1.4.1 充分条件与必要条件
知识点1 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出 关系 p q p q
条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件
注意点：
(1)p q，有方向，条件在前，结论在后.
(2)若p q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件.
(3)充分、必要条件可以不唯一.
知识点2 两个角度理解充分性和必要性
1.从命题的角度充分理解充分必要性
若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系:
(1)若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件；
(2)若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件；
(3)若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件；
(4)若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件.
2.从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
(1)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(4)若A＝B，则p是q的充要条件；
(5)若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
3.判断充分必要条件的关键：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
1.判断p是q的充分、必要条件的方法
(1)经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p.
(2)也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A B，则p是q的充分条件；若B A，则p是q的必要条件.
2.判断充分条件与必要条件的基本思路
(1)分清楚条件是什么，结论是什么；
(2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)；
(3)指出条件是结论的什么条件．
题型一 充分条件的判断
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案.
【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可.
【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．指出下列哪些命题中是的充分条件（ ）
A．在中，，
B．已知，，，
C．已知，，
D．已知，，
【答案】ABD
【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可.
【详解】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确；
由，故是的充分条件，故B正确；
由，所以不是的充分条件，故C错误.
，故是的充分条件，故D正确.
故选：ABD
4．（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（ ）
A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半
B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称
C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直
D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆
【答案】AD
【分析】根据图形的性质，结合充分条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半，
即，所以是的充分条件，所以A正确；
对于B中，根据中心对称的性质可得，线段被该点总是平分时，
这两个图形才关于这点中心对称，即，所以B错误；
对于 C中，若圆内一条直径平分另一条直径，此时这两条直径不一定互相垂直，
即，所以C错误；
对于D中，根据圆的作法可得，若平面内有不在同一条直线上的三个点，
则这三个点确定一个圆，即，D正确．
故选：AD.
5．已知实数a，b，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断.
【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到；
当时，若，就不能得到.
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D
题型二 写出一个充分条件
6．已知，那么p的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断各选项中不等式能否推出成立，即可得出答案.
【详解】因为推不出，故不是的充分条件，A错误；
因为推不出，故不是的充分条件，B错误；
因为一定能推出，故是的充分条件，C正确；
因为推不出，故不是的充分条件，D错误；
故选：C
7．关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用二次方程的性质，结合充分条件的性质即可得解.
【详解】因为有两个实数解，
当时，，显然不满足题意；
当时，，得；
综上，且，
即有两个实数解等价于且，即或，
要使得选项中的范围是题设条件的充分条件，
则选项中的范围对应的集合是或的子集，
经检验，AB满足要求，CD不满足要求.
故选：AB.
8．已知a，b是两条直线，，是两个平面，则“”的一个充分条件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，与相交
【答案】C
【分析】根据充分条件的定义，结合线面、面面、线线的位置关系判断即可.
【详解】对于A，由，，则或，
因为，所以，或相交或异面，不一定有，故A错误；
对于B，由，，，则，故B错误；
对于C，由，，则，
因为，所以，故C正确；
对于D，如下图，不一定有，故D错误.
故选：C.
9．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（ ）
A．为无理数 B．为无理数
C．为无理数 D．
【答案】D
【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确.
【详解】若，则为有理数，A错误；
若，则为有理数，B错误；
若，则为有理数，C错误；
若为无理数，则，所以，D正确．
故选：D.
10．设是两个实数，则“中至少有一个数大于”的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接给出作为A，B，D选项的反例，然后说明C选项正确即可.
【详解】由于当时，，，，故A，B，D错误；
由于当时，有，所以，从而中至少有一个数不小于它们的平均值，故中至少有一个数大于，C选项正确.
故选：C.
题型三 已知充分条件求参数
11．若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值.
【详解】，则，
因为“”是“或”的充分条件，
所以，解得，
故选：C.
12．若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是，
则，所以，
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
13．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解.
【详解】设.
因为是的充分条件，所以，
所以.
故答案为：.
14．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案.
【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集，
当时，即时，，满足题意；
当，即时，由题意得，解得，
综上，m的取值范围是．
15．已知集合.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)或.
【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解即得.
（2）利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】（1）当时，，而，则或，
所以，.
（2）由“”是“”的充分条件，得，
当，即时，，满足，则；
当时，由，得，解得，
因此或，
所以实数a的取值范围是或.
题型四 必要条件的判断
16．下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等.
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例.
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形.
(4)若，则
(5)若为无理数，则x，y为无理数
【答案】(1)是
(2)是
(3)不是
(4)不是
(5)不是
【分析】先根据条件得到他们之间的推导关系，再判定他们的逻辑关系.
【详解】（1）由平行四边形的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件.
（2）由三角形相似的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件.
（3）存在对角线垂直，但不是菱形的四边形，可得，所以 q不是p的必要条件.
（4）由于 ，但，可得，所以 q不是p的必要条件.
（5）由于为无理数，但不全是无理数，可得，
所以 q不是p的必要条件.
17．已知实数，，则“”是“，且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举例说明证明充分性，根据不等式的性质证明必要性，即可下结论.
【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立；
若且，则，故必要性成立，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B
18．下列选项正确的是（ ）
A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件
B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可解.
【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确；
对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形，
三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误；
对于C中，例如：当时，满足，但，
所以是的充分条件，所以C错误；
对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误．
故选：A.
19．若直线在平面内，直线在平面外，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】根据直线在平面外的定义，直线垂直于平面的性质以及必要不充分条件的定义求解.
【详解】如下图所示，若直线与平面相交点，但不垂直时，当直线垂直于直线在平面内的射影，此时，得不出，
因为，且直线在平面内，所以，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：D.
20．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】运用充分条件和必要条件知识判断即可.
【详解】由,令，则，即得不到；
反之，，取，得不到.
则“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
题型五 根据逻辑关系判断必要性
21．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下”
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件.
故选：B.
22．老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，
但“做难题”一定可以推出“做容易题”，
故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件，
故选：B.
23．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据逆否命题的等价性，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】由题意“不破楼兰终不还”只可知，“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，
故选：A.
24．“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得.
【详解】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远；
不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”，
所以“积小流”是“成江海”的必要条件.
故选：B
25．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热 干咳 浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先得到条件：“某人表现为发热 干咳 浑身乏力”，结论：“新冠肺炎患者”，然后分析由条件能否得到结论，判断是否是充分条件，再分析由结论是否得到条件，判断是否是必要条件，得到答案.
【详解】表现为发热 干咳 浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒等，
故“某人表现为发热 干咳 浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的不充分条件；
而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热 干咳浑身乏力等外部表征，
故“某人表现为发热 干咳 浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的必要条件；
因而“某人表现为发热 干咳 浑身乏力”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件.
故选：A
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.
26．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.
【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.
故选：B.
27．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语 子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案.
【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件.
故选：C．
28．已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件
C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件
【答案】B
【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断.
【详解】依题意得.
由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错.
由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对.
由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错；
因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错.
故选：B.
题型六 写出一个必要条件
29．使不等式成立的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断．
【详解】，
因此只有B是其必要条件．
故选：B．
30．已知，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件，
由不能得到，，，比如，
故选：D
31．的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接由进行推导，能推出的即为应选项
【详解】因为，所以，所以是的一个必要条件，
若 不能得到，，
故选：A
32．的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过一一判断即可.
【详解】由题意，
∵，
∴，A正确
对B项，，故B错误；
对C项，不能小于2，故C错误，
对D项，不能等于1，故D错误，
故选：A.
33．写出的一个必要不充分条件是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】化简条件，再利用充分条件与必要条件的定义即可求解.
【详解】由，等价于，
则不能能推出，能推出，
则是的必要不充分条件，
即的必要不充分条件是.
故答案为：（答案不唯一）
题型七 已知必要条件求参数
34．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得.
【详解】由q是p的必要条件，得，
所以.
故选：A
35．已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】AB
【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可.
【详解】由为的必要条件，可得，
.
故选：AB.
36．已知条件，，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据必要条件列不等式即可得实数k的取值范围.
【详解】已知条件，，
设集合，
因为p是q的必要条件，所以
所以，解得.
故答案为：.
37．设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.
【详解】因为p是q的必要条件，
所以，
所以，
则实数m的取值范围是，
故答案为：
38．设集合．
(1)，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据补集和交集概念进行求解；
（2）先得到，分和两种情况，得到不等式，求出m的取值范围.
【详解】（1）当时，，故或，
又，故
（2）“”是“”的必要条件，故，
当时，，∴，符合题意；
当时，需满足，解得
综上所述，m的取值范围为或.
题型八 充分条件与必要条件的综合题型
39．已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可；
（2）由题可知此时，再分和讨论即可.
【详解】（1），故，，
或.
（2）若“”是“”的充分条件，则，
当时，，
当时，，解得，
综上，.
40．设全集，集合
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得集合，再根据并集与交集的运算进行求解即可；
（2）根据必要条件与不等关系，建立不等式组进行求解即可.
【详解】（1）若，则，又
所以；
（2）若是的必要条件，则
则当时，即时，符合题意；
当时，即时，，要满足，则有
解得，
综上，实数的取值范围为.
41．已知集合.
(1)求；
(2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解不等式求得集合，根据交集、补集的知识来求得正确答案.
（2）根据充分、必要条件的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）因为，
，
或，
所以或.
（2）若是的充分条件，则，
因为，
所以，解得，
若是的必要条件，则，
所以，解得，
综上的取值范围为.
42．已知；，非空集合.
(1)求实数的取值范围：
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(3)若是的必要条件，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由集合结合一元二次方程根的判别式即可求解.
（2）由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解.
（3）先由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解.
【详解】（1）因为集合，所以.
（2）因为是的充分条件，所以，
所以，所以.
（3）因为是的必要条件，所以，
所以，所以.
43．设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【详解】（1）由，所以或，故集合.
因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，实数的值为或.
（2）因为“”是“” 的必要条件，所以.
对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想有，须有，
此时：，该方程组无解.
综上，实数的取值范围是.1.4.1 充分条件与必要条件
知识点1 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出 关系 p q p q
条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件
注意点：
(1)p q，有方向，条件在前，结论在后.
(2)若p q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件.
(3)充分、必要条件可以不唯一.
知识点2 两个角度理解充分性和必要性
1.从命题的角度充分理解充分必要性
若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系:
(1)若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件；
(2)若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件；
(3)若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件；
(4)若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件.
2.从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
(1)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(4)若A＝B，则p是q的充要条件；
(5)若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
3.判断充分必要条件的关键：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
1.判断p是q的充分、必要条件的方法
(1)经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p.
(2)也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A B，则p是q的充分条件；若B A，则p是q的必要条件.
2.判断充分条件与必要条件的基本思路
(1)分清楚条件是什么，结论是什么；
(2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)；
(3)指出条件是结论的什么条件．
题型一 充分条件的判断
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．指出下列哪些命题中是的充分条件（ ）
A．在中，，
B．已知，，，
C．已知，，
D．已知，，
4．（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（ ）
A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半
B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称
C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直
D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆
5．已知实数a，b，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二 写出一个充分条件
6．已知，那么p的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知a，b是两条直线，，是两个平面，则“”的一个充分条件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，与相交
9．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（ ）
A．为无理数 B．为无理数
C．为无理数 D．
10．设是两个实数，则“中至少有一个数大于”的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 已知充分条件求参数
11．若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
14．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ．
15．已知集合.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
题型四 必要条件的判断
16．下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等.
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例.
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形.
(4)若，则
(5)若为无理数，则x，y为无理数
17．已知实数，，则“”是“，且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．下列选项正确的是（ ）
A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件
B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的必要条件
19．若直线在平面内，直线在平面外，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
20．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型五 根据逻辑关系判断必要性
21．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下”
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
22．老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
24．“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热 干咳 浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
27．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语 子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
28．已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件
C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件
题型六 写出一个必要条件
29．使不等式成立的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
30．已知，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
31．的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
32．的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
33．写出的一个必要不充分条件是 .
题型七 已知必要条件求参数
34．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
35．已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（ ）
A． B．0 C．4 D．5
36．已知条件，，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 .
37．设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ．
38．设集合．
(1)，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围．
题型八 充分条件与必要条件的综合题型
39．已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
40．设全集，集合
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
41．已知集合.
(1)求；
(2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围.
42．已知；，非空集合.
(1)求实数的取值范围：
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(3)若是的必要条件，求实数的取值范围
43．设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
