1.1.2空间向量的数量积运算 课时练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算课时练习
2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一
一、单选题（共6题，每题5分）
1．已知向量，则等于（）
A． B． C．1 D．2
2．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（）
A． B． C． D．
3．已知正方体的棱长等于，则的值为（）
A． B． C． D．
4．已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（）
A． B． C． D．
5．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么（）
A． B．
C． D．与的大小不能比较
二、多选题（共1题，每题6分）
7．如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（）
A． B．
C． D．
三、填空题（共4题，每题5分）
8．已知空间向量满足，且与的夹角为，则 ．
9．空间两个非零向量垂直：如果，那么向量，互相 ，记作 .
10．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则 .
11．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ．
四、解答题（共4题，每题15分）
12．若是空间的两个非零向量，则，对吗？
13．已知正四面体的棱长为1，如图所示.求：
(1)；
(2).
14．如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求
15．如图所示长方体中，是的中点，，，求：
(1)；
(2)
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B C A C ACD
1．C
【分析】利用向量数量积的坐标运算即可.
【详解】解：由题意得：
故选：C
2．B
【分析】根据数量积的定义即可求解.
【详解】，.
故选：B
3．B
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，写出，，点的坐标，利用空间向量坐标运算得到和，直接利用空间向量数量积公式即可得出结果.
【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，
所以．
故选：B.

4．C
【分析】根据题意计算得，，进而计算夹角即可得答案.
【详解】解：由题意，得，
所以 ，
设向量和的夹角为，则，
又，所以.
故选：C.
5．A
【分析】根据投影向量的定义理解向量数量积的几何意义，结合图形即可计算得到.
【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是，
所以，，
即的值只有一个．
故选：A.
6．C
【分析】
利用空间向量加减运算的几何表示及数量积运算进行求解判断.
【详解】

因为，
，
所以．
故选：C．
7．ACD
【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案.
【详解】对于A，由为的中点，则，
在直四棱柱中，易知，
所以，故A正确；
对于B，由为的中点，则，
在直四棱柱中，易知，
，故B错误；
对于C，由题意可得与的夹角为，且，
则
，故C正确；
对于D，
，故D正确．
故选：ACD．
8．1
【分析】利用空间数量积的定义，直接求解即可.
【详解】由空间向量数量积的定义，.
故答案为：1
9． 垂直
【分析】略
【详解】略
10．
【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为分别在半平面内，，二面角等于，
所以，
因为，
所以
，
所以，
故答案为：
11．
【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，
所以，，，
故 ，
，
，
因为向量与的夹角为钝角，
所以，即，
则，
解得，即.
故答案为：.
12．答案见解析
【详解】不对．∵与，与分别互为相反向量，
∴．
对空间任意两个非零向量，有
①；
②；
③．
13．(1)
(2)1
【分析】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可；
（2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可.
【详解】（1）在正四面体中，，
，
则.
（2）
.
14．1
【分析】直三棱柱中可得，根据 ，由勾股定理可知，由向量的线性运算可得，从而有转化为化简即可求得答案.
【详解】∵平面，.
又，∴E为BC的中点，．
又
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积定义运算，可得答案；
（2）根据向量的线性运算转化，再利用数量积运算可得答案.
【详解】（1）因为是长方体，且，所以
，，
因此.
（2）由题意，，，
所以
因为，，所以，
所以