(共48张PPT)
再练一课(范围：§3.1)
第三章 圆锥曲线的方程
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对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D D B B BCD BD
题号 9 10 11 12 答案 BC (1，2)∪(2，3)
13.
答案
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(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，
由题意得a＝5，c＝4，
∴b2＝a2-c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
13.
答案
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(2)设椭圆方程为mx2+ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
则解得
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
14.
答案
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(1)因为直线l：2x+5y-10＝0过点(5，0)和(0，2)，
可得b＝2且c＝5，
则a＝＝7，
所以所求椭圆的方程为＝1.
14.
答案
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(2)若点P在椭圆C上，
根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|＝2a＝14，
因为|PF1|-|PF2|＝2，
可得|PF1|＝8，|PF2|＝6，
又因为c＝5，可得|F1F2|＝2c＝10，
则|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，
即△PF1F2是直角三角形，
14.
答案
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所以△PF1F2的外接圆心为O(0，0)，
半径r＝c＝5，
所以△PF1F2外接圆方程为x2+y2＝25.
15.
答案
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(1)如图，由题意得
解得
所以b＝，
所以椭圆的方程为＝1，
离心率为e＝.
15.
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(2)由题意得，直线A2P的斜率存在，由椭圆的方程为＝1
可得A2(2，0)，
设直线A2P的方程为y＝k(x-2)，
联立方程组
消去y整理得，(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12＝0，Δ>0，
15.
答案
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由根与系数的关系得·xP＝，
所以xP＝，
所以P，Q(0，-2k).
所以×4×|yQ|，×1×|yP|，×4×|yP|，
所以＝2，
所以2|yQ|＝3|yP|，
15.
答案
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即2|-2k|＝3，
解得k＝±，
所以直线A2P的方程为y＝±(x-2).
一、单项选择题
1.已知椭圆M的焦点为(0，-)和(0，)，点P(1，0)在椭圆上，则椭圆M的标准方程为
A.+y2=1 B.+x2=1
C.+x2=1 D.+y2=1
√
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，由题意可得c=，b=1，则a=2，所以椭圆M的标准方程为+x2=1.
解析
答案
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2.“0
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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“方程ax2=1-by2即方程ax2+by2=1，表示椭圆”的充要条件是“a>0，b>0，a≠b”，显然“0b，b>0，a≠b”的既不充分也不必要条件，故“0解析
答案
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3.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
√
依题意，得2c=2b，所以b=c，
所以a2=b2+c2=2c2，
所以e2=，又0所以e=.
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答案
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4.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
√
依题意得=，
所以c=2b，所以a==b，
所以e===.
解析
答案
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5.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，延长BF2交椭圆E于点P.若点A到直线BF2的距离为，△PF1F2的周长为16，则椭圆E的标准方程为
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
√
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由题意，得A(-a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，则直线BF2的方程为bx+cy-bc=0，
所以点A到直线BF2的距离d==(a+c)=， ①
由△PF1F2的周长为16，得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16，
即a+c=8， ②
联立①②，解得b=a. ③
因为c2=a2-b2，所以c=a. ④
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联立②④，解得a=6，c=2，所以b=4，
故椭圆E的标准方程为+=1.
解析
6.已知中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4的椭圆被直线l：y=x+3截得的弦的中点的横坐标为-2，则此椭圆的短轴长为
A.2 B.4
C.6 D.8
√
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设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，
因为弦的中点的横坐标为-2，
代入直线l的方程可得中点M(-2，1)，
不妨设直线l与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
即+=+ =，
解析
答案
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而AB的中点为M(-2，1)，
所以
而kl==1，
代入可得=，
而椭圆的焦距为4，所以c=2，
结合a2=b2+c2，得
所以短轴长2b=4.
解析
二、多项选择题
7.已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，则下列说法正确的是
A.|PF1|+|PF2|=16
B.椭圆的离心率为
C.直线x=-2被椭圆截得的弦长为2
D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为4
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√
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在椭圆+=1中，a=4，b=2，
则c==2，
对于A选项，|PF1|+|PF2|=2a=8，A错误；
对于B选项，椭圆的离心率为e==，B正确；
对于C选项，联立可得y=±，
所以直线x=-2被椭圆截得的弦长为2，C正确；
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答案
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对于D选项，若PF1⊥PF2，
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=48，
又因为|PF1|+|PF2|=8，
则|PF1|·|PF2|=
==8，
因此=|PF1|·|PF2|=×8=4，D正确.
解析
8.设椭圆的方程为+=1，斜率为k的直线l不经过坐标原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是
A.kAB·kOM=-1
B.若点M的坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x+y-3=0
C.若直线l的方程为y=x+1，则点M的坐标为
D.若直线l的方程为y=x+2，则|AB|=
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则
两式相减，得+=0，
即·=-2，即kAB·kOM=-2.
对于A，kAB·kOM=-2≠-1，所以A不正确；
解析
答案
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对于B，由kAB·kOM=-2，M(1，1)，得kAB=-2，
所以直线l的方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0，所以B正确；
对于C，若直线l的方程为y=x+1，M，则kAB·kOM=1×4=4≠-2，所以C不正确；
对于D，由得3x2+4x=0，解得x=0或x=-，
所以|AB|==，所以D正确.
解析
9.设椭圆的方程为+=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B两点，P为椭圆上(除点A，B外)的任意一点，下列结论正确的是
A.存在点P，使得∠F1PF2=90°
B.线段PF1长度的取值范围为(2，8)
C.|PF1|·|PF2|的最大值为25
D.直线PA与直线PB的斜率之积恒为
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√
√
由+=1，
得A(-5，0)，B(5，0)，F1(-3，0)，F2(3，0)，
设P(x0，y0)，有=16，
对于A，假设存在点P，使得∠F1PF2=90°，
即·=0，
于是(x0+3)(x0-3)+=-9+16-=+7=0，显然无解，A错误；
对于B，|AF1|<|PF1|<|BF1|，即2<|PF1|<8，B正确；
解析
答案
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对于C，|PF1|+|PF2|=10，
|PF1|·|PF2|≤=52=25，
当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号，
因此|PF1|·|PF2|的最大值为25，C正确；
对于D，直线PA，PB的斜率之积为
kPA·kPB=·===-，D错误.
解析
答案
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三、填空题
10.方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示椭圆，则m的取值范围是
.
答案
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(1，2)∪(2，3)
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易知m≠1且m≠3，方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)，
即+=1表示椭圆，
可得解得1即m的取值范围是(1，2)∪(2，3).
解析
11.在平面直角坐标系中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的弦长为，则椭圆C的方程为 .
答案
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+y2=1
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由题意知=，
可得a2=4b2.
椭圆C的方程可化简为x2+4y2=a2.
将y=x代入可得x=±，
因此×=，解得a=2.
因此b=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
解析
12.已知椭圆+=1(a>b>0)上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，其中F1，F2分
别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
答案
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设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义可得
解得|PF1|=，|PF2|=，
由题意可得
解得≥，又0<<1，所以≤<1，
所以椭圆离心率的取值范围是.
解析
四、解答题
13.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别为(-4，0)的(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；
答案
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设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，
由题意得a=5，c=4，
∴b2=a2-c2=9，
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
解
(2)经过点A(，-2)和点B(-2，1).
答案
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设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，且m≠n)，
则
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
解
14.已知直线l：2x+5y-10=0过椭圆C的右焦点和上顶点.
(1)求椭圆C的方程；
答案
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因为直线l：2x+5y-10=0过点(5，0)和(0，2)，
可得b=2且c=5，则a==7，
所以所求椭圆的方程为+=1.
解
(2)若点P在椭圆C上，且|PF1|-|PF2|=2，求△PF1F2的外接圆的方程.
答案
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若点P在椭圆C上，
根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=14，
因为|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=8，|PF2|=6，
又因为c=5，可得|F1F2|=2c=10，
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即△PF1F2是直角三角形，
所以△PF1F2的外接圆心为O(0，0)，半径r=c=5，
所以△PF1F2外接圆方程为x2+y2=25.
解
15.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1.
(1)求椭圆方程及其离心率；
答案
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如图，
由题意得
解得
所以b==，
所以椭圆的方程为+=1，
离心率为e==.
解
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与椭圆顶点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的2倍，求直线A2P的方程.
答案
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由题意得，直线A2P的斜率存在，由椭圆的方程为+=1可得A2(2，0)，
设直线A2P的方程为y=k(x-2)，
联立方程组
消去y整理得，(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0，Δ>0，
由根与系数的关系得·xP=，
所以xP=，
解
答案
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所以P，Q(0，-2k).
所以=×4×|yQ|，=×1×|yP|，
=×4×|yP|，
所以=+=2+，所以2|yQ|=3|yP|，
即2|-2k|=3，解得k=±，
所以直线A2P的方程为y=±(x-2).
解
第三章 圆锥曲线的方程
<<<作业35 再练一课(范围：§3.1)
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知椭圆M的焦点为(0，－)和(0，)，点P(1，0)在椭圆上，则椭圆M的标准方程为
A.＋y2＝1 B.＋x2＝1
C.＋x2＝1 D.＋y2＝1
2.“0A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
4.若椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
5.已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，延长BF2交椭圆E于点P.若点A到直线BF2的距离为，△PF1F2的周长为16，则椭圆E的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
6.已知中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4的椭圆被直线l：y＝x＋3截得的弦的中点的横坐标为－2，则此椭圆的短轴长为
A.2 B.4 C.6 D.8
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.已知F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，则下列说法正确的是
A.|PF1|＋|PF2|＝16
B.椭圆的离心率为
C.直线x＝－2被椭圆截得的弦长为2
D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为4
8.设椭圆的方程为＝1，斜率为k的直线l不经过坐标原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是
A.kAB·kOM＝－1
B.若点M的坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D.若直线l的方程为y＝x＋2，则|AB|＝
9.设椭圆的方程为＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B两点，P为椭圆上(除点A，B外)的任意一点，下列结论正确的是
A.存在点P，使得∠F1PF2＝90°
B.线段PF1长度的取值范围为(2，8)
C.|PF1|·|PF2|的最大值为25
D.直线PA与直线PB的斜率之积恒为
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)表示椭圆，则m的取值范围是 .
11.在平面直角坐标系中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的弦长为，则椭圆C的方程为 .
12.已知椭圆＝1(a>b>0)上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
四、解答题(共37分)
13.(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)的(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(6分)
(2)经过点A(，－2)和点B(－2，1).(6分)
14.(12分)已知直线l：2x＋5y－10＝0过椭圆C的右焦点和上顶点.
(1)求椭圆C的方程；(5分)
(2)若点P在椭圆C上，且|PF1|－|PF2|＝2，求△PF1F2的外接圆的方程.(7分)
15.(13分)设椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求椭圆方程及其离心率；(5分)
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与椭圆顶点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的2倍，求直线A2P的方程.(8分)
答案精析
1.C [设椭圆M的方程为
＝1(a>b>0)，
由题意可得c＝，b＝1，
则a＝2，所以椭圆M的标准方程为＋x2＝1.]
2.D [“方程ax2＝1－by2即方程ax2＋by2＝1，表示椭圆”的充要条件是“a>0，b>0，a≠b”，显然“0b，b>0，a≠b”的既不充分也不必要条件，故“03.D [依题意，得2c＝2b，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，
所以e2＝，又0所以e＝.]
4.D [依题意得，
所以c＝2b，
所以a＝b，
所以e＝.]
5.B [由题意，得A(－a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，则直线BF2的方程为
bx＋cy－bc＝0，
所以点A到直线BF2的距离d＝(a＋c)＝， ①
由△PF1F2的周长为16，得
|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝16，
即a＋c＝8， ②
联立①②，解得b＝a. ③
因为c2＝a2－b2，所以c＝a. ④
联立②④，解得a＝6，c＝2，
所以b＝4，
故椭圆E的标准方程为＝1.]
6.B [设椭圆的标准方程为
＝1(a>b>0)，
因为弦的中点的横坐标为－2，
代入直线l的方程可得中点M(－2，1)，
不妨设直线l与椭圆的两个交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
即
，
而AB的中点为M(－2，1)，
所以
而kl＝＝1，
代入可得，
而椭圆的焦距为4，所以c＝2，
结合a2＝b2＋c2，得
所以短轴长2b＝4.]
7.BCD [在椭圆＝1中，
a＝4，b＝2，
则c＝＝2，
对于A选项，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；
对于B选项，
椭圆的离心率为e＝，B正确；
对于C选项，联立
可得y＝±，
所以直线x＝－2被椭圆截得的弦长为2，C正确；
对于D选项，若PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝48，
又因为|PF1|＋|PF2|＝8，
则|PF1|·|PF2|＝
＝＝8，
因此|PF1|·|PF2|＝×8＝4，D正确.]
8.BD [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
M(x0，y0)，
则
两式相减，得＝0，
即·＝－2，
即kAB·kOM＝－2.
对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，
所以A不正确；
对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为
y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0，所以B正确；
对于C，若直线l的方程为
y＝x＋1，M，
则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，
所以C不正确；
对于D，由
得3x2＋4x＝0，
解得x＝0或x＝－，
所以|AB|＝，
所以D正确.]
9.BC [由＝1，
得A(－5，0)，B(5，0)，F1(－3，0)，
F2(3，0)，设P(x0，y0)，
有＝16，
对于A，假设存在点P，
使得∠F1PF2＝90°，
即·＝0，
于是(x0＋3)(x0－3)＋－9＋16－＋7＝0，
显然无解，A错误；
对于B，|AF1|<|PF1|<|BF1|，
即2<|PF1|<8，B正确；
对于C，|PF1|＋|PF2|＝10，
|PF1|·|PF2|≤
＝52＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时取等号，
因此|PF1|·|PF2|的最大值为25，C正确；
对于D，直线PA，PB的斜率之积为
kPA·kPB＝·
＝＝－，D错误.]
10.(1，2)∪(2，3)
解析 易知m≠1且m≠3，方程
(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)，
即＝1表示椭圆，
可得
解得1即m的取值范围是(1，2)∪(2，3).
11.＋y2＝1
解析 由题意知，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可化简为
x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±，
因此×，解得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
12.
解析 设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义可得
解得|PF1|＝，|PF2|＝，
由题意可得
解得≥，
又0<<1，所以≤<1，
所以椭圆离心率的取值范围是.
13.解 (1)设椭圆的标准方程为
＝1(a>b>0)，
由题意得a＝5，c＝4，
∴b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为
＝1.
(2)设椭圆方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
则解得
∴所求椭圆的标准方程为
＝1.
14.解 (1)因为直线l：2x＋5y－10＝0过点(5，0)和(0，2)，
可得b＝2且c＝5，
则a＝＝7，
所以所求椭圆的方程为＝1.
(2)若点P在椭圆C上，
根据椭圆的定义，可得
|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
因为|PF1|－|PF2|＝2，
可得|PF1|＝8，|PF2|＝6，
又因为c＝5，可得|F1F2|＝2c＝10，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即△PF1F2是直角三角形，
所以△PF1F2的外接圆心为O(0，0)，
半径r＝c＝5，
所以△PF1F2外接圆方程为
x2＋y2＝25.
15.解 (1)如图，
由题意得
解得
所以b＝，
所以椭圆的方程为＝1，
离心率为e＝.
(2)由题意得，直线A2P的斜率存在，由椭圆的方程为＝1
可得A2(2，0)，
设直线A2P的方程为y＝k(x－2)，
联立方程组
消去y整理得，
(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，Δ>0，
由根与系数的关系得
·xP＝，
所以xP＝，
所以P，Q(0，－2k).
所以×4×|yQ|，×1×|yP|，
×4×|yP|，
所以＝2，
所以2|yQ|＝3|yP|，
即2|－2k|＝3，
解得k＝±，
所以直线A2P的方程为
y＝±(x－2).