1.4.2充分、必要条件的应用 难点训练微专题(解析版）
突破通法：
由充分条件、必要条件求参数范围的策略
（1）巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含或相等关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）并求解，注意条件的等价变形.
（2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定端点值的取舍.
微专题训练
一、单选题
1．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围.
【详解】由题意可得，且，
又
，
，
则解得，
故选：D．
2．已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将p是q的充分条件转化为集合间的包含关系，根据包含关系列不等式组求解即可.
【详解】设集合，
集合，
因为p是q的充分条件，所以A是B的子集，
则，解得.
故选：B.
3．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论.
【详解】因为是的必要条件，所以，
所以成立.
令，得在恒成立，
所以，所以，
，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：D.
4．已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，再由必要不充分条件，求解即可.
【详解】不等式，即，解得，
故，
又的一个必要条件是，则是的真子集，
对于A，，不一定是的子集，比如时，A错误；
对于B，，不是的子集，B错误；
对于C，，是的真子集，C正确；
对于D，，不一定是的子集，比如时，D错误.
故选：C.
5．方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可.
【详解】由题知，，解得.
故选：A
6．已知集合，若是的充要条件，则整数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案.
【详解】，
由于是的充要条件，，
所以，解得，
故整数.
故选：D
7．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为恒成立即可求解.
【详解】恒成立，，所以，解得．
故选：B
8．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏．甲、乙、丙共同写出三个集合A，B，C，然后他们三人各用一句话来正确描述集合中“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．已知集合，，．甲、乙、丙三位同学描述如下．甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（ ）
A．1或2 B．2或3
C．3或4 D．1或3
【答案】A
【分析】由必要条件和充分条件得到三个集合的关系，再分表示的数字为1,2,3,4时分别讨论即可.
【详解】由“甲：此数为小于5的正整数”可得表示的数字可能为1,2,3,4，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
又是的充分不必要条件，所以是的真子集，
又，
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
所以“”表示的数字是1或2，
故选：A.
二、多选题
9．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由题意可得根据题意推出是A的真子集，分，讨论，即可求得实数的可能取值范围，从而得结论．
【详解】由题意集合，，
因为“”是“”的必要不充分条件，故是A的真子集，
当时，则，即时，符合题意，
当时，则，所以，
综上，实数的范围为，结合选项可知AB符合题意.
故选：AB．
10．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】先根据题意化简：命题“，”为真命题；为，然后利用充分性和必要性的判断方式来判断即可.
【详解】若命题“，”为真命题，
则当时，恒成立，
即，
故该题可以转变为“”的一个必要不充分条件，
由必要不充分条件的判断可知，
“”的一个必要不充分条件是“”
所以AD符合题意.
故选：AD
11．已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】BC
【分析】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则BC符合题意.
故选：BC.
三、填空题
12．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求．
【详解】由可得，即，
由可得，
即，
又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或，解得，
故答案为：．
13．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得出，分类讨论a的取值范围，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】因为是的必要条件，所以，
①当时，，满足；
②当时，，
由，得，解得，故；
③当时，，
由，得，解得，故；
综上所述，实数的范围是，
故答案为：
14．已知，，若是的充要条件，则实数 ．
【答案】5
【分析】根据充要条件列出等式求解即可.
【详解】因为，又，是的充要条件，
所以，解得实数．
故答案为：5
四、解答题
15．已知集合，，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围.
（2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可.
【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.
已知，，则，解得.
故实数的取值范围为.
（2）当时，因为，所以，解得，此时成立；
当时，，解得.
因为，，则或，解得或，故此时.
综上，若，则实数的取值范围为.
16．已知全集，集合，集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据一元二次不等式解法，先求得集合A，进而可得，当，可得集合B，根据交集运算的定义，计算即可得答案；
（2）由题意可得且，根据集合的包含关系，列出不等式，可得的取值范围.
【详解】（1）由得，解得，
所以集合；
又全集，所以或，
当时，集合，
所以.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且，
因为，
所以，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
17．已知集合，．
(1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)不存在
(2)
【分析】（1）先解集合，再利用充要条件即为，从而可得到的方程组，最后判断是否有解；
（2）利用充分不必要条件可得，再利用集合的包含关系可求的范围即可.
【详解】（1）解集合，
若是的充要条件，则
由，可得，
又，可得，即
此时的值不能同时满足和
不存在实数使是的充要条件
（2）若是的充分不必要条件，则
分两种情况讨论：
①当时，此时，解不等式得，此时满足，所以；
②当时，此时，
解不等式，即，
解不等式，即，
综合可得，
综上所述，实数的取值范围是1.4.2充分、必要条件的应用 难点训练微专题(学生版）
突破通法：
由充分条件、必要条件求参数范围的策略
（1）巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含或相等关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）并求解，注意条件的等价变形.
（2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定端点值的取舍.
微专题训练
一、单选题
1．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，若是的充要条件，则整数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏．甲、乙、丙共同写出三个集合A，B，C，然后他们三人各用一句话来正确描述集合中“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．已知集合，，．甲、乙、丙三位同学描述如下．甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（ ）
A．1或2 B．2或3
C．3或4 D．1或3
二、多选题
9．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）．
A． B． C． D．
10．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
三、填空题
12．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
13．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ．
14．已知，，若是的充要条件，则实数 ．
四、解答题
15．已知集合，，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
16．已知全集，集合，集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．已知集合，．
(1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
