3.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.
一、抛物线的定义及其标准方程
问题1 利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
知识梳理
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
知识梳理
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
例1 (1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
①经过点(－3，－1)；
②焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
①y2＝x； ②x2＝－y； ③x2＋12y＝0.
反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.
跟踪训练1 (1)焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是( )
A.x2＝4y B.y2＝8x
C.x2＝8y D.y2＝4x
(2)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝ ，准线方程为 .
二、抛物线定义的应用
例2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值.
延伸探究1 若将本例中的点(0，2)改为点A(3，2)，求点P到A与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值.
延伸探究2 若将本例中的点(0，2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
跟踪训练2 已知抛物线y＝x2的焦点为F，A(1，1)，设B为该抛物线上一点，则△ABF周长的最小值为 .
三、抛物线在生活中的应用
例3 苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30 m，如图2，求此抛物线顶端O到连桥AB的距离.
反思感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练3 如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
1.知识清单：
(1)抛物线的定义及其标准方程.
(2)抛物线定义的应用.
(3)抛物线在生活中的应用.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归.
3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
1.已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(1，0) B.
C. D.(0，1)
2.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
4. 如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽 米.
答案精析
问题1 在点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
知识梳理
相等 焦点 准线
问题2 我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
设|KF|＝p(p>0)，
那么焦点F的坐标为
准线l的方程为x＝－.
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合
P＝{M||MF|＝d}.
因为|MF|＝
d＝
所以
将上式两边平方并化简，
得y2＝2px(p>0).
知识梳理
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝ x2＝2py(p>0)
y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝
例1 (1)解 ①因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或
x2＝－2py(p>0).
若抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，
解得p＝；
若抛物线的标准方程为
x2＝－2py(p>0)，
则由(－3)2＝－2p×(－1)，
解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为
y2＝－x或x2＝－9y.
②对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，
得x＝4，所以抛物线的焦点为
(0，－3)或(4，0).
当焦点为(0，－3)时＝3，
所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为
x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为
x2＝－12y或y2＝16x.
(2)解 ①对于y2＝x，焦点在x轴正半轴上，焦点坐标为
准线方程为x＝－.
②对于x2＝－y，焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为
准线方程为y＝.
③对于x2＋12y＝0，即x2＝－12y，
焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为(0，－3)，准线方程为y＝3.
跟踪训练1 (1)A [由题意可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，且p＝2，则抛物线的标准方程为
x2＝4y.]
(2)2 x＝－1
解析 因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，解得p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
例2 解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时，距离之和最小，
所以距离之和的最小值为
d＝ .
延伸探究1 解 将x＝3
代入y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线内部.
设点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是即所求距离之和的最小值是.
延伸探究2 解 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，作PA1⊥l1于点A1，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|.
|A1F|的最小值为点F到直线l1：
3x－4y＋＝0的距离
d＝＝1，
即所求距离之和的最小值为1.
跟踪训练2 3
解析 抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，其焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.过B作直线BD垂直于准线，垂足为D(图略)，设|AM|为A到准线的距离(M为垂足)，由抛物线的定义得|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋|AF|≥|AM|＋|AF|＝2＋1＝3(当且仅当B，A，M三点共线时，取等号).
例3 解 建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为
x2＝－2py(p>0)，
D(15，t)(t<0)，
则B(30，t－150).
由点B，D均在抛物线上，
得
解得
所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150＋50＝200(m).
跟踪训练3 A [
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，结合题意可知，该抛物线经过点则＝2ph，解得p＝故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝.]
随堂演练
1.C [由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝y，
则焦点坐标为.]
2.A [∵＋x0＝x0，∴x0＝1.]
3.A [易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离
d＝＝2.]
4.2
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以抛物线的方程为x2＝－2y，水位下降1米后，y＝－3，代入得x2＝6，所以此时水面宽为2米.(共71张PPT)
3.3.1
抛物线及其标准方程
第三章 §3.3 抛物线
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1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念(重点).
2.会求简单的抛物线方程.
学习目标
同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”，比如篮球投篮时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃的运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线，所以我们说生活中充满了数学，数学就在我们周围.
导 语
一、抛物线的定义及其标准方程
二、抛物线定义的应用
课时对点练
三、抛物线在生活中的应用
随堂演练
内容索引
抛物线的定义及其标准方程
一
提示 在点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|=|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之
问题1
运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
相等
焦点
准线
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
(2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
注 意 点
<<<
比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
问题2
提示 我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
设|KF|=p(p>0)，
那么焦点F的坐标为，
准线l的方程为x=-.
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M||MF|=d}.
因为|MF|=，d=，
所以=，
将上式两边平方并化简，得y2=2px(p>0).
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
____________ ________ ______
_____________ __________ _____
y2=2px(p>0)
x=-
y2=-2px(p>0)
x=
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
___________ ________ ______
____________ __________ ______
x2=2py(p>0)
y=-
x2=-2py(p>0)
y=
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负.
(4)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0+(焦半径公式).
注 意 点
<<<
(课本例1) (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
例 1
因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，
所以它的焦点坐标是
准线方程是x=-.
解
(2)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程.
因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且=2，p=4，
所以抛物线的标准方程是x2=-8y.
解
(课本例2) 一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处(如图2所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
例 1
如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)，由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，
得2.42=2p×1，即p=2.88.
解
所以，所求抛物线的标准方程是y2=5.76x，焦点坐标是(1.44，0).
(1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
①经过点(-3，-1)；
例 1
因为点(-3，-1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，
则由(-1)2=-2p×(-3)，解得p=；
若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，
则由(-3)2=-2p×(-1)，解得p=.
故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.
解
②焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
对于直线方程3x-4y-12=0，
令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，
所以抛物线的焦点为(0，-3)或(4，0).
当焦点为(0，-3)时，=3，所以p=6，
此时抛物线的标准方程为x2=-12y；
当焦点为(4，0)时，=4，所以p=8，
此时抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
解
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
①y2=x；
对于y2=x，焦点在x轴正半轴上，
焦点坐标为，准线方程为x=-.
解
②x2=-y；
对于x2=-y，焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为，准线方程为y=.
解
③x2+12y=0.
对于x2+12y=0，即x2=-12y，
焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为(0，-3)，准线方程为y=3.
解
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
反
思
感
悟
注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2=mx (m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.
(1)焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是
A.x2=4y B.y2=8x
C.x2=8y D.y2=4x
跟踪训练 1
√
由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，且p=2，则抛物线的标准方程为x2=4y.
解析
(2)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p= ，准线方程为
.
因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以=1，解得p=2，则准线方程为x=-=-1.
解析
2
x=-1
二
抛物线定义的应用
已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值.
例 2
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时，距离之和最小，
解
所以距离之和的最小值为d= =.
若将本例中的点(0，2)改为点A(3，2)，求点P到A与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值.
延伸探究 1
将x=3代入y2=2x，得y=±.
所以点A在抛物线内部.
设点P到准线(设为l)x=-的距离为d，
则|PA|+|PF|=|PA|+d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值是
.
解
若将本例中的点(0，2)换为直线l1：3x-4y+=0，求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
延伸探究 2
如图，作PQ垂直于准线l于点Q，作PA1⊥l1于点A1，
|PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|.
|A1F|的最小值为点F到直线l1：
3x-4y+=0的距离d==1，
即所求距离之和的最小值为1.
解
抛物线定义的应用
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
反
思
感
悟
已知抛物线y=x2的焦点为F，A(1，1)，设B为该抛物线上一点，则△ABF周长的最小值为 .
跟踪训练 2
抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，其焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1.过B作直线BD垂直于准线，垂足为D(图略)，设|AM|为A到准线的距离(M为垂足)，由抛物线的定义得|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|≥ |AM|+|AF|=2+1=3(当且仅当B，A，M三点共线时，取等号).
解析
3
抛物线在生活中的应用
三
苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30 m，如图2，求此抛物线顶端O到连桥AB的距离.
例 3
建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，D(15，t)(t<0)，
则B(30，t-150).
由点B，D均在抛物线上，
得
解得
所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200(m).
解
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
反
思
感
悟
如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为
A. B.
C. D.
跟踪训练 3
√
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.
解析
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，结合题意可知，
该抛物线经过点=2ph，解得p=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=.
1.知识清单：
(1)抛物线的定义及其标准方程.
(2)抛物线定义的应用.
(3)抛物线在生活中的应用.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归.
3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知抛物线y=2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为
A.(1，0) B.
C. D.(0，1)
√
由抛物线y=2px2过点(1，4)，可得p=2，
∴抛物线的标准方程为x2=y，
则焦点坐标为.
解析
1
2
3
4
2.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0等于
A.1 B.2 C.4 D.8
√
∵+x0=x0，∴x0=1.
解析
1
2
3
4
3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C. D.
√
1
2
3
4
易知直线l2：x=-1恰为抛物线y2=4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x=-1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0)为抛物线y2=4x的焦点.
由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离
d==2.
解析
1
2
3
4
4.如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽 米.
2
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，则点(2，-2)在抛物线上，代入可得p=1，所以抛物线的方程为x2=-2y，水位下降1米后，y=-3，代入得x2=6，所以此时水面宽为2 米.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 D C B BD C C 2
题号 11 12 答案 C C
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)双曲线方程可化为＝1，
左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝-2px(p>0)且＝-3，
∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝-12x.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，-3)，
由抛物线定义得
5＝|AF|＝.
又(-3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
∴抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝-2py(p>0)，
依题意有P(-1，-1)在抛物线上，代入得p＝，
故得抛物线方程为x2＝-y.
设点A(x，-2)在抛物线上，将A(x，-2)代入抛物线方程得x＝，
则|O'A|＝(+1)m，
因此，所求水池的直径至少为2(1+)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.
基础巩固
1.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
√
由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.若P为抛物线y2=4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则P到y轴的距离为
A.7 B.10
C.8 D.9
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离，所以P到y轴的距离为9-1=8.
解析
3.抛物线y=x2的焦点坐标为
A. B.
C. D.
√
抛物线y=x2的标准形式为x2=y，
所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，
由2p=，得p==，
所以焦点坐标为.
解析
答案
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4.(多选)关于抛物线y2=10x，下列说法正确的是
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1)
√
答案
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√
答案
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抛物线y2=10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误；
设M(1，y0)是y2=10x上一点，则|MF|=1+=1+=≠6，所以C错误；
由于抛物线y2=10x的焦点为，
由题意知过原点的直线方程为y=x，
设过焦点的直线的斜率存在，
方程为y=k，直线过点(2，1)，
则k=-2，因为×(-2)=-1，所以D正确.
解析
5.已知P为抛物线y=x2上的动点，A，B(1，2)，则|PA|+|PB|的最小值为
A. B.
C. D.
√
答案
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由题意知，A为抛物线的焦点.
设点P到准线y=-的距离为d，
则|PA|+|PB|=d+|PB|，
d+|PB|的最小值为B到准线的距离，
所以当PB垂直于准线时取最小值.
故最小值为2+=.
解析
6.已知点A(1，)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，则A到C的准线的距离为 .
答案
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由题意可得，()2=2p×1，
则2p=5，抛物线的方程为y2=5x，
准线方程为x=-，点A到抛物线C的准线的距离为1-=.
解析
7.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
答案
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双曲线方程可化为-=1，
左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3，∴p=6，
∴抛物线的标准方程为y2=-12x.
解
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.
答案
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设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为
y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，
由抛物线定义得5=|AF|=.
又(-3)2=2pm，∴p=±1或p=±9，
∴抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.
解
8.花坛水池中央有一喷泉，水管|O'P|=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少m？(精确到1 m).
答案
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如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，
依题意有P(-1，-1)在抛物线上，代入得p=，故得抛物线方程为x2=-y.
设点A(x，-2)在抛物线上，将A(x，-2)代入抛物线方程得x=，则|O'A|=(+1)m，
因此，所求水池的直径至少为2(1+)m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
解
9.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是
A.5 B. C.-1 D.+1
答案
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√
综合运用
点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是-1，这个值即为所求.
解析
10.若抛物线y2=2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是 .
答案
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由抛物线方程y2=2x可知，=，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，
即|AF|=x1+=x1+.
同理|BF|=x2+=x2+.
故|AF|+|BF|=x1+x2+1=5，
即x1+x2=4，得=2.
故线段AB的中点的横坐标是2.
解析
11.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=，若以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，则抛物线C的方程为
A.x2=4y或x2=8y
B.x2=2y或x2=4y
C.x2=2y或x2=8y
D.x2=4y或x2=16y
√
能力提升
答案
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答案
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设P(x，y)，F，
由条件可知y+=，
即y=-，
并且线段PF的中点纵坐标是=，
因为以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，
所以x=-2，即P，
解析
答案
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代入抛物线方程得4=2p，
整理得p2-5p+4=0，
解得p=1或p=4，
即抛物线C的方程是x2=2y或x2=8y.
解析
12.已知抛物线y=x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q，记点P到x轴的距离为d，则d+|PQ|的最小值为
A. B.
C. D.
√
答案
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答案
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如图，记l：y=-是抛物线的准线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接FQ，
则|PF|=|PH|，F.
因为点P到x轴的距离比点P到l的距离少，
所以d+|PQ|=|PH|-+|PQ|=|PF|+|PQ|-，
所以当Q，P，F三点共线，且点P在线段FQ上时，
d+|PQ|最小，且最小值为|FQ|-=-=2-=.
解析
第三章 §3.3 抛物线
<<<作业41 抛物线及其标准方程
分值：80分
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
2.若P为抛物线y2＝4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则P到y轴的距离为
A.7 B.10 C.8 D.9
3.抛物线y＝x2的焦点坐标为
A. B.
C. D.
4.(多选)关于抛物线y2＝10x，下列说法正确的是
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1)
5.已知P为抛物线y＝x2上的动点，A，B(1，2)，则|PA|＋|PB|的最小值为
A. B.
C. D.
6.已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，则A到C的准线的距离为 .
7.(14分)根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(7分)
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.(7分)
8.(15分)花坛水池中央有一喷泉，水管|O'P|＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少m？(精确到1 m).
9.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是
A.5 B.
C.－1 D.＋1
10.若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是 .
11.设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|＝，若以线段PF为直径的圆与x轴切于(－1，0)，则抛物线C的方程为
A.x2＝4y或x2＝8y
B.x2＝2y或x2＝4y
C.x2＝2y或x2＝8y
D.x2＝4y或x2＝16y
12.已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q，记点P到x轴的距离为d，则d＋|PQ|的最小值为
A. B.
C. D.
答案精析
1.D [由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.]
2.C [根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x＝－1的距离，所以P到y轴的距离为9－1＝8.]
3.B [抛物线y＝x2的标准形式为x2＝y，所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，
由2p＝，得p＝，则，
所以焦点坐标为.]
4.BD [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，
则|MF|＝1＋＝1＋≠6，
所以C错误；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，
由题意知过原点的直线方程为y＝x，
设过焦点的直线的斜率存在，
方程为y＝k，
直线过点(2，1)，
则k＝－2，因为×(－2)＝－1，
所以D正确.]
5.C [由题意知，A为抛物线的焦点.
设点P到准线y＝－的距离为d，
则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，
d＋|PB|的最小值为B到准线的距离，所以当PB垂直于准线时取最小值.故最小值为2＋.]
6.
解析 由题意可得，()2＝2p×1，
则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，
准线方程为x＝－，点A到抛物线C的准线的距离为1－.
7.解 (1)双曲线方程可化为
＝1，
左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为
y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得
5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
∴抛物线的标准方程为
y2＝±2x或y2＝±18x.
8.解 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为
x2＝－2py(p>0)，
依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝，故得抛物线方程为x2＝－y.
设点A(x，－2)在抛物线上，将A(x，－2)代入抛物线方程得x＝，
则|O'A|＝(＋1)m，
因此，所求水池的直径至少为2(1＋)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.
9.C [点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，这个值即为所求.]
10.2
解析 由抛物线方程y2＝2x可知，，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，
即|AF|＝x1＋＝x1＋.
同理|BF|＝x2＋＝x2＋.
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝5，
即x1＋x2＝4，得＝2.
故线段AB的中点的横坐标是2.
11.C [设P(x，y)，
F，
由条件可知
y＋，
即y＝，
并且线段PF的中点纵坐标是
，
因为以线段PF为直径的圆与x轴切于(－1，0)，
所以x＝－2，即P，
代入抛物线方程得4＝2p，
整理得p2－5p＋4＝0，
解得p＝1或p＝4，
即抛物线C的方程是
x2＝2y或x2＝8y.]
12.C [如图，记l：y＝－是抛物线的准线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接FQ，
则|PF|＝|PH|，F.
因为点P到x轴的距离比点P到l的距离少，
所以d＋|PQ|＝|PH|－＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－，
所以当Q，P，F三点共线，且点P在线段FQ上时，d＋|PQ|最小，且最小值为|FQ|－＝
＝2－.]
