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再练一课(范围：§3.2~§3.3)
第三章 圆锥曲线的方程
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对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D A C A BCD CD
题号 9 10 11 12 答案 BC y2＝12x
13.
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(1)因为点A(4，m)在抛物线C上，
所以|AF|＝m＋＝5，
又因为0
故抛物线C的标准方程为x2＝4y.
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(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
所以＝4(y1－y2)，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)，
因为MN的中点为P(1，2)，
所以x1＋x2＝2，
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则，
故直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
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(1)由题意可知双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据定义有
2a＝|－|＝2.
所以a＝1，又c2＝a2＋b2，
所以a2＝1，c2＝4，b2＝3.
所以所求双曲线C的方程为x2－＝1.
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(2)因为双曲线C的方程为x2－＝1，
所以其渐近线方程为y＝±x，
由
消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
14.
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②当3－k2≠0，即k≠±时，
由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，
解得k＝±，
此时直线l与双曲线C相切于一点，符合题意.
综上所述，符合题意的实数k的所有取值为±，±.
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(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由
可得x2－2px－2p＝0，
易得Δ＝4p2＋8p>0，
所以xA＋xB＝2p，xAxB＝－2p，
则|AB|＝＝2＝8，
即p2＋2p－8＝0，
因为p>0，所以p＝2.
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(2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0，1)，
直线EG的方程为x＋y－1＝0.
联立
化简可得x2＋4x－4＝0，
则Δ＝16＋16>0，
设E(x1，y1)，G(x2，y2)，
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则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝6，
则|EG|＝y1＋y2＋p＝8，
因为AB⊥EG，
所以S四边形AEBG＝|AB|·|EG|＝×8×8＝32.
一、单项选择题
1.抛物线y=-x2的焦点坐标是
A. B.(0，1)
C. D.(0，-1)
√
y=-x2即x2=-4y，所以其焦点在y轴负半轴上，坐标为(0，-1).
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2.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为
A. B.3
C.2 D.6
√
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由题意，双曲线的一条渐近线为y=-x，即bx+ay=0，设双曲线的右焦点为F(c，0)，c>0，则c2=a2+b2，
所以焦点到渐近线的距离d===b=3，
又离心率e==，
所以a=3，所以双曲线C的实轴长为2a=6.
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3.已知线段AB是抛物线y2=4x的一条弦，且AB的中点M在直线x=1上，则点A的横坐标
A.有最大值，无最小值
B.无最大值，有最小值
C.无最大值，无最小值
D.有最大值，有最小值
√
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由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线范围可知，x≥0，
如图1，当点A在原点时，点A的横坐标有最小值，此时横坐标为0，
由AB的中点M在直线x=1上，可知=1，即x1=2-x2，所以x1≤2，
即如图2，当点B在原点时，点A的横坐标有最大值，此时横坐标为2.
解析
4.已知双曲线-=1(m>0)的两条渐近线为l1，l2，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线交l1，l2分别于点P，Q，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，则m等于
A.1 B.
C. D.2
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由双曲线方程得其渐近线方程为y=±x，
由题知PQ⊥x轴且过右焦点F，令x=c，得y=±c，∴|PQ|=c.
则△OPQ的面积S=|PQ||OF|=c2=，解得c2=5.
∵双曲线-=1(m>0)，∴c2=4m+m=5，解得m=1.
解析
5.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2=8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|等于
A.6 B.8
C.2 D.29
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由M(12，2)，可得点A的纵坐标为2，设A(m，2)，则4=8m，解得m=，由题意知反射光线经过抛物线y2=8x的焦点(2，0)，所以直线AB的方程
为y-0=(x-2)，整理可得y=-(x-2)，由消去y整理得
2x2-17x+8=0，解得x1=，x2=8，则y2=-(x2-2)=-8，所以B(8，-8)，所以|MB|==2.
解析
6.已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积为
A. B.
C.2 D.4
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∵在双曲线C：-=1中，a=3，b=4，c=5，
∴F1(-5，0)，F2(5，0)，|F1F2|=10.
∵|PF2|=|F1F2|=，
∴|PF1|=2a+|PF2|=6+=.
∴在△PF1F2中，cos∠PF1F2==，
∴sin∠PF1F2=，
∴△PF1F2的面积为××10×=.
解析
二、多项选择题
7.已知双曲线C：x2-=1，则下列说法正确的是
A.双曲线C与圆+y2=1有3个公共点
B.双曲线C的离心率与椭圆+=1的离心率的乘积为1
C.双曲线C与双曲线-x2=1有相同的渐近线
D.双曲线C的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同
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由已知得双曲线C中，a=1，b=，c==2，
所以双曲线C的焦点为(±2，0)，
顶点为(±1，0)，作图可知A不正确；
渐近线方程为y=±x=±x，
离心率为=2.
椭圆+=1的离心率为=，2×=1，故B正确；
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双曲线-x2=1的渐近线方程为y=±x，故C正确；
抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，故D正确.
解析
8.已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y=x2的焦点为F，P，Q两点在抛物线C上，下列说法正确的是
A.若|PF|=5，则点P的坐标为(4，4)
B.直线y=x-1与抛物线C不相切
C.点P到直线y=x-2的距离的最小值为
D.若P，F，Q三点共线，则·=-3
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由y=x2，得x2=4y，则焦点为F(0，1)，设P(x，y)，由抛物线的定义得，y+1=5，解得y=4，则点P的坐标为(4，4)或(-4，4)，故A错误；
联立直线与抛物线方程消去y得x2-4x+4=0，得Δ=0，所以直
线y=x-1与抛物线C相切，故B错误；
因为直线y=x-1与C相切，又直线y=x-1与直线y=x-2平行，所以两平行直线间的距离即点P到直线y=x-2的最小距离，所求距离为=，故C正确；
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抛物线x2=4y的焦点为F(0，1)，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的
方程为y=kx+1，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x2-4kx-
4=0，则x1+x2=4k，x1x2=-4，·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=
(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=-4(1+k2)+4k2+1=-3，故D正确.
解析
9.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则
A.|PQ|=4a
B.3=
C.双曲线C的渐近线方程为y=±x
D.直线PQ的斜率为4
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由4|PQ|=3|PF2|，设|PQ|=3m，|PF2|=4m，由PQ⊥PF2，得|QF2|=5m，
则|PF1|=4m-2a，|QF1|=5m-2a，而|PF1|+|QF1|=|PQ|，解得m=，因此|PF1|=，|QF1|=，
对于A，|PQ|=2a，A错误；
对于B，显然=2，则3=，B正确；
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对于C，令|F1F2|=2c，在△PF1F2中，
由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，得+=4c2，
则c2=a2，b2=c2-a2=a2，即=，
因此双曲线C的渐近线方程为y=±x，C正确；
对于D，由tan∠PF1F2==4，结合对称性，可知直线PQ的斜率为±4，
D错误.
解析
三、填空题
10.已知双曲线my2-x2=1(m>0)与抛物线x2=12y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 .
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y=±2x
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因为抛物线方程为x2=12y，
所以其焦点为F(0，3)，
因为双曲线my2-x2=1可化为-x2=1，
所以a2=，b2=1，c2=a2+b2=+1，
因为双曲线my2-x2=1与抛物线x2=12y有相同的焦点，所以+1=9，则m=，
则双曲线方程为-x2=1，
因此该双曲线的渐近线方程为y=±2x.
解析
11.一个动圆与定圆F：(x-3)2+y2=4外切，且与直线l：x=-1相切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
答案
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y2=12x
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方法一 由题意知，动圆圆心到定圆F的圆心F(3，0)的距离与到直线x=-3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹为以F(3，0)为焦点，x=-3为准线的抛物线，其轨迹方程为y2=12x.
方法二 定圆F：(x-3)2+y2=4的圆心为F(3，0)，半径为2，设动圆圆心点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线x=-1的距离，即r，则根据两圆外切及直线与圆相切的性质可得，|PF|-2=r，d=r，
所以-2=x+1，
化简得y2=12x.
所以动圆圆心的轨迹方程为y2=12x.
解析
12.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|
=10，则C的离心率为 .
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|F1A|=13，|AF2|=|AB|=5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|==12.
由双曲线定义可得2a=|F1A|-|AF2|=8，
2c=|F1F2|=12，化简得a=4，c=6，
则C的离心率e==.
解析
四、解答题
13.已知抛物线C：x2=2py(0(1)求抛物线C的标准方程；
答案
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因为点A(4，m)在抛物线C上，
所以|AF|=m+=+=5，
又因为0故抛物线C的标准方程为x2=4y.
解
(2)直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P(1，2)，求直线l的方程.
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设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
所以-=4(y1-y2)，
即(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2)，
因为MN的中点为P(1，2)，所以x1+x2=2，
则=，故直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y-2=(x-1)，
即x-2y+3=0.
解
14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(-3，2).
(1)求双曲线C的方程；
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由题意可知双曲线的焦点为(-2，0)和(2，0)，根据定义有
2a=|-|=2.
所以a=1，又c2=a2+b2，
所以a2=1，c2=4，b2=3.
所以所求双曲线C的方程为x2-=1.
解
(2)若直线l：y=kx+2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值.
答案
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因为双曲线C的方程为x2-=1，
所以其渐近线方程为y=±x，
由
消去y整理得(3-k2)x2-4kx-7=0.
①当3-k2=0，即k=±时，直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
解
答案
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②当3-k2≠0，即k≠±时，由Δ=(-4k)2+4×7×(3-k2)=0，解得k=±，
此时直线l与双曲线C相切于一点，符合题意.
综上所述，符合题意的实数k的所有取值为±，±.
解
15.已知直线l：x-y+1=0与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，|AB|=8.
(1)求p；
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设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由可得x2-2px-2p=0，
易得Δ=4p2+8p>0，
所以xA+xB=2p，xAxB=-2p，
则|AB|==2=8，即p2+2p-8=0，因为p>0，所以p=2.
解
(2)设抛物线C的焦点为F，过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E，G两点，求四边形AEBG的面积.
答案
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15
由题意可得抛物线C的焦点为F(0，1)，直线EG的方程为x+y-1=0.
联立
化简可得x2+4x-4=0，则Δ=16+16>0，
设E(x1，y1)，G(x2，y2)，
则x1+x2=-4，y1+y2=2-(x1+x2)=6，
则|EG|=y1+y2+p=8，因为AB⊥EG，
所以S四边形AEBG=|AB|·|EG|=×8×8=32.
解
第三章 圆锥曲线的方程
<<<作业44 再练一课(范围：§3.2~§3.3)
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.抛物线y＝－x2的焦点坐标是
A. B.(0，1)
C. D.(0，－1)
2.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为
A. B.3 C.2 D.6
3.已知线段AB是抛物线y2＝4x的一条弦，且AB的中点M在直线x＝1上，则点A的横坐标
A.有最大值，无最小值
B.无最大值，有最小值
C.无最大值，无最小值
D.有最大值，有最小值
4.已知双曲线＝1(m>0)的两条渐近线为l1，l2，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线交l1，l2分别于点P，Q，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，则m等于
A.1 B. C. D.2
5.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|等于
A.6 B.8 C.2 D.29
6.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积为
A. B. C.2 D.4
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.已知双曲线C：x2－＝1，则下列说法正确的是
A.双曲线C与圆＋y2＝1有3个公共点
B.双曲线C的离心率与椭圆＝1的离心率的乘积为1
C.双曲线C与双曲线－x2＝1有相同的渐近线
D.双曲线C的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同
8.已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y＝x2的焦点为F，P，Q两点在抛物线C上，下列说法正确的是
A.若|PF|＝5，则点P的坐标为(4，4)
B.直线y＝x－1与抛物线C不相切
C.点P到直线y＝x－2的距离的最小值为
D.若P，F，Q三点共线，则·＝－3
9.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|＝3|PF2|，则
A.|PQ|＝4a
B.3
C.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D.直线PQ的斜率为4
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知双曲线my2－x2＝1(m>0)与抛物线x2＝12y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 .
11.一个动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4外切，且与直线l：x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
12.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 .
四、解答题(共37分)
13.(12分)已知抛物线C：x2＝2py(0(1)求抛物线C的标准方程；(5分)
(2)直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P(1，2)，求直线l的方程.(7分)
14.(12分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3，2).
(1)求双曲线C的方程；(5分)
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值.(7分)
15.(13分)已知直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：x2＝2py(p>0)交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求p；(6分)
(2)设抛物线C的焦点为F，过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E，G两点，求四边形AEBG的面积.(7分)
答案精析
1.D [y＝－x2即x2＝－4y，所以其焦点在y轴负半轴上，坐标为(0，－1).]
2.D [由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－x，即bx＋ay＝0，设双曲线的右焦点为F(c，0)，c>0，
则c2＝a2＋b2，
所以焦点到渐近线的距离
d＝＝b＝3，
又离心率e＝，
所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6.]
3.D [由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线范围可知，x≥0，
如图1，当点A在原点时，点A的横坐标有最小值，此时横坐标为0，
由AB的中点M在直线x＝1上，
可知＝1，即x1＝2－x2，
所以x1≤2，
即如图2，当点B在原点时，点A的横坐标有最大值，此时横坐标为2.]
4.A [由双曲线方程得其渐近线方程为y＝±x，
由题知PQ⊥x轴且过右焦点F，
令x＝c，得y＝±c，∴|PQ|＝c.
则△OPQ的面积
S＝|PQ||OF|＝c2＝，
解得c2＝5.
∵双曲线＝1(m>0)，
∴c2＝4m＋m＝5，解得m＝1.]
5.C [由M(12，2)，可得点A的纵坐标为2，设A(m，2)，则4＝8m，解得m＝，由题意知反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点(2，0)，所以直线AB的方程为y－0＝(x－2)，
整理可得y＝－(x－2)，
由
消去y整理得2x2－17x＋8＝0，
解得x1＝，x2＝8，
则y2＝－(x2－2)＝－8，
所以B(8，－8)，
所以|MB|＝＝2.]
6.A [∵在双曲线C：＝1中，
a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1(－5，0)，F2(5，0)，
|F1F2|＝10.
∵|PF2|＝|F1F2|＝，
∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋.
∴在△PF1F2中，
cos∠PF1F2＝，
∴sin∠PF1F2＝，
∴△PF1F2的面积为
××10×.]
7.BCD [
由已知得双曲线C中，
a＝1，b＝，
c＝＝2，
所以双曲线C的焦点为(±2，0)，
顶点为(±1，0)，作图可知A不正确；
渐近线方程为y＝±x＝±x，
离心率为＝2.
椭圆＝1的离心率为，2×＝1，故B正确；
双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故C正确；
抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，故D正确.]
8.CD [由y＝x2，得x2＝4y，则焦点为F(0，1)，设P(x，y)，由抛物线的定义得，y＋1＝5，解得y＝4，则点P的坐标为(4，4)或(－4，4)，故A错误；联立直线与抛物线方程消去y得x2－4x＋4＝0，得Δ＝0，所以直线y＝x－1与抛物线C相切，故B错误；因为直线y＝x－1与C相切，又直线y＝x－1与直线y＝x－2平行，所以两平行直线间的距离即点P到直线y＝x－2的最小距离，所求距离为，故C正确；抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋1，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得x2－4kx－4＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋
k(x1＋x2)＋1＝－4(1＋k2)＋4k2＋1＝－3，故D正确.]
9.BC [
由4|PQ|＝3|PF2|，设|PQ|＝3m，|PF2|＝4m，由PQ⊥PF2，得|QF2|＝5m，
则|PF1|＝4m－2a，|QF1|＝5m－2a，
而|PF1|＋|QF1|＝|PQ|，
解得m＝，
因此|PF1|＝，|QF1|＝，
对于A，|PQ|＝2a，A错误；
对于B，显然＝2，
则3，B正确；
对于C，令|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得＝4c2，
则c2＝a2，b2＝c2－a2＝a2，
即，因此双曲线C的渐近线方程为y＝±x，C正确；
对于D，由tan∠PF1F2＝＝4，结合对称性，可知直线PQ的斜率为±4，D错误.]
10.y＝±2x
解析 因为抛物线方程为x2＝12y，
所以其焦点为F(0，3)，
因为双曲线my2－x2＝1可化为
－x2＝1，
所以a2＝，b2＝1，
c2＝a2＋b2＝＋1，
因为双曲线my2－x2＝1与抛物线x2＝12y有相同的焦点，
所以＋1＝9，则m＝，
则双曲线方程为－x2＝1，
因此该双曲线的渐近线方程为
y＝±2x.
11.y2＝12x
解析 方法一 由题意知，动圆圆心到定圆F的圆心F(3，0)的距离与到直线x＝－3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹为以F(3，0)为焦点，x＝－3为准线的抛物线，其轨迹方程为
y2＝12x.
方法二 定圆F：(x－3)2＋y2＝4的圆心为F(3，0)，半径为2，设动圆圆心点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线x＝－1的距离，即r，则根据两圆外切及直线与圆相切的性质可得，
|PF|－2＝r，d＝r，
所以－2＝x＋1，
化简得y2＝12x.
所以动圆圆心的轨迹方程为
y2＝12x.
12.
解析 |F1A|＝13，|AF2|＝|AB|＝5，且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝＝12.
由双曲线定义可得
2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，化简得a＝4，c＝6，
则C的离心率e＝.
13.解 (1)因为点A(4，m)在抛物线C上，
所以|AF|＝m＋＝5，
又因为0故抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
所以＝4(y1－y2)，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)，
因为MN的中点为P(1，2)，
所以x1＋x2＝2，
则，
故直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
14.解 (1)由题意可知双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据定义有
2a＝|－
|＝2.
所以a＝1，又c2＝a2＋b2，
所以a2＝1，c2＝4，b2＝3.
所以所求双曲线C的方程为
x2－＝1.
(2)因为双曲线C的方程为
x2－＝1，
所以其渐近线方程为y＝±x，
由
消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0，即k≠±时，
由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，
解得k＝±，
此时直线l与双曲线C相切于一点，符合题意.
综上所述，符合题意的实数k的所有取值为±，±.
15.解 (1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由
可得x2－2px－2p＝0，
易得Δ＝4p2＋8p>0，
所以xA＋xB＝2p，xAxB＝－2p，
则|AB|＝＝2＝8，
即p2＋2p－8＝0，
因为p>0，所以p＝2.
(2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0，1)，
直线EG的方程为x＋y－1＝0.
联立
化简可得x2＋4x－4＝0，
则Δ＝16＋16>0，
设E(x1，y1)，G(x2，y2)，
则x1＋x2＝－4，
y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝6，
则|EG|＝y1＋y2＋p＝8，
因为AB⊥EG，
所以S四边形AEBG＝|AB|·|EG|＝×8×8＝32.