2.4.1圆的标准方程 难点训练微专题(解析版）
突破通法：
求圆的方程的常用方法
（1）直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
（2）待定系数法：若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程，求出，，的值；
常用结论
1.几种特殊位置的圆的标准方程
特殊位置 方程的标准形式
圆心在原点
圆过原点
圆心在轴上
圆心在轴上
圆心在轴上且过原点
圆心在轴上且过原点
圆与轴相切
圆与轴相切
圆与两坐标轴都相切
已知点,,以线段为直径的圆的方程为.
注意：在解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
微专题训练
一、单选题
1．已知点，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程.
【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为，
所以圆的方程为.
故选：B.
2．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解.
【详解】设圆心坐标为：
由题意可知圆的标准方程为：，
由圆过点，
所以，解得：，
所以圆的标准方程为，
故选：C
3．曲线的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对式子进行变形，明确其含义即可求解.
【详解】由，得，
所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧，
其中点的横坐标为，则，，
故曲线的长度为.
4．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设，，由为的中点，则，即，
由点在圆上，则，即，
化简可得.
故选：D.
5．直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据面积公式分析可知当且仅当时，面积取到最大值，再结合点到直线的距离公式运算求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为面积，
当且仅当，即为等腰直角三角形时，等号成立，
此时圆心到线的距离，所以.
故选：C.
6．已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ）
A．0 B．±1 C． D．
【答案】C
【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O到直线：的距离d为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可.
【详解】圆的圆心坐标是，半径为2.
因为圆上恰有三个点到直线距离等于1，
所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得.
故选：C.
7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆的方程确定圆心坐标，再由垂直关系及斜率两点式求弦斜率，最后应用点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，圆心为，则，
故弦所在直线方程，即为.
故选：D
8．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对称性，确定，时的面积即可求解.
【详解】解：当，时，可得，
，表示的图形占整个图形的，
而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，
∴
故围成的图形的面积为：
故选：A
二、多选题
9．已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得圆的半径以及圆心到直线的距离，结合圆的性质就三角形面积的最值.
【详解】由题意知：，，
且圆心坐标为，半径为1，
因为圆心到直线的距离．
所以的最大值，故A错误，B正确；
的最小值，故C正确，D错误；
故选：BC.
10．已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案.
【详解】设圆心为，由题意可得，且，
解得或
则，即圆方程为或,
故选：BC
三、填空题
11．过点，且半径最小的圆的方程为 ．
【答案】（或）
【分析】解法一：先判断半径最小的情况，然后根据直径式方程写出圆的方程；
解法二：先确定圆心坐标和半径长，然后根据圆的方程直接写出即可.
【详解】解法一：根据题意，以点，为直径的两个端点的圆的半径最小，
则由直径式方程可得，即．
解法二：以点，为直径的两个端点的圆的半径最小，则线段的中点即圆心，
即直径，所以半径为，
所以圆的方程为．
故答案为：（或）
12．圆关于直线对称，则 ．
【答案】3
【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可．
【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有，
解得，
故答案为：3．
13．在平面直角坐标系中，和分别是圆与圆上的动点，则的最小值是 ．
【答案】9
【分析】利用三角形的性质得，从而有，取点，利用阿氏圆的性质，得到，即可求解.
【详解】因为，当且仅当为线段与圆的交点（点在之间）时取等号，
则，
如图，易知（为圆与轴的一个交点），，
取点，由阿氏圆的性质，知，得到，
所以，
当且仅当，，三点共线时取到最小值．
故答案为：.
四、解答题
14．已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程
【答案】
【分析】设，则，又，代入即可求解.
【详解】设，由中点坐标公式可得，
所以，
又点在圆：上，
所以，
将代入得，即，
所以的轨迹方程为.
15．已知，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)求的最小值和最大值．
【答案】(1)
(2)最小值是，最大值是
【分析】（1）设，由，整理可得；
（2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为.
【详解】（1）
设动点，则，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆.
（2）
由（1）可知：，半径是2，圆心．
因，故在圆外，
故的最小值是，最大值是.2.4.1圆的标准方程 难点训练微专题(学生版）
突破通法：
求圆的方程的常用方法
（1）直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
（2）待定系数法：若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程，求出，，的值；
常用结论
1.几种特殊位置的圆的标准方程
特殊位置 方程的标准形式
圆心在原点
圆过原点
圆心在轴上
圆心在轴上
圆心在轴上且过原点
圆心在轴上且过原点
圆与轴相切
圆与轴相切
圆与两坐标轴都相切
已知点,,以线段为直径的圆的方程为.
注意：在解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
微专题训练
一、单选题
1．已知点，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
6．已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ）
A．0 B．±1 C． D．
7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．过点，且半径最小的圆的方程为 ．
12．圆关于直线对称，则 ．
13．在平面直角坐标系中，和分别是圆与圆上的动点，则的最小值是 ．
四、解答题
14．已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程
15．已知，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)求的最小值和最大值．
