习题课 圆锥曲线的离心率
学习目标 1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题.
一、直接法
例1 已知椭圆C：＝1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
反思感悟 根据已知条件求出a和c的值，代入e＝，即可求出离心率.
跟踪训练1 已知F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若|AB|＝10，则C的离心率为( )
A.2 B. C.4 D.6
二、齐次式法
根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式(方程或不等式)，进而得到关于e的方程或不等式，得出离心率e的值或范围，我们在解题时，经常从以下几个角度构造齐次式.
角度1 利用圆锥曲线的定义
例2 已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
反思感悟 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.
跟踪训练2 设F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为 .
角度2 利用正余弦定理
例3 设F1，F2为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若|F1P|＝|F1F2|，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率为 .
反思感悟 如果已知条件中涉及三角形中的一些角度和长度的信息，可以借助正、余弦定理来得到a，c的齐次式.
跟踪训练3 过椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A. B.－1
C. D.
角度3 利用图形的几何性质
例4 已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
反思感悟 解析几何的本质是几何，将数量关系转化为几何关系，根据平面图形的几何性质求离心率的值或范围.
跟踪训练4 已知双曲线＝1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率e等于( )
A. B.5
C. D.7
1.知识清单：
(1)圆锥曲线的离心率的求法.
(2)圆锥曲线的离心率的范围问题.
2.方法归纳：直接法和齐次式法.
3.常见误区：忽略离心率的范围导致出错.
1.设双曲线＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
2.已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为( )
A. B.
C. D.
3.已知椭圆＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的角平分线与x轴的交点，若|QF2|＝2|OQ|，则椭圆离心率的取值范围是 .
答案精析
例1 A [由题可知4a＝16，即a＝4，
c＝
所以椭圆C的离心率
e＝.]
跟踪训练1 B [双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，
所以焦点F(c，0)到渐近线
bx－ay＝0的距离为
＝b＝.
由＝1，
令x＝c，得＝1，
则y2＝5＝5×所以y＝±
所以|AB|＝＝10，a＝1，
所以c＝
所以e＝.]
例2 B [不妨设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c(a>b>0，c>0)，则a2＝b2＋c2，
且根据椭圆的性质易知F(－c，0)，
A(a，0)，B(0，b)，
所以|AB|＝
|AF|＝a＋c，|BF|＝a，
则|AB|>|BF|，|AF|>|BF|，
显然若△ABF为等腰三角形，则只能有|AB|＝|AF|，即a2＋b2＝(a＋c)2
a2－2ac－2c2＝0，
等式两边同时除以a2可得
1－2e－2e2＝0，
即2e2＋2e－1＝0，
因为0
跟踪训练2
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，
得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝r2＝.
又r1·r2＝ab，
所以·ab，
解得(负值舍去)，
故e＝
＝.
例3 2
解析 设直线l的倾斜角为α，
则cos α＝由P在第一象限内，
且|F1P|＝|F1F2|，
则|F1P|＝|F1F2|＝2c，
∴|F2P|＝2c－2a，
由余弦定理可得
cos∠PF1F2＝cos α
＝
整理得3c2－8ac＋4a2＝0，
则3e2－8e＋4＝0，
解得e＝2或e＝(舍去).
跟踪训练3 C [由题意知，在△PF1F2中，∠F1PF2＝30°，
由正弦定理可得
＝
所以
＝
所以该椭圆的离心率
e＝
＝
＝
＝.]
例4 D [根据双曲线的定义知，△ABF1的周长为4a＋2|AB|，
当AB过焦点F2且与x轴垂直时，|AB|＝
即|AB|的最小值为
故|AB|≥
所以4a＋2|AB|≥4a＋
而△ABF1的周长为10a，
所以4a＋≤10a，即2b2≤3a2，
所以2(c2－a2)≤3a2，
解得e≤又e>1，
所以双曲线离心率的取值范围是.]
跟踪训练4 C [由题意知|AF2|＝|AB|＝|BF2|，
|AF1|－|AF2|＝2a，
即|AB|＋|BF1|－|AF2|＝2a，
则|BF1|＝2a，
又|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|BF2|＝4a，
取AB的中点D，连接DF2，
由△ABF2为等边三角形，
得DF2⊥AB，
且|BD|＝2a，所以|DF2|＝2a，
|DF1|＝|BD|＋|BF1|＝2a＋2a＝4a，
因为△F1DF2为直角三角形，所以|F1F2|2＝|DF1|2＋|DF2|2，
则(2c)2＝(4a)2＋(2a)2，
所以e＝.]
随堂演练
1.C [因为双曲线＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，
所以2c＝10，c＝5，
所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4.
所以离心率e＝.]
2.C [圆C：(x－3)2＋y2＝4的圆心C(3，0)，半径r＝2，
设双曲线D的方程为
＝1(a>0，b>0)，
则其渐近线方程为bx±ay＝0，
于是＝2，即
因此双曲线D的离心率
e＝.]
3.C [设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，
代入M(－4，1)，
解得e＝.]
4.
解析 ∵|QF2|＝2|OQ|，
∴|QF2|＝c，|QF1|＝c.
∵PQ是∠F1PF2的角平分线，
∴＝2，
则|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，
解得|PF2|＝.
由a－c<可得e＝>.又0∴椭圆离心率的取值范围是.(共78张PPT)
习题课
圆锥曲线的离心率
第三章 圆锥曲线的方程
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1.掌握圆锥曲线的离心率的求法(重点).
2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题(难点).
学习目标
一、直接法
二、齐次式法
课时对点练
随堂演练
内容索引
直接法
一
已知椭圆C：+=1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
√
例 1
由题可知4a=16，即a=4，
c==，
所以椭圆C的离心率e==.
解析
根据已知条件求出a和c的值，代入e=，即可求出离心率.
反
思
感
悟
已知F为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若|AB|=10，则C的离心率为
A.2 B. C.4 D.6
跟踪训练 1
√
双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，
所以焦点F(c，0)到渐近线bx-ay=0的距离为==b=.
由-=1，令x=c，得-=1，
则y2=5=5×==，
所以y=±，
所以|AB|==10，a=1，
所以c==，所以e==.
解析
二
齐次式法
根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式(方程或不等式)，进而得到关于e的方程或不等式，得出离心率e的值或范围，我们在解题时，经常从以下几个角度构造齐次式.
已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为
A. B.
C. D.
例 2
角度1 利用圆锥曲线的定义
√
不妨设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c(a>b>0，c>0)，
则a2=b2+c2，
且根据椭圆的性质易知F(-c，0)，A(a，0)，B(0，b)，
所以|AB|=，|AF|=a+c，|BF|=a，
则|AB|>|BF|，|AF|>|BF|，
显然若△ABF为等腰三角形，则只能有|AB|=|AF|，即a2+b2=(a+c)2 a2-2ac-2c2=0，
等式两边同时除以a2可得1-2e-2e2=0，即2e2+2e-1=0，
因为0解析
根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.
反
思
感
悟
设F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|=ab，则该双曲线
的离心率为 .
跟踪训练 2
不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|=r1，|PF2|=r2.
根据双曲线的定义，
得r1-r2=2a，
又r1+r2=3b，
故r1=，r2=.
又r1·r2=ab，
所以·=ab，
解
解得=(负值舍去)，
故e=====.
解
设F1，F2为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若|F1P|=|F1F2|，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率为 .
例 3
角度2 利用正余弦定理
2
设直线l的倾斜角为α，
则cos α=，
由P在第一象限内，
且|F1P|=|F1F2|，
则|F1P|=|F1F2|=2c，
∴|F2P|=2c-2a，
解析
由余弦定理可得cos∠PF1F2=cos α==，
整理得3c2-8ac+4a2=0，
则3e2-8e+4=0，
解得e=2或e=(舍去).
解析
如果已知条件中涉及三角形中的一些角度和长度的信息，可以借助正、余弦定理来得到a，c的齐次式.
反
思
感
悟
过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为
A. B.-1 C. D.
跟踪训练 3
√
由题意知，在△PF1F2中，∠F1PF2=30°，
由正弦定理可得=
==，
所以=，
所以该椭圆的离心率e====
==.
解析
已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
例 4
角度3 利用图形的几何性质
√
根据双曲线的定义知，△ABF1的周长为4a+2|AB|，
当AB过焦点F2且与x轴垂直时，|AB|=，
即|AB|的最小值为，
故|AB|≥，所以4a+2|AB|≥4a+，
而△ABF1的周长为10a，
所以4a+≤10a，即2b2≤3a2，
解析
所以2(c2-a2)≤3a2，解得e≤，又e>1，
所以双曲线离心率的取值范围是.
解析
解析几何的本质是几何，将数量关系转化为几何关系，根据平面图形的几何性质求离心率的值或范围.
反
思
感
悟
已知双曲线-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率e等于
A. B.5 C. D.7
跟踪训练 4
√
由题意知|AF2|=|AB|=|BF2|，|AF1|-|AF2|=2a，
即|AB|+|BF1|-|AF2|=2a，
则|BF1|=2a，又|BF2|-|BF1|=2a，
所以|BF2|=4a，
取AB的中点D，连接DF2，
由△ABF2为等边三角形，得DF2⊥AB，
且|BD|=2a，所以|DF2|=2a，|DF1|=|BD|+|BF1|=2a+2a=4a，
因为△F1DF2为直角三角形，所以|F1F2|2=|DF1|2+|DF2|2，
则(2c)2=(4a)2+(2a)2，所以e==.
解析
1.知识清单：
(1)圆锥曲线的离心率的求法.
(2)圆锥曲线的离心率的范围问题.
2.方法归纳：直接法和齐次式法.
3.常见误区：忽略离心率的范围导致出错.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.设双曲线-=1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
√
因为双曲线-=1(a>0)的两焦点之间的距离为10，
所以2c=10，c=5，
所以a2=c2-9=16，所以a=4.
所以离心率e==.
解析
1
2
3
4
2.已知圆C：x2+y2-6x+5=0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
圆C：(x-3)2+y2=4的圆心C(3，0)，
半径r=2，
设双曲线D的方程为-=1(a>0，b>0)，
则其渐近线方程为bx±ay=0，
于是=2，即=，
因此双曲线D的离心率e===.
解析
1
2
3
4
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0，弦的中点坐标是M(-4，1)，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
√
设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM=-xM，代入M(-4，1)，解得=，e==.
解析
1
2
3
4
4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的角平分线与x轴的交点，
若|QF2|=2|OQ|，则椭圆离心率的取值范围是 .
1
2
3
4
∵|QF2|=2|OQ|，
∴|QF2|=c，|QF1|=c.
∵PQ是∠F1PF2的角平分线，
∴==2，则|PF1|=2|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a，解得|PF2|=.
由a-c<.
又0解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 D A D A CD C D
题号 11 12 答案 A
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由|AF|＝9，|OB|＝3，
则a+c＝9，b＝3，
由b＝＝3，
则(a+c)(a-c)＝9，
可得a-c＝1，
解得a＝5，所以椭圆C的标准方程为＝1.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由＝1，
则A(-a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
所以直线AB的斜率k1＝，
直线BF的斜率k2＝＝-，
由AB⊥BF，则k1k2＝-1，
即b2＝ac，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由b2＝a2-c2，则a2-c2＝ac，
则1-e2＝e，
由e＝∈(0，1)，解得e＝，
所以椭圆C的离心率为.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)∵双曲线C为等轴双曲线，
∴＝1，
∵双曲线过点P(2，)，
将其代入得＝1，
解得a2＝1，
∴双曲线C的方程为x2-y2＝1.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)方法一
∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，
∠MOF＝45°，
∴△OMF是等腰直角三角形，
|OF|＝c，
过M作MA⊥x轴于点A，如图所示，
则A，M，
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设左焦点F1(-c，0)，由双曲线定义知|MF1|-|MF|＝2a，
∴2a＝-
＝c-c＝c，
∴e＝.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 同方法一得M，
∵点M在双曲线C：＝1(a>0，b>0)上，
∴＝1，
即＝4，
∴e2-＝4，
整理得e4-6e2+4＝0，解得e2＝3±，
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵e>1，∴e2＝3+，
∴e＝
＝.
∴e＝.
基础巩固
1.已知焦点在x轴上的椭圆C：+=1(a>0)的长轴长为4，则其离心率为
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意得2a=4，b2=4，所以a=2，
所以c===2，
所以椭圆C的离心率e===.
解析
2.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线-=1的离心率为
A. B. C. D.2
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由椭圆的离心率为=，
∴a2=4b2.
∴在双曲线中，e2===.
∴双曲线的离心率e=.
解析
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2=，则椭圆的离心率e等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，
如图，在△F1AF2中，
cos∠F1AF2==，
即1-2e2=，解得e=.
解析
4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，过点A的直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切，与C交于另一点B，且∠BAF=，则C的离心率为
A.3 B.
C.2 D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
显然圆(x-c)2+y2=(c-a)2的圆心为F(c，0)，半径为c-a，令直线l与圆相切的切点为D，连接FD，
则FD⊥AB，有∠DAF=，而|AF|=a+c，
又|AF|=2|FD|，因此a+c=2(c-a)，解得c=3a，
所以双曲线C的离心率为e==3.
解析
5.(多选)已知双曲线-=1(m>0)，则
A.离心率的最小值为4
B.当m=1时，离心率最小
C.离心率最小时双曲线的标准方程为-=1
D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y=0
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意可得e2===m+，因为m>0，所以e2=m+≥2=4，即e≥2，当且仅当m=，即m=2时取等号，此时双曲线的标准方程是-=1，渐近线方程是x±y=0.
解析
6.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点为B，两个焦点分别为F1，F2，
线段BF2的垂直平分线过点F1，则椭圆的离心率为 .
答案
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答案
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如图，设BF2的垂直平分线与BF2交于点H，
由题意可得，F1(-c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，则H，
∴==，==-，
∵·=-1，∴·=-1，化简得b2=3c2，
由a2=b2+c2，解得a2=4c2，
∴e2==，即e=.
解析
7.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.
(1)若|AF|=9，|OB|=3，求椭圆C的标准方程；
答案
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由|AF|=9，|OB|=3，
则a+c=9，b=3，
由b==3，则(a+c)(a-c)=9，
可得a-c=1，
解得a=5，所以椭圆C的标准方程为+=1.
解
(2)若∠ABF=90°，求椭圆C的离心率.
答案
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由+=1，则A(-a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
所以直线AB的斜率k1==，
直线BF的斜率k2==-，
由AB⊥BF，则k1k2=-1，即b2=ac，
由b2=a2-c2，则a2-c2=ac，
则1-e2=e，由e=∈(0，1)，解得e=，
所以椭圆C的离心率为.
解
8.双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线C为等轴双曲线，且过点P(2，)，求双曲线C的方程；
答案
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∵双曲线C为等轴双曲线，
∴-=1，
∵双曲线过点P(2，=1，
解得a2=1，
∴双曲线C的方程为x2-y2=1.
解
(2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率.
答案
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方法一 ∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，∠MOF=45°，
∴△OMF是等腰直角三角形，|OF|=c，
过M作MA⊥x轴于点A，如图所示，
则A，M，
设左焦点F1(-c，0)，由双曲线定义知|MF1|-|MF|=2a，
∴2a=-=c-c=c，
∴e=.
解
答案
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12
方法二 同方法一得M，
∵点M在双曲线C：-=1(a>0，b>0)上，
∴-=1，
即-=4，
∴e2-=4，
整理得e4-6e2+4=0，
解得e2=3±，
解
答案
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∵e>1，∴e2=3+，
∴e==
==.
∴e=.
解
9.已知圆C1：x2+y2=b2与椭圆C2：+=1(a>b>0)，P为椭圆C2的右顶点，由点P作圆C1的两条切线，其夹角为60°，则椭圆C2的离心率是
A. B.
C. D.
答案
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√
综合运用
答案
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12
圆C1：x2+y2=b2的圆心C1即为O(0，0)，半径为b，
由题意作图，由点P(a，0)作圆C1的两条切线PA，PB，
∵两条切线的夹角为60°，
∴∠OPA=30°，
∴|OP|=2|OA|，即a=2b，
则a2=4b2=4(a2-c2)，即3a2=4c2，
得e==.
解析
10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为
A. B.
C. D.
答案
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√
答案
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12
由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程得+=1，
解得|PF2|=.
如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，
设Q(x0，y0)，
根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，
∵=4，
∴==4，
解析
答案
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12
∴|EF1|===，∴x0=-c-=-.
又∵y0=-|QE|=-=-.
∴点Q的坐标为.
将点Q的坐标代入椭圆方程，
得+=1.
结合b2=a2-c2，
解得e==.
解析
11.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
能力提升
答案
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答案
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椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，
设左焦点为F'.
∴|AF'|+|AF|=2a，
根据对称关系知四边形AF'BF为矩形，
∴|AB|=|FF'|=2c.
由于AF⊥BF，∠ABF=α，
∴|AF|=2csin α，|AF'|=2ccos α，
解析
答案
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12
∴2csin α+2ccos α=2a，
∴e===，
由于α∈，故α+∈，
∴∴<<-1，
即离心率的取值范围是.
解析
12.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)虚轴的一个端点为D，直线x=3a与C交于A，B两点，若△ABD的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为
.
答案
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答案
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如图，设△ABD的垂心为H，则有DH⊥AB，
不妨设D(0，b)，
因为H在渐近线y=x上，所以H(a，b)，
直线x=3a与C交于A，B两点，
所以-=1，
解得y=±2b，
不妨令A(3a，2b)，B(3a，-2b)，
解析
答案
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12
又因为AD⊥BH，
所以kAD·kBH=·=-1，
整理得=，
所以e===.
解析
第三章 圆锥曲线的方程
<<<作业40 圆锥曲线的离心率
分值：80分
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a>0)的长轴长为4，则其离心率为
A. B. C. D.
2.如果椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线＝1的离心率为
A. B. C. D.2
3.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e等于
A. B. C. D.
4.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，过点A的直线l与圆(x－c)2＋y2＝(c－a)2相切，与C交于另一点B，且∠BAF＝，则C的离心率为
A.3 B. C.2 D.
5.(多选)已知双曲线＝1(m>0)，则
A.离心率的最小值为4
B.当m＝1时，离心率最小
C.离心率最小时双曲线的标准方程为＝1
D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0
6.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点为B，两个焦点分别为F1，F2，线段BF2的垂直平分线过点F1，则椭圆的离心率为 .
7.(14分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.
(1)若|AF|＝9，|OB|＝3，求椭圆C的标准方程；(6分)
(2)若∠ABF＝90°，求椭圆C的离心率.(8分)
8.(15分)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线C为等轴双曲线，且过点P(2，)，求双曲线C的方程；(5分)
(2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率.(10分)
9.已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＝1(a>b>0)，P为椭圆C2的右顶点，由点P作圆C1的两条切线，其夹角为60°，则椭圆C2的离心率是
A. B. C. D.
10.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|＝4|F1Q|，则C的离心率为
A. B. C. D.
11.已知椭圆＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
12.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)虚轴的一个端点为D，直线x＝3a与C交于A，B两点，若△ABD的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为 .
答案精析
1.D [由题意得2a＝4，b2＝4，
所以a＝2，
所以c＝＝2，
所以椭圆C的离心率
e＝.]
2.A [由椭圆的离心率为，
得，
∴a2＝4b2.∴在双曲线中，
e2＝.
∴双曲线的离心率e＝.]
3.D [设椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，
如图，在△F1AF2中，
cos∠F1AF2＝，
即1－2e2＝，解得e＝.]
4.A [显然圆(x－c)2＋y2＝(c－a)2的圆心为F(c，0)，半径为c－a，令直线l与圆相切的切点为D，连接FD，
则FD⊥AB，有∠DAF＝，
而|AF|＝a＋c，又|AF|＝2|FD|，
因此a＋c＝2(c－a)，解得c＝3a，所以双曲线C的离心率为e＝＝3.]
5.CD [由题意可得e2＝＝m＋，因为m>0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号，此时双曲线的标准方程是＝1，渐近线方程是x±y＝0.]
6.
解析 如图，设BF2的垂直平分线与BF2交于点H，
由题意可得，
F1(－c，0)，
F2(c，0)，
B(0，b)，
则H，
∴，
＝－，
∵·＝－1，
∴·＝－1，
化简得b2＝3c2，
由a2＝b2＋c2，解得a2＝4c2，
∴e2＝，即e＝.
7.解 (1)由|AF|＝9，|OB|＝3，
则a＋c＝9，b＝3，
由b＝＝3，
则(a＋c)(a－c)＝9，
可得a－c＝1，
解得a＝5，所以椭圆C的标准方程为＝1.
(2)由＝1，
则A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
所以直线AB的斜率
k1＝，
直线BF的斜率k2＝＝－，
由AB⊥BF，则k1k2＝－1，
即b2＝ac，
由b2＝a2－c2，则a2－c2＝ac，
则1－e2＝e，
由e＝∈(0，1)，解得e＝，
所以椭圆C的离心率为.
8.解 (1)∵双曲线C为等轴双曲线，
∴＝1，
∵双曲线过点P(2，)，
将其代入得＝1，
解得a2＝1，
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
(2)方法一
∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，
∠MOF＝45°，
∴△OMF是等腰直角三角形，
|OF|＝c，
过M作MA⊥x轴于点A，如图所示，
则A，M，
设左焦点F1(－c，0)，由双曲线定义知|MF1|－|MF|＝2a，
∴2a＝
－
＝c－c＝c，
∴e＝.
方法二 同方法一得M，
∵点M在双曲线C：
＝1(a>0，b>0)上，
∴＝1，
即＝4，
∴e2－＝4，
整理得e4－6e2＋4＝0，
解得e2＝3±，
∵e>1，∴e2＝3＋，
∴e＝
＝.
∴e＝.
9.C [圆C1：x2＋y2＝b2的圆心C1即为O(0，0)，半径为b，由题意作图，由点P(a，0)作圆C1的两条切线PA，PB，∵两条切线的夹角为60°，
∴∠OPA＝30°，
∴|OP|＝2|OA|，即a＝2b，
则a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即3a2＝4c2，得e＝.]
10.D [由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程得
＝1，
解得|PF2|＝.
如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0，y0)，根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，
∵＝4，
∴＝4，
∴|EF1|＝，
∴x0＝－c－＝－.
又∵y0＝－|QE|＝－＝－.
∴点Q的坐标为.
将点Q的坐标代入椭圆方程，
得＝1.
结合b2＝a2－c2，
解得e＝.]
11.A [椭圆＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，设左焦点为F'.
∴|AF'|＋|AF|＝2a，
根据对称关系知四边形AF'BF为矩形，∴|AB|＝|FF'|＝2c.
由于AF⊥BF，∠ABF＝α，
∴|AF|＝2csin α，|AF'|＝2ccos α，
∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝
＝，
由于α∈，
故α＋∈，
∴∴<<－1，
即离心率的取值范围是
.]
12.
解析 如图，设△ABD的垂心为H，则有
DH⊥AB，
不妨设D(0，b)，
因为H在渐近线y＝x上，
所以H(a，b)，
直线x＝3a与C交于A，B两点，
所以＝1，
解得y＝±2b，
不妨令A(3a，2b)，
B(3a，－2b)，
又因为AD⊥BH，
所以kAD·kBH＝·
＝－1，
整理得，
所以e＝.