习题课 弦长问题
学习目标 1.会利用弦长公式求直线被椭圆所截的弦长.2.掌握有关弦长的最值问题.
一、弦长问题
问题 当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？
知识梳理
弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＝1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝＝ 或|AB|＝ .
例1 已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长.
反思感悟 求解弦长时，如果交点坐标易求，可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；如果交点坐标不易求解，则可以直接利用弦长公式求解.
跟踪训练1 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
二、与弦长有关的最值、范围问题
例2 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
反思感悟 求与弦长有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
跟踪训练2 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过点D，且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的下顶点，当△PMN面积最大时，求直线l的方程.
1.知识清单：
(1)弦长问题.
(2)与弦长有关的最值、范围问题.
2. 方法归纳：数形结合.
3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况.
1.过椭圆＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是( )
A. B.
C. D.
2.直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是( )
A. B.
C. D.
3.已知椭圆C：＝1，F为椭圆C的右焦点，过原点O且斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，则△PQF的面积的最大值为( )
A.1 B.2 C.2 D.
4.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A，B，|FA|＝3，|FB|＝1，则直线y＝x＋被椭圆C截得的弦长为 .
答案精析
问题 当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
所以|AB|＝
＝
＝
或|AB|＝
＝
＝.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
当直线斜率不存在时，可代入直接求得.
知识梳理
例1 解 因为直线l过椭圆＝1的右焦点F1(1，0)，
又直线斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
方法一 解方程组
得交点A(0，－2)，B
所以|AB|＝
＝
＝.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y得3x2－5x＝0，
因为Δ＝(－5)2＝25>0，
则x1＋x2＝x1x2＝0.
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
方法三 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去x得3y2＋2y－8＝0，
因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，
则y1＋y2＝－y1y2＝－
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
跟踪训练1 解 (1)由题意得
解得
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为
(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝x1x2＝
所以|MN|＝
＝
＝.
又点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝
所以△AMN的面积
S＝|MN|·d＝
由
得k＝±1，满足Δ>0.
所以当△AMN的面积为时，
k＝±1.
例2 解 (1)由题意得
∴
∴椭圆C的方程为＝1.
(2)设直线AB的方程为
y＝－x＋m，
联立
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
由Δ＝(－4m)2－4×3(2m2－6)>0，得－3x1＋x2＝x1x2＝
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
原点到直线AB的距离d＝.
∴S△OAB＝××
＝
≤·.
当且仅当m＝±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为.
跟踪训练2 解 (1)由题意得解得
则b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线斜率存在，P(0，－1)，
设直线l：y＝kx＋
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(4k2＋1)x2＋4kx－3＝0，
Δ＝16k2＋12(4k2＋1)>0.
x1＋x2＝－
x1x2＝
S△PMN＝|PD||x1－x2|
＝
＝×
令＝m(m≥)，
则S△PMN＝×
＝
又∵y＝m＋在[＋∞)单调递增，
∴当m＝即
即k＝0时，△PMN面积最大，
此时直线l：y＝.
随堂演练
1.A [最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.
将x＝c代入＝1，
得y＝±故最短弦长是.]
2.A [将直线y＝x＋1代入
x2＋4y2＝8，
可得x2＋4(x＋1)2＝8，
即5x2＋8x－4＝0，
∴x1＝－2，x2＝
∴y1＝－1，y2＝
∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为
.]
3.D [如图所示，
由于|OF|＝c＝1，
所以S△PQF＝×|OF|×|yP－yQ|，
而等于椭圆的短轴长，
所以△PQF的面积的最大值为
×|OF|×2b＝bc＝.]
4.
解析 设椭圆的半焦距为c，
由|FA|＝3，|FB|＝1，
可得a＋c＝3，a－c＝1，
解得a＝2，c＝1，
则b＝
则椭圆的方程为＝1，
联立直线方程y＝x＋和椭圆方程
3x2＋4y2＝12，可得7x2＋4x－11＝0，设截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－x1x2＝－
可得弦长为
·
＝×.(共83张PPT)
习题课
弦长问题
第三章 圆锥曲线的方程
<<<
1.会利用弦长公式求直线被椭圆所截的弦长(重点).
2.掌握有关弦长的最值问题(难点).
学习目标
我们知道，当直线被圆所截时，求弦长有两种方法：一是代数法求弦长，二是几何法求弦长，当直线被椭圆所截时，弦长如何求呢？
导 语
一、弦长问题
二、与弦长有关的最值、范围问题
课时对点练
随堂演练
内容索引
弦长问题
一
当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？
问题
提示 当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(k≠0)，椭圆方程为+ =1(a>b>0)或+=1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
则|AB|=，
所以|AB|=
=
=，
或|AB|=
=
=.
其中，x1+x2，x1x2或y1+y2，y1y2的值可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
当直线斜率不存在时，可代入直接求得.
弦长公式：当直线y=kx+b(k≠0)与椭圆+=1(a>b>0)的两交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|==
___________________________或|AB|= .
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
(2)不确定直线有没有斜率时，要分类讨论.
注 意 点
<<<
已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长.
例 1
因为直线l过椭圆+=1的右焦点F1(1，0)，
又直线斜率为2，所以直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0.
方法一 解方程组
得交点A(0，-2)，B，
所以|AB|====.
解
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y得3x2-5x=0，因为Δ=(-5)2=25>0，
则x1+x2=，x1x2=0.
所以|AB|==
===.
解
方法三 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组
消去x得3y2+2y-8=0，
因为Δ=22-4×3×(-8)=100>0，
则y1+y2=-，y1y2=-，
所以|AB|==
===.
解
求解弦长时，如果交点坐标易求，可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；如果交点坐标不易求解，则可以直接利用弦长公式求解.
反
思
感
悟
已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
跟踪训练 1
由题意得
所以椭圆C的方程为+=1.
解
(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=，
所以|MN|==
=.
又点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，
解
所以△AMN的面积S=|MN|·d=，
由=，
得k=±1，
满足Δ>0.
所以当△AMN的面积为时，
k=±1.
解
二
与弦长有关的最值、范围问题
在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且点P(2，1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
例 2
由题意得∴
∴椭圆C的方程为+=1.
解
(2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
设直线AB的方程为y=-x+m，
联立
得3x2-4mx+2m2-6=0，
由Δ=(-4m)2-4×3(2m2-6)>0，得-3x1+x2=，x1x2=，
∴|AB|=|x1-x2|=，
原点到直线AB的距离d=.
解
∴S△OAB=××
=≤·=.
当且仅当m=±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为.
解
求与弦长有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
反
思
感
悟
已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
跟踪训练 2
由题意得
则b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的方程为+y2=1.
解
(2)设直线l过点D，且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的下顶点，当△PMN面积最大时，求直线l的方程.
由题意可知，直线斜率存在，P(0，-1)，
设直线l：y=kx+，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(4k2+1)x2+4kx-3=0，Δ=16k2+12(4k2+1)>0.
x1+x2=-，x1x2=，
解
S△PMN=|PD||x1-x2|==×，
令=m(m≥)，
则S△PMN=×===，
又∵y=m+，+∞)单调递增，
∴当m==，
即k=0时，△PMN面积最大，
此时直线l：y=.
解
1.知识清单：
(1)弦长问题.
(2)与弦长有关的最值、范围问题.
2. 方法归纳：数形结合.
3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是
A. B. C. D.
√
最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.
将x=c代入+=1，得y=±，
故最短弦长是.
解析
1
2
3
4
2.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长是
A. B. C. D.
√
将直线y=x+1代入x2+4y2=8，
可得x2+4(x+1)2=8，即5x2+8x-4=0，
∴x1=-2，x2=，∴y1=-1，y2=，
∴直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长为=.
解析
1
2
3
4
3.已知椭圆C：+=1，F为椭圆C的右焦点，过原点O且斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，则△PQF的面积的最大值为
A.1 B.2 C.2 D.
√
如图所示，由于|OF|=c=1，
所以S△PQF=×|OF|×|yP-yQ|，
而等于椭圆的短轴长，
所以△PQF的面积的最大值为×|OF|×2b=bc=.
解析
1
2
3
4
4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A，B，|FA|=3，|FB|=1，则直线y=x+被椭圆C截得的弦长为 .
1
2
3
4
设椭圆的半焦距为c，
由|FA|=3，|FB|=1，
可得a+c=3，a-c=1，
解得a=2，c=1，
则b===，
则椭圆的方程为+=1，
联立直线方程y=x+和椭圆方程3x2+4y2=12，
解析
1
2
3
4
可得7x2+4x-11=0，
设截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2，
则x1+x2=-，x1x2=-，
可得弦长为·
=×=.
解析
课时对点练
四
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 9
答案 B B C B BC 12 A
题号 10 11 12 答案 B A
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)设A(-c，y)在椭圆C上，
则＝1，解得y＝±，
所以解得
所以椭圆C的方程为＝1.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m+n＝2a＝4，
由余弦定理得(2c)2＝m2+n2-2mncos ，
即m2+n2-mn＝(m+n)2-3mn＝32-3mn＝16，
则mn＝，
所以mnsin ××.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)依题意2b＝2，b＝.
×|F1F2|×|yP|＝c×|yP|，
当|yP|最大，即P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，
为c×b＝，
所以c＝1，a＝＝2，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由(1)得B1(0，)，F2(1，0)，＝-，
由于MN⊥B1F2，所以直线MN的斜率为，
所以直线MN的方程为y＝(x-1)，
方法一 由消去y并化简得13x2-8x-32＝0，
Δ＝64+4×13×32＝1 728>0，
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2＝，x1x2＝-，
所以|MN|＝×
＝×，F1(-1，0)到直线y＝(x-1)，
即x-y-1＝0的距离d＝＝1，
所以△F1MN的面积为×d×|MN|＝.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 由
消去x得13y2+6y-9＝0，
Δ＝36×3+4×13×9＝576>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2＝-，y1y2＝-，
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以|y1-y2|＝，
又|F1F2|＝2，故△F1MN的面积为|F1F2|·|y1-y2|＝×2×.
基础巩固
1.一条过原点的直线与椭圆+=1(a>b>0)的一个交点为(，)，则它被椭圆截得的弦长等于
A.3 B.6
C.2 D.2
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设直线与椭圆相交的两点为A，B，
根据对称性可知A，B两点关于原点O对称，
即|OA|=|OB|，
不妨令|OA|==3，
所以|AB|=|OA|+|OB|=3+3=6.
解析
2.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
易求直线AB的方程为y=(x+).
由
消去y并整理，得7x2+12x+8=0.
Δ=-4×7×8=64>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-，x1x2=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由弦长公式，得|AB|=·|x1-x2|
=2×=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意知直线AB的方程为y=x-1，
联立椭圆方程+=1，整理可得7x2-8x-8=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=-.
故|AB|=·=.
又点F1(-1，0)，点F1到直线AB的距离d=，
故=×|AB|×d=.
解析
4.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y=x+m，
由
消去y得5x2+8mx+4(m2-1)=0，
由Δ=(8m)2-4×5×4(m2-1)=80-16m2>0，得0≤m2<5.
则x1+x2=-，x1x2=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∴|AB|=|x1-x2|
=·
=·
=·，
∴当m=0时，|AB|取得最大值.
解析
5.(多选)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y=x-过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则
A.椭圆的焦距为 B.椭圆方程为+y2=1
C.|AB|= D.S△OAB=
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为△AF1B的周长为8，所以4a=8，得a=2，因为y=x-过右焦点F2，所以c=，所以b2=a2-c2=4-3=1，所以椭圆的焦距为2，故A错误；
所以椭圆方程为+y2=1，故B正确；
设A(x1，y1)，B(x2y2)，由
得5x2-8x+8=0，解得x1+x2=，x1x2=，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
|AB|==
=
==，故C正确；
原点到直线y=x-的距离d==，
所以S△OAB=d·|AB|=××=，故D错误.
解析
6.直线y=x+2交椭圆+=1于A，B两点，若|AB|=3，则m的值为 .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法一 由椭圆+=1，
得上顶点为(0，2)，而直线y=x+2也过(0，2)，
所以A(0，2)为直线与椭圆的一个交点，
设B(xB，yB)，则|AB|==|xB-xA|=|xB|=3，
解得xB=±3，
所以B(-3，-1)或B(3，5)(舍去)，
把B(-3，-1)代入椭圆方程得+=1，故m=12.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 由
得(4+m)x2+4mx=0，所以xA=0，xB=，
又|AB|=
=|xB-xA|=|xB|，
所以=3，
因为m>0，所以=3，故m=12.
解析
7.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为2.
(1)求椭圆C的方程；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设A(-c，y)在椭圆C上，
则+=1，解得y=±，
所以
所以椭圆C的方程为+=1.
解
(2)设点P在椭圆上，且∠F1PF2=，求△F1PF2的面积.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设|PF1|=m，|PF2|=n，
则m+n=2a=4，
由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos ，
即m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=32-3mn=16，则mn=，
所以=mnsin =××=.
解
8.设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，短轴长为2，P为椭圆C上一点，△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
依题意2b=2，b=.
=×|F1F2|×|yP|
=c×|yP|，
当|yP|最大，即P是椭圆的上、下顶点时，
△PF1F2的面积取得最大值，为c×b=，
所以c=1，a==2，
所以椭圆C的标准方程为+=1.
解
(2)过点F2的直线与C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN的面积.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由(1)得B1(0，)，F2(1，0)，==-，
由于MN⊥B1F2，所以直线MN的斜率为，
所以直线MN的方程为y=(x-1)，
方法一 由消去y并化简得
13x2-8x-32=0，Δ=64+4×13×32=1 728>0，
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=-，
所以|MN|=×=×=，
F1(-1，0)到直线y=(x-1)，
即x-y-1=0的距离d==1，
所以△F1MN的面积为×d×|MN|=.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 由
消去x得13y2+6y-9=0，Δ=36×3+4×13×9=576>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=-，y1y2=-，
所以|y1-y2|==，
又|F1F2|=2，故△F1MN的面积为|F1F2|·|y1-y2|=×2×=.
解
9.已知F1，F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|=2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若=4，则|AB|等于
A.8 B.6
C.5 D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵=4，c=1，
∴×2c×|yA-yB|=4，
∴|yA-yB|=4.
∵直线过椭圆左焦点且斜率为，
∴|AB|=|yA-yB|=8.
解析
10.直线y=kx-1被椭圆C：+y2=1截得的最大弦长为
A.3 B.
C.2 D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
联立直线y=kx-1和椭圆+y2=1，
可得(1+5k2)x2-10kx=0，
解得x=0或x=，
则弦长l=·，
令1+5k2=t(t≥1)，
则l==2=2，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当t=，
即k=±时，
l取得最大值2×=.
解析
11.已知直线y=2x+m与椭圆C：+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，|AB|等于
A. B.
C. D.
√
能力提升
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由得21x2+20mx+5m2-5=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-，x1x2=，|AB|=·
==.
又O到直线AB的距离d=，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
则△AOB的面积S=d·|AB|=≤=，
当且仅当m2=21-m2，
即m2=时，
△AOB的面积取得最大值，
此时|AB|==.
解析
12.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米).根据市民建议，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ的长为 千米.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意设PQ的方程为y=kx+b，
由图易得b>1，->2，
联立
可得x2+2kbx+b2-1=0，
则Δ=(2kb)2-4(b2-1)=0，
即k2=(b2-1).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵P，Q(0，b)，
∴|PQ|2=+b2=+b2=+b2
=4++b2=5++(b2-1)≥5+2=9，
当且仅当b2-1=，
即b=时取等号，即|OQ|=.
解析
第三章 圆锥曲线的方程
<<<作业34 弦长问题
分值：80分
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.一条过原点的直线与椭圆＝1(a>b>0)的一个交点为(，)，则它被椭圆截得的弦长等于
A.3 B.6
C.2 D.2
2.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为
A. B. C. D.
3.已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为
A. B.
C. D.
4.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为
A. B.
C. D.
5.(多选)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则
A.椭圆的焦距为
B.椭圆方程为＋y2＝1
C.|AB|＝
D.S△OAB＝
6.直线y＝x＋2交椭圆＝1于A，B两点，若|AB|＝3，则m的值为 .
7.(14分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为2.
(1)求椭圆C的方程；(6分)
(2)设点P在椭圆上，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积.(8分)
8.(15分)设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，短轴长为2，P为椭圆C上一点，△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；(6分)
(2)过点F2的直线与C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN的面积.(9分)
9.已知F1，F2分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若＝4，则|AB|等于
A.8 B.6
C.5 D.
10.直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最大弦长为
A.3 B.
C.2 D.
11.已知直线y＝2x＋m与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，|AB|等于
A. B.
C. D.
12. 如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米).根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ的长为 千米.
答案精析
1.B [设直线与椭圆相交的两点为A，B，根据对称性可知A，B两点关于原点O对称，即|OA|＝|OB|，
不妨令|OA|＝＝3，
所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝3＋3＝6.]
2.B [易求直线AB的方程为
y＝(x＋).
由
消去y并整理，得
7x2＋12x＋8＝0.
Δ＝－4×7×8＝64>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得
|AB|＝·|x1－x2|
＝2×.]
3.C [由题意知直线AB的方程为
y＝x－1，
联立椭圆方程＝1，
整理可得7x2－8x－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
故|AB|＝·.
又点F1(－1，0)，
点F1到直线AB的距离d＝，
故×|AB|×d＝.]
4.B [设A，B两点的坐标分别为
(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋m，
由
消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
由Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0，得0≤m2<5.
则x1＋x2＝－，
x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值.]
5.BC [因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，
所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，
所以椭圆的焦距为2，故A错误；
所以椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；
设A(x1，y1)，B(x2y2)，
由
得5x2－8x＋8＝0，
解得x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝
＝，
故C正确；
原点到直线y＝x－的距离
d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××，故D错误.]
6.12
解析 方法一 由椭圆＝1，
得上顶点为(0，2)，而直线y＝x＋2也过(0，2)，所以A(0，2)为直线与椭圆的一个交点，设B(xB，yB)，
则|AB|＝
＝|xB－xA|＝|xB|＝3，
解得xB＝±3，
所以B(－3，－1)或B(3，5)(舍去)，
把B(－3，－1)代入椭圆方程得
＝1，故m＝12.
方法二 由
得(4＋m)x2＋4mx＝0，
所以xA＝0，xB＝，
又|AB|＝
＝|xB－xA|＝|xB|，
所以＝3，
因为m>0，所以＝3，故m＝12.
7.解 (1)设A(－c，y)在椭圆C上，
则＝1，解得y＝±，
所以解得
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝2a＝4，
由余弦定理得
(2c)2＝m2＋n2－2mncos，
即m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn
＝32－3mn＝16，
则mn＝，
所以mnsin××.
8.解 (1)依题意2b＝2，b＝.
×|F1F2|×|yP|
＝c×|yP|，
当|yP|最大，即P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，
为c×b＝，
所以c＝1，a＝＝2，
所以椭圆C的标准方程为
＝1.
(2)由(1)得B1(0，)，F2(1，0)，
＝－，
由于MN⊥B1F2，
所以直线MN的斜率为，
所以直线MN的方程为
y＝(x－1)，
方法一 由
消去y并化简得
13x2－8x－32＝0，
Δ＝64＋4×13×32＝1 728>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|MN|＝×
＝×，
F1(－1，0)到直线y＝(x－1)，
即x－y－1＝0的距离
d＝＝1，
所以△F1MN的面积为
×d×|MN|＝.
方法二 由
消去x得13y2＋6y－9＝0，
Δ＝36×3＋4×13×9＝576>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
，
又|F1F2|＝2，故△F1MN的面积为|F1F2|·|y1－y2|＝×2×.
9.A [∵＝4，c＝1，
∴×2c×|yA－yB|＝4，
∴|yA－yB|＝4.
∵直线过椭圆左焦点且斜率为，
∴|AB|＝|yA－yB|＝8.]
10.B [联立直线y＝kx－1和椭圆
＋y2＝1，
可得(1＋5k2)x2－10kx＝0，
解得x＝0或x＝，
则弦长l＝·，
令1＋5k2＝t(t≥1)，
则l＝
＝2
＝2，
当t＝，即k＝±时，
l取得最大值2×.]
11.A [由
得21x2＋20mx＋5m2－5＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
|AB|＝·
＝.
又O到直线AB的距离d＝，
则△AOB的面积
S＝d·|AB|＝
≤，
当且仅当m2＝21－m2，
即m2＝时，
△AOB的面积取得最大值，
此时|AB|＝.]
12.
解析 由题意设PQ的方程为
y＝kx＋b，
由图易得b>1，－>2，
联立
可得x2＋2kbx＋b2－1＝0，
则Δ＝(2kb)2－4(b2－1)＝0，
即k2＝(b2－1).
∵P，Q(0，b)，
∴|PQ|2＝＋b2＝＋b2＝＋b2＝4＋＋b2
＝5＋＋(b2－1)
≥5＋2＝9，
当且仅当b2－1＝，
即b＝时取等号，即|OQ|＝.
