 依题意，
，|PF2|－|PF1|＝2a，
则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，
双曲线＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，
则点F2(c，0)到渐近线的距离
d＝＝b，
则cos∠PF2F1＝，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2||PF2|·cos∠PF2F1＝|PF1|2，
得(2c)2＋(4a)2－2·2c·4a·＝(2a)2，
整理得c2＋3a2－4ab＝0，
即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为
y＝±2x.