1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习 （含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示
2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一
单选题（共6题，每题5分）
在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（）
A． B．
C． D．
已知向量，若≠，，则与x轴正向夹角的余弦值为（）
A． B．
C． D．
已知，，如果，则（）
A． B．0 C． D．
下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（）
A． B．
C． D．
已知向量，，，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（）
A． B． C． D．
多选题（共2题，每题6分）
已知向量，，则下列结论正确的是（）．
A． B．
C． D．
在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（）
若点，关于平面对称，则
若点，关于轴对称，则
若，则
若，则
填空题（共4题，每题5分）
在空间直角坐标系中，，，O为坐标原点，直线AB上有一点M，且，则点M的坐标为 ．
已知空间有三点，，，若在直线上存在一点，使得，则点的坐标为 .
已知向量，，则向量与的夹角为 .
空间中到正方体棱，，距离相等的点有 个.
解答题
已知空间三点、、，设.
若，求点坐标；
若向量与互相垂直，求实数的值；
若向量与平行，求实数的值.
如图，在等腰梯形中，，，，平面，且，建立适当的空间直角坐标系并确定点的坐标．
已知点，，如图，以的方向为正向，在直线上建立一条数轴，，为轴上的两点，且分别满足条件：
；
．求点和点的坐标．
1.3空间向量及其运算的坐标表示参考答案
B
【分析】根据空间的点关于原点的对称点公式即可得出答案.
【详解】根据空间的点关于原点的对称点公式可得，点关于原点对称点的坐标为.
故选：B.
A
【分析】先求的坐标，利用向量夹角公式可得答案.
【详解】,x轴正向的方向向量为，
∴，
∴.
故选：A.
A
【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.
【详解】由，则存在，使，
则，解得，
所以.
故选：A.
B
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
【详解】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.
对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，无解, 即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.
故选：B.
D
【分析】根据题意，先得到的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.
【详解】根据题意可得，，即
则，
且，所以与的夹角为
故选:D
B
【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可.
【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为，
则有，解得，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
故，
所以，
则当时，取得最小值，
此时.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键.
BC
【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.
【详解】由题设，，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：BC
BC
【分析】根据空间点对称法则求得对称点的坐标求解即可判断AB，根据空间向量垂直的坐标运算求解判断C，根据空间两点距离公式列式化简即可判断D.
【详解】对A，若点，关于平面对称，则，
所以，故A错误；
对B，若点，关于轴对称，则，
所以，故B正确；
对C，若，则，故C正确；
对D，若，则，
所以，两式相减得，故D错误.
故选：BC
9．
【分析】运用空间向量求解.
【详解】设，，，，
则，，又，
即，解得，故M点的坐标为；
故答案为：.
10．/
【分析】设出点的坐标，列出关于的方程组，解之即可求得点的坐标
【详解】设，则，
又，，
则解得
即点的坐标为.
故答案为：
11．
【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果.
【详解】∵，，
∴，，，
∴，
∴.
故答案为：.
12．无数
【分析】由于点显然满足要求，猜想线段上任一点都满足要求，然后证明结论．
【详解】在正方体上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，
因为
所以设，其中，
作平面，垂足为E，再作，垂足为F，
则 面，
面，又面，
，则PF是点P到直线的距离，
所以，
同理点P到直线、的距离也是，
所以上任一点与正方体的三条棱，，所在直线的距离都相等，
所以与正方体的三条棱，，所在直线的距离相等的点有无数个．
故答案为：无数
13．(1)
或
【分析】（1）设，求出，，根据列出方程组求解即可；
求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示列出方程求解即可；
求出向量、的坐标，设，进而列出方程组求解即可.
【详解】（1）设，则，，
由，得，
解得，即.
由，，
则，，
因为向量与互相垂直，
所以，即，
解得或.
由（2）知，，，
所以，，
因为向量与平行，设，
则，解得.
答案见解析
【分析】方法一：利用余弦定理可求得，并证得，以为坐标原点，正方向为轴可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标；
方法二：作，利用余弦定理可求得的长，以为坐标原点，正方向为轴可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.
【详解】方法一：连接，
，，，，
在中，，，
由，，得：，，即，
以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.
方法二：过作，垂足为，连接，
，，，，
在中，，，
由，，得：，
，，，，
以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.
15．,
【分析】设点坐标为，的坐标为，由空间向量的线性运算求解即可；
【详解】（1）由已知，得，
即，．
设点坐标为，则上式用坐标表示，
得，
即，，．
因此，点的坐标是．
（2）因为，
所以，
即，．
设点的坐标为，则上式用坐标表示，
得，
即，，．
因此，点的坐标是．