1.1.1空间向量及其线性运算 课时练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 1.1.1空间向量及其线性运算 课时练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 376.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-05 22:51:29 | ||
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文档简介
1.1.1空间向量及其线性运算课时练习
2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一
一、单选题（共6题，每题5分）
1．在平行六面体中，与向量相等的向量共有（）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．在空间中，下列结论正确的是（）
A．＝＋ B．＝＋＋
C．＝＋－ D．＝＋
3．已知在空间四边形中，，则（）
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体中，（）
A． B． C． D．
5．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ）
①与是一对相反向量；
②与是一对相反向量；
③与是一对相反向量；
④与是一对相反向量．
A．个 B．个 C．个 D．个
6．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（）
A． B． C． D．8
二、多选题（共2题，每题6分）
7．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（）
A． B．
C． D．
8．如图，在四棱锥中，，分别是和的中点，下列表达式化简正确的是（）
A． B．
C． D．
三、填空题（共4题，每题5分）
9．空间中既有 又有 的量叫作空间向量，空间向量的大小叫作空间向量的 或 .空间向量用有向线段表示，向量的始点是A，终点是，则向量也可记作，其模记为 .
10．如图，在长方体中，设，，，则 ．
11．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
12．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ．
四、解答题（共4题，每题15分）
13．如图所示，正方体，求下列各组向量的夹角：
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与．
14．在如图所示的平行六面体中，找出中的共面向量.
15．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
16．已知向量是空间中不共面的三个向量，.
(1)若，求的值；
(2)若四点共面，求的值.
1.1.1空间向量及其线性运算课时练习
数学人教A版（2019）选择性必修一参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C C C AD ACD
1．C
【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案.
【详解】由图，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个.
故选：C
2．B
【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D错误，
故选：B
3．A
【分析】
根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.
【详解】因为，故G为CD的中点，如图，
由平行四边形法则可得，
所以.
故选：A.
4．C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】解：
；
故选：C
5．C
【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，，，
，
与是一对相反向量，①正确；
对于②，，，又，
与不是相反向量，②错误；
对于③，，，，，
，
与是一对相反向量，③正确；
对于④，，，又，
与是一对相反向量，④正确.
故选：C.
6．C
【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值.
【详解】∵，，，
∴，
∵、、三点共线，
∴，使得，
即 ，
∴，，解得．
故选：C．
7．AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误.
故选：AD
8．ACD
【分析】根据空间向量加减法的几何意义，可得答案.
【详解】对于A，在中，由，分别是和的中点，则且，即，，故A正确；
对于B，由，则，即，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，由为的中点，则，故D正确.
故选：ACD.
9． 大小 方向 长度 模 或
【分析】略
【详解】略
10．
【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.
【详解】
由
故答案为：
11．/
【分析】由列方程，化简求得的值.
【详解】∵，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∵，不共线，∴，
∴，∴.
故答案为：
12．
【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.
【详解】延长交边于点，则，
则有，，
故．
故答案为：.
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据正方体性质及空间向量概念和夹角求解即可.
【详解】（1）在正方体中，因为，所以与的夹角等价于与的夹角，再由正方体性质得夹角为；
（2）因为与互为相反向量，所以与的夹角等价于与夹角的补交，所以夹角为；
（3）由正方体性质得，平面，平面所以，所以与的夹角为；
（4）由正方体性质得， 与互为相反向量，所以夹角为.
14．是共面向量；是共面向量；是共面向量.
【分析】根据向量共面的概念，结合图形，即可得到答案.
【详解】因为是平行六面体，
由图形可得是共面向量；是共面向量；是共面向量.
15．(1)，作图见解析
(2)，作图见解析
(3)，作图见解析
【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【详解】（1），
向量如图所示.
（2）；
向量如图所示.
（3），
设是线段的中点，
则.
向量如图所示.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果；
（2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果.
【详解】（1）由题可得：
，
，
因为，所以，
即解得
所以的值分别为；
（2）因为四点共面，所以存在，使得，
即，
于是有
所以，
即的值为.
2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一
一、单选题（共6题，每题5分）
1．在平行六面体中，与向量相等的向量共有（）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．在空间中，下列结论正确的是（）
A．＝＋ B．＝＋＋
C．＝＋－ D．＝＋
3．已知在空间四边形中，，则（）
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体中，（）
A． B． C． D．
5．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ）
①与是一对相反向量；
②与是一对相反向量；
③与是一对相反向量；
④与是一对相反向量．
A．个 B．个 C．个 D．个
6．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（）
A． B． C． D．8
二、多选题（共2题，每题6分）
7．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（）
A． B．
C． D．
8．如图，在四棱锥中，，分别是和的中点，下列表达式化简正确的是（）
A． B．
C． D．
三、填空题（共4题，每题5分）
9．空间中既有 又有 的量叫作空间向量，空间向量的大小叫作空间向量的 或 .空间向量用有向线段表示，向量的始点是A，终点是，则向量也可记作，其模记为 .
10．如图，在长方体中，设，，，则 ．
11．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
12．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ．
四、解答题（共4题，每题15分）
13．如图所示，正方体，求下列各组向量的夹角：
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与．
14．在如图所示的平行六面体中，找出中的共面向量.
15．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
16．已知向量是空间中不共面的三个向量，.
(1)若，求的值；
(2)若四点共面，求的值.
1.1.1空间向量及其线性运算课时练习
数学人教A版（2019）选择性必修一参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C C C AD ACD
1．C
【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案.
【详解】由图，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个.
故选：C
2．B
【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D错误，
故选：B
3．A
【分析】
根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.
【详解】因为，故G为CD的中点，如图，
由平行四边形法则可得，
所以.
故选：A.
4．C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】解：
；
故选：C
5．C
【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，，，
，
与是一对相反向量，①正确；
对于②，，，又，
与不是相反向量，②错误；
对于③，，，，，
，
与是一对相反向量，③正确；
对于④，，，又，
与是一对相反向量，④正确.
故选：C.
6．C
【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值.
【详解】∵，，，
∴，
∵、、三点共线，
∴，使得，
即 ，
∴，，解得．
故选：C．
7．AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误.
故选：AD
8．ACD
【分析】根据空间向量加减法的几何意义，可得答案.
【详解】对于A，在中，由，分别是和的中点，则且，即，，故A正确；
对于B，由，则，即，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，由为的中点，则，故D正确.
故选：ACD.
9． 大小 方向 长度 模 或
【分析】略
【详解】略
10．
【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.
【详解】
由
故答案为：
11．/
【分析】由列方程，化简求得的值.
【详解】∵，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∵，不共线，∴，
∴，∴.
故答案为：
12．
【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.
【详解】延长交边于点，则，
则有，，
故．
故答案为：.
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据正方体性质及空间向量概念和夹角求解即可.
【详解】（1）在正方体中，因为，所以与的夹角等价于与的夹角，再由正方体性质得夹角为；
（2）因为与互为相反向量，所以与的夹角等价于与夹角的补交，所以夹角为；
（3）由正方体性质得，平面，平面所以，所以与的夹角为；
（4）由正方体性质得， 与互为相反向量，所以夹角为.
14．是共面向量；是共面向量；是共面向量.
【分析】根据向量共面的概念，结合图形，即可得到答案.
【详解】因为是平行六面体，
由图形可得是共面向量；是共面向量；是共面向量.
15．(1)，作图见解析
(2)，作图见解析
(3)，作图见解析
【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【详解】（1），
向量如图所示.
（2）；
向量如图所示.
（3），
设是线段的中点，
则.
向量如图所示.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果；
（2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果.
【详解】（1）由题可得：
，
，
因为，所以，
即解得
所以的值分别为；
（2）因为四点共面，所以存在，使得，
即，
于是有
所以，
即的值为.