2026届广东省广州市高三8月市调研考数学试题（含解析）

2026 届广东省广州市高三 8 月调研考数学试题及答案解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A x x 2 ， B x Z x2 10 ，则 A B的元素个数为（ ）
A .3 B . 4 C .5 D .6
z
2.已知复数 z满足 1 i，则 z （ ）
z 1
A . 1 i B . 1 i C .1 i D .1 i

3.将函数 f x sin 4x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），
3

再将所得图象向左平移 个单位长度.则得到的图象对应的函数解析式为（ ）
6
A . y sin 2x B . y cos 2x
3
C y sin 2x 2 . D . y sin 8x
3
x x a
f x 1 4.若函数 在区间 0,2 单调递增，则 a的取值范围是（ ）
3
A . ，4 B . 4， C . 4， D . ， 4
5.某货船执行从 A 港口到 B 港口的航行任务，B 港口在 A 港口的正北方向.已知河水的速度
为向东 2m / s .若货船在静水中的航速为 4m / s，船长调整船头方向航行，使得实际位移
最短.则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A . 2m / s B . 2 3m / s C . 4m / s D . 2 5m / s
x
6.已知定义域为 R的函数 f x 2 b 满足 f x f x 0，则 a b （ ）
2x 1 a
A .3 B . 2 C .1 D .0
7.已知一条直线与抛物线 y2 2px p 0 交于 A,B两点，过坐标原点O引 AB 的垂线
OD，垂足D的坐标为 2,1 ，OA OB 5，则 p （ ）
A 1 B 1. . C .1 D . 2
2 4
1
8.记锐角三角形 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 B 2C，a 2，则b c
的取值范围是（ ）
A . 2，3 1 B . 3 1，
C . 2,2 2 2 D . 3 1,2 2 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
1
9.已知等比数列 an 的前 n项和 Sn n t, t R， an 的前 n项积为Tn，则（ ）2
A 1. t 1 B . an 2n
C 1.Tn 2 n n 1 D .数列 an an 1 an 2 是等比数列
10.如图，在三棱锥O ABC中，侧棱OA,OB,OC两两垂直，且OA OB OC 3，P
为底面 ABC内一动点（含边界），点 P到三个侧面的距离分别为 d1，d2，d3，直线OP和
三条侧棱所成的角分别为 1， 2， 3，直线 OP 和三个侧面所成的角分别为
， ， ，则（ ）
A 3 3.该三棱锥的外接球半径为
2
B . sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3 1
C . sin 2 sin 2 sin 2 1
D .当 d 2 d 2 21 2 d3 5时， P点的轨迹长度为 2
11.若 a 1，b 1，且 a lnb 2 b 1 ln a 1 ，则（ ）
A . a b B .a b C .a2 b D . a2 b
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.

12.已知向量 a,b 不共线，且向量 a b与 a 2 1 b 的方向相反，则实数 .
2
13.如图，在平面在平面直角坐标系 xOy中，点 N 在 x轴上运动，
点M 在 y轴上运动.点 P在线段MN 的延长线上，且 MP 3，
MN 1，则点 P的轨迹方程为 .
14.某学校高一年级 6 个班各派 1名学生代表参加年级组织的课室卫生检查，若每个班随机
分配 1 位同学进行检查，则恰有 2 位同学检查本班课室卫生的概率是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.（13 分）经验表明，一般数的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就
越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸
径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图.
12 12 12 12
经 计 算 得 xi 348 ， yi 264 x 2， 2i yi 7793 ， xi 12x 24 ，
i 1 i 1 i 1 i 1
12
y 2i 12y2 6.
i 1
（1）推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数 r（精确到 0.01），并判断它们的
相关程度；
（2）试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到 0.01），并预测胸
径为 45cm的树高.
n n
x y nxy xi yi nxyi i
附：相关系数 r i 1 ，回归方程 y bx a 中，b i 1 ，
n n n
2 2 2 xi nx 2 y2i ny 2 xi nx
i 1 i 1 i 1
a y b x .
3
16.（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， AB 2，BC 4，侧
面 PAD 为等边三角形，平面 PAD 平面 ABCD， E为 PB中点.
（1）证明：平面 PAD 平面 PAB ；
（2）求平面 EAC 与平面 ACD夹角的余弦值.
x x x x
17.（15 分）已知向量 a sin , sin ，b cos ,sin ，函数 f x a b ，f x
2 2 2 2
的所有大于0的零点构成递增数列 an .
（1）写出 an 的前 6 项；
n bn 2
（2）记 an 的所有偶数项都成数列 bn ，设 cn 1 bn 2 ，求数列 cn 的前 n
项和 Sn .
x2 y2
18.（17 分）已知双曲线C： 1 a 0,b 0 的离心率为 5，点 2，2 在2 2 C上，A,Ba b
为C的左、右顶点.
（1）求C的方程；
（2）若点M ,N 在C的右支上（M 在第一象限），直线 AM ,BN 分别交 y轴于 P,Q两
点，且OQ 3OP .
（ⅰ）探究：直线MN 是否过定点：若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明
理由；
（ⅱ）设 S1, S2 分别为 AMN 和 BMN 的面积，
求 S1 S2 的取值范围.
4
19.（17 分）已知函数 f x sin x a ln x 1 , x 0,1 ，其中 a R，曲线 y f x 在点
0, f 0 处的切线方程为 y 0.
（1）求 a的值；
（2）求 f x 的最小值；
（3）设b Z，若 esin x ln x x2 bx 1 0对 x 0,1 恒成立，求b的最大值.
5
答案解析
一、选择题
1.C 解析：由题意 A 2，2 ，B 3， 2， 1，0，1，2，3 ，∴ A B 2， 1,0,1,2 ，共
5 个元素.
z 1 i
2.A 解析：由 1 i，得 z 1 i .
z 1 i
f x sin 4x y sin 2x y sin 2x 2 3.C 解析：变换过程为 .
3 3 3
a
4.D 解析：由复合函数的单调性，得 2，解得a 4 .
2
5.B 解析：∵要使实际位移最短，∴实际速度的方向应垂直于长江方向.由向量的平行四边
形法则，可知船长调整船头方向应该朝向被偏西 30°，可算的实际速度为 2 3m / s .
6.A 解析：∵ f x f x 0，即 f x f x ，且定义域为 R，∴ f x 是奇函数，
1 1
则 f 0 b 1 0，∴b 1，又 f 1 f 1 2 1 2 1 0，∴ 0，∴ a 2，
a 2 22 a 20 a
故 a b 3 .
7.B 解析：∵OD AB，且 k 1OD ，故 AB的方程为 y 2x 5 .2
y 2x 5
联立方程 ，得 y2 py 5p 0， p2 20p 0恒成立，2
y 2px
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则 y1 y2 p， y1y2 5p .
OA OB x x y y 5 y1 5 y 5 5 25 25∴ 21 2 1 2 y1y2 y1y2 y y 5p 5，2 2 4 4 1 2 4 4
∴ p 1 .
4
8.D 解析：∵ B 2C，∴ A 3C .
a b c 2sin 2C sinC
由正弦定理 ，有b ， c ，
sin A sin B sinC sin 3C sin 3C
b c 2sin 2C 2sinC∴. .
sin 3C
∵sin3C sin 2C C sin2CcosC cos2CsinC sinC 2cos2C cos2C sinC 4cos2 c 1，
又 2sin 2C 2sinC 2sinC 2cosC 1 ，
6
b 2sinC 2cosC 1 2 2cosC 1 ∴ c .sinC 4cos2 C 1 4cos2 C 1

0 C
2
∵ ABC 是锐角三角形，∴ 0 2C
2 3
，∴ C ，∴ cosC , .
2 6 4 2 2

0 3C 2
2 2 2
∴b c , ，即b c的取值范围是 3 1,2 2 2 .
2cosC 1 3 1 2 1
二、选择题
9.ABD 解析：当 n 2时， an Sn S
1 1 1
n 1 t
t n 2 2n
，
1 2n
1 1 1 1
已知 an 为等比数列，则 a1 ， an n ， t 1，Tn 2 2 n n 1 n n 1 .2 2 2
10.ACD 解析：由三条侧棱OA,OB,OC两两垂直，则该模型为“墙角”模型，如图所示，
1 3
外接球半径 R 32 33 33 3，故 A 正确；
2 2
过 P作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方
体， B,C,D均可通过该长方体进行计算，
则算得 sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 AOP sin2 BOP
sin 2 COP 2， sin 2 sin 2 sin 2 1，即 B 错误；C正确；
对于 D，在该长方体中， d 2 d 2 d 2 OP21 2 3 5，则OP 5， P点的轨迹为以O为
球心，半径为 5的球面被三角形面 ABC所截得的圆弧.又 dO ABC 3，则截面圆半径
r OP2 d 2 5 3 2 6 6 ，而 ABC内切圆半径为 2，因此轨迹为三
2 2
段圆弧，求得弧长 l 2 ，故 D 正确.
lnb 2 lna 1 lnb 1 lnb 2 lnb 2 ln b 1
11.BC 解析：∵ ，而 lnx 1 x x 1 ，∴ ，
b 1 a b b 1 2 b b
7
设 f x ln x 1 ，则 f x ln x 2 ，当 x 1时， f x 0，∴ f x 在 1， 上单x x
调递减，∴b a b a，∴b2 a2 b a，∴BC 正确.
三、填空题
1
12. 解析：由 a b m a 2 1 b mm 0 ，得
2 ，截得 1（舍 1 m 2 1
1
去）或 .
2
x2 y2
13. 1 解析：设 P x, y ，M 0, y ， N x ,0 ，由题意，MP 3MN ，则
9 4 M N
MP x, y yM 3MN 3xN , 3y x
x y
M ，∴ N ， y .3 M 2
2 2
又 MN 1 x y x2N y2M ，∴点 P的轨迹方程为 1.9 4
3
14. 解析：“恰有两位同学检查本班课室卫生”也就是有 4 为同学不检查自己所在班的
16
课室，记 n个同学不检查自己所在班课室卫生的情况总数为 an ，
任意一人可检查的班有 n 1 个，假设此人检查 i班，考虑 i班的学生代表的选择：
如果 i班的学生代表与此人交换检查，那么剩余 n 2 人不检查自己所在班课室卫生，情
况总数为 an 2 ；
如果 i班的学生代表不与此人交换检查，那么可以理解为 n 1 人不检查自己所在班课室
卫生，情况总数为 an 2 ，∴ an n 1 an 1 an 2 ,n 3,4, ，
于是 a1 0， a2 1， a3 2， a4 9 .
C 2 9 3
∴恰有两位同学检查本班课室卫生的概率是 6 .
A66 16
四、解答题
15.解：（1）根据散点图，可判断两个变量是线性相关.
12 12
xi 348 yi 264
根据题目所给数据，得 x i 1 29， y i 1 22 .
12 12 12 12
8
n
xi yi nxy
∴ r 7793 12 29 22 137 i 1 0.95 .
n n
2 2 2 2 24 6 144 xi nx yi ny
i 1 i 1
由于 r接近于 1，故相关性较强.
n
xi yi nxy
（2）∵b i 1 7793 12 29 22 137 n 2 0.24，
x2i nx 2 24 576
i 1
a y b x 22 137 29 15.10 .
576
∴经验回归方程为 y 0.24x 15.10 .
当 x 45时， y 0.24 45 15.10 25.9，即树高的预测值大约为 25.9m .
16.解：（1）∵平面 PAD 平面 ABCD， AB AD，平面 PAD 平面 ABCD AD，
∴ AB 面 PAD ，∵ AB 平面 PAB ，∴平面 PAD 平面 PAB .
（2）取 AD中点O点，连接 PO .
∵ PAD 为等边三角形，∴ PO AD .
∵ 平 面 PAD 平 面 ABCD ， 平 面 PAD 平 面
ABCD AD，∴ PO 平面 ABCD，
以 A为坐标原点， AB所在直线为 x轴， AD所在直线
为 y轴，过 A作 PO的平行线为 z轴，建立空间直角坐
标系，则 A 0，0，0 ，B 2，0，0 ，C 2，4，0 ，D 0,4,0 ，P 0，2，2 3 ，E 1，1，3 ，
于是 AE 1，1，3 ， AC 2，4，0 ，

设平面 EAC 的法向量为 n AE n x y 3z 0x, y, z ，则 ，
AC n

2x 4y 0
取 z 1 ，得 n 2 3, 3,1 .
1
又平面 ACD的法向量为m 0,0,1 ，于是 cos m,n ，
4

设平面 EAC 与平面 ABCD的夹角为 ，则 cos cos m,n 1 ，
4
∴平面 EAC 1与平面 ABCD的夹角的余弦值为 .
4
9

17.解：（1）由题意 f x a b x x sin cos sin 2 x 1 sin x 1 1 cos x
2 2 2 2 2
1 sin x cos x 1 2 sin x 1 .
2 2 2 4 2
由 f x 0，得 sin x 2 3 ，∴ x 2k 或 x 2k ，k Z，
4 2 4 4 4 4
x 1即 2k或 x 2k ,k Z ,取其中的正数构成递增数列 an ，2
知 a 1 5 9n 的前 6 项为 ，2，，4，，6 .2 2 2
2n 2
（2）由（1）知bn 2n
n
，∴ cn 1 2n 2 n 2 n，
∴ Sn 1 2 2 2 2 3 2 3 n 2 n ，①
2S 1 2 2 2 2 3 3 2 4n n 1 2 n n 2 n 1，②
①-②，得
3S 2 2 2 2 3 2 n n 2 n 1 2 1 2
n
n 2 n 1 2 1n

n 2 n 1，
1 2 3 3
S 2 3n 1∴ n 2 n 1 .9 9
c
18.解：（1）∵离心率为 e 5，∴ c2 5a2 ，而 c2 a2 b2 ，∴b2 4a2 ，
a
x2 y2 2 4
∴双曲线的方程为 1，∵点 2，2 在C上，∴ 2 2 1，a2 4a2 a 4a
y2
∴ a2 1，b2 4，∴C的方程为 x2 1.
4
（2）（ⅰ）直线MN 过定点 2,0 .
由双曲线C的方程可知： A 1,0 ,B 1,0 .设M x1, y1 ,N x2 , y2 .
由OQ 3OP，可设 P 0, t ,Q 0,3t .则直线 AM 即AP 的方程为 y t x 1 ，
y t x 1

联立 y2 ，整理得 4 t 2 x2 2t 2x t 2 4 0.
x
2 1
4
由题设 4 t 2 0，且 64 0 .
10
2
1 x t 4 t
2 4
由韦达定理得： 1 ，∴ x .4 t 2 1 4 t 2
2
y t t 4 8t
2
∴ 1 2 1 2 ，即M
t 4 8t

4 t 4 t 4 t 2
, 2 .4 t
2
又直线 BN 即BQ 的方程为 y 3t x 1 9t 4 24t ，同理可得 N 2 , 2 . 9t 4 9t 4
当 x1 x2时， y y
8t 24t 4
1 2，即 ，解得 t 2 ， x x 2 .4 t 2 9t 2 4 3 1 2
24t 8t
y y 2 2
当 x x 时，直线MN的斜率 k 2 1 9t 4 4 t 8t1 2 MN x 2 2
.
2 x1 9t 4 t 4 4 3t
2
9t 2 4 4 t 2
2
直线MN y 8t 8t x t 4 的方程为 .
4 t 2 4 3t 2 4 t 2
8t
化简整理得： y x 2 .
4 3t 2
∴直线MN 过定点 2,0 .
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线MN 过定点T 2,0
1
则 S1 S2 AT BT y 1 y 3 1 y y y y ，2 1 2 2 1 2 1 2
16m
由（ⅰ）知 y1 y2 ， y y
12
，
4m2 1 1 2 4m2 1
2
S S y y y y 2∴ 1 2 1 2 1 2 4 y y
4m 3
1 2 4 ，4m 2 1 2
M ,N C C x 1 y 1 m 1又点 在双曲线 的右支上， 的渐近线方程为 ，∴ ，
2 2 2
令u 4m2 u 4 3，则u 3,4 ，于是 S1 S2 f u 4 2 ， u 4 u 16 8
u
∵ f u 在 3,4 上单调递增，∴当u 3，即m 0时， S1 S2 取得最小值 4 3 .
∴ S1 S2的取值范围是 4 3， .
19.解：（1）由 f x sin x a ln x 1 ，得 f x cos x a ，
x 1
由题意 f 0 1 a 0，∴ a 1.
11
（2）由 f x sin x 1 ln x 1 , x 0,1 ，得 f x cos x ，
x 1
设 g x cos x 1 0 1 x 1 ，则 g x 2 sin x .x 1 x 1
则 g x 在 0,1 1单调递减， g 0 1 0， g 1 sin1 0，
4
∴存在唯一零点 x0 0,1 ，使得 g x0 0，
得 f x 在 0, x0 单调递增，在 x0 ,1 单调递减，
又 f 1 1 cos1 1 cos 0， f 0 0，
2 2 3
∴ f x 0在 0,1 上恒成立，∴ f x 在 0,1 上单调递增，
∴ f x min f 0 0，即 f x 的最小值为 0.
（3）∵ esin x ln x x2 bx 1 0 b Z 对 x 0,1 恒成立，
令 x 1，则 esin1 b，由（2）知 sin1 ln 2，∴ 2 eln 2 esin1 e1 3，
∵b Z ，∴b 2 .
下面证明当b 2时， h x esin x ln x x2 2x 1 0对 x 0,1 恒成立.
由（2）知 sin x ln x 1 ，则 esin x x 1，
于是 h x x 1 x2 2x 1 ln x x2 x ln x .
1 2x 1 x 1
设G x x2 x ln x, x 0,1 ，则G x 2x 1 0，
x x
∴G x 在 0,1 上单调递减.
∴G x G 1 0，∴ h x 0在 0,1 上恒成立，b 2满足题意.
综上所述，整数b的最大值为 2.
12