1.2 空间向量基本定理
【基础巩固】
1．设向量是空间一个基底,则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】(1)由题意和空间向量的共面定理,
结合,得与、是共面向量,
同理与、是共面向量,所以与不能与、构成空间的一个基底;
又与和不共面,所以与、构成空间的一个基底.故选:C.
2．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，为中点，故，
由，得，
即：代入，
，
对比已知，得，解得．故选：．
3．在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，，，，
．
故选：．
4．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，因为、分别为、的中点，
所以，，且．
则所以，，
可得直线和夹角的余弦值等于，，
所以直线和夹角的正弦值为．故选：．
5．（多选）如图，在平行六面体中，，，与的交点为，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】，选项正确，错误；
，
所以，选项正确；
，
所以，，选项正确．故选：．
6．是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则_______．
【答案】3
【解析】，且
．故答案为：3．
7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则________．
【答案】
【解析】，
又，，．
故答案为：．
8．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，求异面直线与的夹角的余弦值．
【答案】见解析
【解析】(1)由，
可得，
由，可得，
则；
(2)由，，，
可得，，，则，
，
则，
则异面直线与的夹角的余弦值为．
【能力拓展】
9．已知，，是空间向量的一个基底，若向量，且向量，，，则用基底，，表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，
则有，
又，且，，是空间向量的一个基底，
所以，解得，即．故选：．
10．（多选）如图，在直四棱柱中，，，为与的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．设，则
D．以为球心，为半径的球与四边形的交线长为
【答案】ACD
【解析】由题得，
，故正确．
因为，
，，所以，
所以，故错误．因为，
所以，
所以，以，故正确．
取的中点为，连接，易知平面，且．
由球的半径为，知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆．
如图，在正方形内，以为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧即为所求交线．
由题意可知，所以弧的长为，故正确．
故选：．
11．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设，分别为四边形与△的面积，则_______．
【答案】
【解析】由已知条件：在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足，
故，
所以，若，分别为，的中点，如下图，
则，即，又，则，
故，所以，
综上，，令梯形的高为，
则，，
所以．
故答案为：．
【素养提升】
12．一般地，元有序实数对，，，称为维向量．对于两个维向量，，，，，，定义两向量的数量积为，向量的模，且取最小值时，称为在上的投影向量．
(1)求证：在上的投影向量为；
(2)某公司招聘时对应聘者的语言表达能力、逻辑推理能力、动手操作能力进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量，，而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ，，，将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
(Ⅰ)应聘者小明的测评结果为，7，，试分析小明最适合哪个岗位．
(Ⅱ)已知小红在会计、技工和某岗位的适合度分别为，，，，2，．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)证明：取最小值时，为在上的投影向量，
，
是关于的二次函数，且二次项系数大于0，结合二次函数的性质，
当且仅当时，取最小值，
在上的投影向量为．
(2)设小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求向量”上的投影向量分别为，，，，
则，
，
，
，
小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；
证明：由题意，设岗位的“能力需求向量”为，，，
小红的测评结果为，，，
则，
则求出小红的测评结果的充分必要条件是这个关于，，的三元一次方程组有唯一解，
记，，，则，
设，，，
则方程组变形为，
②①得，
则方程组化简为，
消去，化简得⑥，
若，
则此时关于的方程要么无解要么有无穷多解，与题意不符，
，
又方程有且仅有一解，，即，
若，由向量的共线定理得，
使得，
则，与假设矛盾，不成立，故与不共线，同理可知与不共线，
，，可以作为空间中的一组基底，
即会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．1.2 空间向量基本定理
【基础巩固】
1．设向量是空间一个基底,则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．或
2．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）如图，在平行六面体中，，，与的交点为，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．是空间的一个基底，向量，是空间的
另一个基底，向量，则_______．
7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则________．
8．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，求异面直线与的夹角的余弦值．
【能力拓展】
9．已知，，是空间向量的一个基底，若向量，且向量，，，则用基底，，表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）如图，在直四棱柱中，，，为与的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．设，则
D．以为球心，为半径的球与四边形的交线长为
11．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设，分别为四边形与△的面积，则_______．
【素养提升】
12．一般地，元有序实数对，，，称为维向量．对于两个维向量，，，，，，定义两向量的数量积为，向量的模，且取最小值时，称为在上的投影向量．
(1)求证：在上的投影向量为；
(2)某公司招聘时对应聘者的语言表达能力、逻辑推理能力、动手操作能力进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量，，而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ，，，将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
(Ⅰ)应聘者小明的测评结果为，7，，试分析小明最适合哪个岗位．
(Ⅱ)已知小红在会计、技工和某岗位的适合度分别为，，，，2，．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．
