§2.5.1 直线与圆的位置关系
题型1：判断直线与圆的位置关系
（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
题型2：圆的切线方程
经过点，且与圆相切的直线的方程为 ．
与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
已知圆与圆相外切，且圆心与圆心关于点对称．
(1)求圆的标准方程；
(2)求经过点的圆的切线方程．
题型3：由直线与圆的位置关系求参
已知圆和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
若圆 上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为 则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知实数满足：，若的值仅与有关，则实数的取值范围是 .
已知点Q（x0，1），若上存在点，使得∠OQP＝60°，则的取值范围是 ．
题型4：直线与部分圆的相交问题
已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为 ．
若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
题型5：圆的切线长
从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．3
已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时， ．
题型6：圆的切点弦
如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ．
过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ．
已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（ ）
A． B． C． D．4
过圆上的一动点作圆的两条切线，则圆内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为 ．
题型7：圆的弦长问题
直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C． D．2
已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .
已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．15
题型8：与中点弦有关的问题
若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是 ．
已知圆C经过点，圆心C在直线上，且______．在①②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中进行求解．
①圆C与直线相切； ②圆C被直线截得的弦长为；
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知圆与圆C关于直线对称，过原点O的直线m交圆于M，N两点，求弦中点Q的轨迹方程．
题型9：与圆有关的最值问题
已知，是实数，且．
(1)求的最值；
(2)求的取值范围；
(3)求的最值．
圆上的点到直线的距离最大值为 .
已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点P到点距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 ．
已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若的最小值为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
(多选)已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
题型10：“设而不求”解决直线与圆相交问题
已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程；
(2)直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率；
(3)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由.
在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点．
(1)若直线l的斜率为1，求；
(2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．
过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．
(1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的一般方程；
(2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
已知圆：，过点的直线交圆于，两点．
(1)若，求此时直线的方程；
(2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上．
已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求的最大值.§2.5.1 直线与圆的位置关系
题型1：判断直线与圆的位置关系
（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为，的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】对于A，若点在圆上，则，所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切，故A正确；
对于B，若点在圆内，则，所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故B正确；
对于C，若点在圆外，则，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，故C不正确；
对于D，因为点在直线上，所以，圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切，D正确．
故选：ABD.
直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断直线与圆的位置关系
【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得.
【详解】由题意可得圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交.
故选：C
已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断直线与圆的位置关系
【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交.
【详解】由题意可得直线：过定点.
因为，所以点在圆内，
则直线与圆相交.
故选：C.
已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系
【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得.
【详解】由可得，
直线的方程整理为，
则直线恒过点，又点在圆上，
故直线与圆相交或相切．
故选：D
题型2：圆的切线方程
经过点，且与圆相切的直线的方程为 ．
【答案】.
【难度】0.85
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程
【分析】确定点在圆上，进而求出切线的斜率，再运用点斜式直线方程求解.
【详解】因为，所以点在圆上，
由题意可知圆心C的坐标为，则直线的斜率；
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率，()，
故经过点的切线方程为，整理得；
故答案为：.
与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析、过圆外一点的圆的切线方程
【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为.
【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为，.
则直线过点，那么直线斜率为.
所以直线方程为.
因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得或（舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为.
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
已知圆与圆相外切，且圆心与圆心关于点对称．
(1)求圆的标准方程；
(2)求经过点的圆的切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【难度】0.65
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【分析】（1）先求出圆心关于点的对称点得到圆心坐标，再由两圆外切，列出方程，求出半径，得到圆的标准方程；
（2）考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出切线方程.
【详解】（1）圆的圆心为，设，因为圆心与圆心关于点对称，
所以解得
所以圆的圆心坐标为．
设圆的半径为，因为圆与圆相外切，
所以，解得，
所以圆的标准方程为．
（2）当切线斜率不存在时，，
此时圆心到的距离为3，故满足相切关系；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
故切线方程为，即．
所以切线方程为或．
题型3：由直线与圆的位置关系求参
已知圆和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】设该圆的方程为，根据题意建立关于，的方程组，解方程即可得，，进而求出该圆的方程．
【详解】解：设该圆的方程为，
由题意可得，解得或，
所以圆的方程是或，
故选：D．
已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过定点，由点在圆上或圆内即可构造不等式求得结果.
【详解】由得：，
由得：，即直线恒过定点，
当点在圆上或圆内时，直线与圆恒有公共点，
，即，又，，
即的取值范围为.
故选：D.
一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意写出反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切列式计算即可.
【详解】射这条光线所在直线方程为，则会过点，反射光线斜率与原光线斜率互为相反数，所以反射光线所在直线方程为，圆的圆心为，半径为1，与反射光线相切，即，解得或
当时，反射光线所在直线方程为，此时反射光线与x轴平行，不合题意；
当时，反射光线所在直线方程为；
故选:A
“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、求点到直线的距离、由距离求已知直线的平行线、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据给定条件，求出与直线平行且到直线的距离为1的直线方程，再求出圆心到这两条直线距离，进而利用直线与圆的位置关系确定范围，最后利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】如图所示：
设与直线平行且到直线的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，则，
所以“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为”的必要不充分条件，B正确.
故选：B
若圆 上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为 则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、直线的倾斜角、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先由题意得到圆心到直线的距离d满足，再分和两种情况分类讨论再结合直线斜率的定义即可求解.
【详解】由题可得已知圆的圆心，半径为，
如图，由图可知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，
当时，直线斜率不存在，倾斜角为，
此时圆心到直线的距离，不符合，
当时，直线斜率为.，此时，
整理得.，解得，
因为，
，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：A.
已知实数满足：，若的值仅与有关，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据点到直线距离公式模型，根据直线与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】，
显然直线与动直线平行或重合，
可以验证：直线在圆的下方，若的值仅与有关，
则动直线与直线必同在圆的下方，
当直线与圆相切且在圆的下方时，，
所以.
故答案为：
已知点Q（x0，1），若上存在点，使得∠OQP＝60°，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．
【详解】由题意画出图形如图：点Q（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OQP＝60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP＝60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP＝1，＝．图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是．
故答案为
题型4：直线与部分圆的相交问题
已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由题意，曲线表示圆的上半圆，直线过定点，如图，利用直线与圆的位置关系求解即可.
【详解】曲线，
，即曲线表示圆的上半圆，
直线变形可得，
该直线过定点，且斜率为，如图所示，
当直线与半圆相切时，
则有，即，
解得，由图得，舍去，
当直线过点时，，
当直线过点时，，
由图形可知，
当曲线与直线有一个公共点时，
或．
故答案为：或．
若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、过圆外一点的圆的切线方程
【分析】由题可知直线过定点，曲线表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，因为有两个交点，所以先求出当直线与圆相切时切线的斜率，再根据图像可得斜率的取值范围.
【详解】直线可化为所以直线过定点A.
曲线可变形整理为由下图所示：
设直线与圆相切时的斜率为直线过点且与圆有两个交点时的斜率为由图可知，当直线与曲线由两个不同交点时，斜率满足
由圆心到直线的距离为解得
所以
故答案为：.
若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由题可知曲线，表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，作出直线与半圆，利用数形结合即得．
【详解】方程是恒过定点，斜率为的直线，
曲线，即，
表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，半圆弧端点，
在同一坐标系内作出直线与半圆（），如图，
当直线与半圆C相切时，得，且，
解得，又，
所以或，所以或．
即实数的取值范围是.
故选：B.
若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】结合题设易得直线为恒过点的直线，曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），进而结合图象求解即可.
【详解】由，得，
则曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），如图，
直线为恒过点的直线，
结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时；
当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时，
综上所述，所以实数的取值范围是.
故选：D.
若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】斜率公式的应用、直线过定点问题、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】曲线的方程可化为，表示以为圆心，1为半径的上半圆，曲线表示两条直线与，而直线与有两个交点，则直线与半圆有2个除外的交点，利用数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解.
【详解】由得，
则曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆，
曲线表示两条直线与，
显然直线过圆心，则其与有两个交点，
∴直线与半圆有2个除外的交点，
由得，
则直线过定点，，
当直线与半圆相切时，
圆心到直线的距离，即，
解得或（舍），
所以时，直线与半圆有2个除外的交点，
此时曲线与曲线有四个不同的交点.
故选：C.
题型5：圆的切线长
从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长
【分析】根据相切的垂直关系和两点间距离公式结合勾股定理即可求解.
【详解】的圆心为，
设切点为A，半径，如图所示，
由切线性质知，，
则切线长．
故选: C．
已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】切线长
【分析】将切线长问题，转化为圆心到直线的距离问题，当圆心与点的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.
【详解】记圆心到直线的距离为，则．
因为，
所以当直线与垂直，即时，的值最小，
故．
故选：B.
已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．3
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】切线长
【分析】求出切线长，得出最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得.
【详解】连接，则，当最小时，最小，
又圆的圆心为，半径为，
则，故的最小值为.
故选：C.
已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时， ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】切线长
【分析】证明出，计算出的最小值，可得出的最小值，可得出四边形的面积最小值，可求得的值，进而可得出的值.
【详解】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，又因为，，
所以，，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，
当与直线垂直时，取最小值，且，
所以，，
所以，，此时，
因此，.
故答案为：.
题型6：圆的切点弦
如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程
【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标.
【详解】如图，连接，
方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆，
且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦，
则以为直径的圆的圆心为，半径为，
故以为直径的圆的方程为，
两圆方程相减得直线的方程为，
令，则，所以直线过定点．
方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦．
，，所以，
在中，，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
即，令，则，所以直线过定点．
方法三：直线的方程为，即，
令，得，所以直线过定点．
故答案为：；
过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长
【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出.
【详解】，即，故圆心为，半径为．
如图，连接，因为，所以，
故切线长．
连接，由（等面积法），
解得．
故答案为：.
已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、切线长、切点弦及其方程
【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】连接，由切圆于知，，
因为直线与平行，则，，而圆半径为，
于是，由四边形面积，得，
所以.
故选：C
过圆上的一动点作圆的两条切线，则圆内不在任何切点弦（两个切点之间的线段称为切点弦）上的点形成的区域的面积为 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长、切点弦及其方程
【分析】方法一，设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出区域面积；方法二，设点，则，“留一代一”求得切点弦方程，求出点到直线的距离，进而求出区域面积.
【详解】 方法一：如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部．
连接，由题意知，，，
则，所以，则原点到直线的距离为定值，
故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为．
方法二：如图所示，弦即为点所对应的切点弦，设点，则，弦所在直线方程为．
因为原点到直线的距离为，
故圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为．
故答案为：.
题型7：圆的弦长问题
直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦
【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解.
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
所以所求弦长为.
故选：A
已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】根据题意，圆，
即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即的距离，
又由圆心到直线的距离，
则有，解可得：.
故答案为：.
已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、圆的弦长与中点弦
【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论．
【详解】直线l方程变形为，
由得，即直线l过定点，
圆心为，半径为，
定点到圆心距离为，即定点在圆内部，
所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，
最短弦长为
故选：
已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数
【分析】求出圆心到直线距离的最大值，结合勾股定理可求得的值.
【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，
直线交轴于点，当直线与垂直时，
此时，，原点到直线的距离取最大值，即，
因为直线被圆所截得的弦长的最小值为，即，解得.
故选：C.
过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．15
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】记，由题意可知，易得，再利用基本不等式，得出其最值.
【详解】如图所示：,记,则，
，
，
当且仅当，即时，取等号.
所以四边形的面积的最大值为.
故选：D
题型8：与中点弦有关的问题
若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解.
【详解】，即，
即圆心，
由题意可知，，，则，
所以弦所在的直线的方程为，即.
故选：C
过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是 ．
【答案】以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧.
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算化简，即可得到结果.
【详解】
如图所示，设弦的中点的坐标为，连接，由，
，可得，即，得．又，，
于是，即．
因此，点的轨迹是以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧.
故答案为：以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧.
已知圆C经过点，圆心C在直线上，且______．在①②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中进行求解．
①圆C与直线相切； ②圆C被直线截得的弦长为；
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知圆与圆C关于直线对称，过原点O的直线m交圆于M，N两点，求弦中点Q的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）若选①，设圆心，由点到直线距离公式求出圆的半径，再由，运算解得，得解；若选②，设圆心，求出圆心到直线的距离，再结合弦长，弦心距和半径的关系列方程求出，得解；
（2）先利用对称性求出圆的方程，再由点在以为直径的圆上，求出轨迹方程.
【详解】（1）若选①，设圆心，则圆的半径，
圆心到直线的距离为，
，解得，
所以圆心的坐标为，
所以圆心的标准方程为.
若选②，设圆心，则圆心到直线的距离为，
又圆被直线截得的弦长为，
，
又圆经过点，则，
解得，所以圆心的坐标为，
所以圆心的标准方程为.
（2）设圆心关于直线对称的点，
则，解得，
的坐标为，此时圆的方程为，
因为过原点的直线交圆于两点，弦的中点为，
所以，即点在以为直径的圆上，
又的中点坐标为，，
所以点的轨迹方程为，即.
题型9：与圆有关的最值问题
已知，是实数，且．
(1)求的最值；
(2)求的取值范围；
(3)求的最值．
【答案】(1)21
(2)
(3)最小值为，最大值为
【难度】0.65
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值；
（2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围；
（3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值.
【详解】（1）设，化为，
可知直线与圆有交点，圆心，半径为2，
有，解得，
可得的最小值为1，最大值为21；
（2）设，化为，
可知直线与圆有交点，
有，解得或，
故的取值范围为；
（3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离，
圆的圆心到坐标原点的距离为，
故的最小值为，最大值为．
圆上的点到直线的距离最大值为 .
【答案】4
【难度】0.94
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值.
【详解】因为，
所以圆心坐标为，半径.
所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度.
所以.
故答案为：4.
已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的一般方程与标准方程之间的互化、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，由圆的几何性质得点的轨迹是以为直径的圆，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围.
【详解】
圆的标准方程为，则圆心为，半径，
直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴，
又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，.
圆的圆心为，半径，
又，所以，
即，即的取值范围为.
故选：D.
设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点P到点距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】本题首先可根据题意得出，则点的轨迹方程为，然后用圆心到点的距离减去半径即可得出结果.
【详解】解：由圆的方程，易知圆心，半径为，
因为是圆的切线，且，
所以，，
所以，点的轨迹方程为，
点到点距离的最小值为，
故选：D.
已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】求出圆心关于的对称点的坐标，再利用两点间线段最短及圆的性质求出最小值.
【详解】圆的圆心，半径，
设关于的对称点为，则，解得，即，
，当且仅当是线段与圆的交点时取等号，
而，当且仅当点是线段与直线的交点时取等号，
所以当点是线段与直线的交点，且是线段与圆的交点时，取得最小值.
故答案为：
已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若的最小值为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】根据的最大值可得的最小值，，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆，圆心，半径.
由的最小值为可得，，
又，，
所以的最小值为：.
而圆心到直线的距离等于2，
即，，解得，又，所以．
故选：D．
(多选)已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由于，且为定点，根据隐圆第三定义知点在以为直径的圆上．由此方法一，可建立坐标系，结合圆与圆的位置关系求解；方法二，可利用向量的数量积求解；方法三，设原点为，判断原点为斜边的中点，结合圆的几何性质即可求解.
【详解】方法一：设原点为，则以为直径的圆的方程为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，
当时，点既在圆上又在圆上，所以两圆要有公共点，
所以，即，
即，解得，又，所以，
所以的取值可以为12，13，14．
方法二：
圆的圆心为，半径为．
设点，则，，
已知，则，即，所以，
其几何意义是圆上的点到原点的距离．而，
则，所以的取值可以为12，13，14．
方法三：设原点为，因为，且原点为斜边的中点，
连接，则，
当点在上移动时， ，即，
三点共线时取等号,
所以的取值可以为12，13，14．
故选：ABC
题型10：“设而不求”解决直线与圆相交问题
已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程；
(2)直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率；
(3)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
【分析】（1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于2，确定圆心坐标，即可得圆的方程.
（2）根据题意得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式列方程，即可求解.
（3）当直线的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，韦达定理，结合，即可求出点的坐标；当轴时，利用y轴平分求得点N的坐标满足的条件，即可得定点坐标.
【详解】（1）设圆心，则，
解得或（舍），故圆的方程为．
（2）由题意可知圆心到直线的距离为，
则有，解得.
（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
若y轴平分，则，即，即，
即，即，即，
当时，上式恒成立，即；
当直线的斜率不存在时，易知满足题意；
综上，当点的坐标为时，y轴平分
在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点．
(1)若直线l的斜率为1，求；
(2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，且定值为
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题
【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可；
（2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可.
【详解】（1）依题意，得直线，即，
则圆心到直线l的距离，所以．
（2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，，
联立，得，
则，，
所以
，
所以是定值，且定值为．
过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．
(1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)或
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、过圆外一点的圆的切线方程、直线与圆中的定点定值问题
【分析】（1）利用分类讨论思想，分切线斜率不存在与斜率存在两种情况，结合切线的性质，建立方程组，可得答案；
（2）法一：根据垂径定理，结合圆的性质，可得答案，法二：设出动点的坐标，利用两点求得斜率以及直线垂直的斜率公式，建立方程，可得答案；
（3）利用分类讨论思想，分直线斜率存在与不存在两种情况，联立方程，利用韦达定理，整理化简，可得答案.
【详解】（1）
当直线的斜率不存在时，直线与圆相离，不符合题意．
当直线的斜率存在时，可设直线，即．
因为直线与圆相切，圆的圆心，半径，
所以，即，解得或．
所以直线的方程为，或．
（2）
法一：因为点A，B为过原点O的直线与圆的交点，且点弦AB的中点，
所以，则点的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为，半径为，
所以点的轨迹方程为．
法二：
设点．当点不与点，点重合时，由圆的性质可知，，
所以，所以，即．
当点M与点O或点C重合时，和均满足方程．
综上所述，点的轨迹方程为．
（3）
i）当直线的斜率不存在时，其方程为，
此时点A，B的坐标为，．
所以．
ii）当直线的斜率存在时，可设其方程为．
设，，
由联立，得．
由，得，，
所以
．
综上所述，为定值．
法二：
所以．
所以．
综上所述，为定值．
已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的一般方程；
(2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)13
【难度】0.65
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题
【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解；
（2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式
即可得解.
【详解】（1）由可得，
当时，解得，
故直线恒过定点，
所以圆心到切线的距离，
即圆的半径为2,
所以圆的方程为：，
故圆的一般方程为
（2）点到圆心的距离，故点在圆外，
如图，
过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为，
代入圆的方程可得，
当时，
设，，
则，
所以
.
即为定值13.
已知圆：，过点的直线交圆于，两点．
(1)若，求此时直线的方程；
(2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、相交圆的公共弦方程
【分析】（1）当直线的斜率不存在时直接根据交点纵坐标分析，当直线的斜率存在时，将已知条件转化为坐标关系并结合韦达定理求解出结果；
（2）先根据相交圆的公共弦所在直线的方程的求法求解出的方程关于坐标的表示，然后根据在直线上得到的坐标关系，由此可完成证明.
【详解】（1）设，，
当直线的斜率不存在时，：，
联立，解得，，则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设：，
由，得，则，
联立，可得，
则，解得，
所以，解得，
故直线的方程为或．
（2）设，圆为，圆心为，
则以线段为直径的圆的方程为，
化简可得，
上述方程与圆的方程相减得，
因为直线过点，则，所以，
所以点在直线上．
已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
【分析】（1）先求出中垂线方程，与联立，求出圆心点坐标，再求出圆的半径，即可得出答案.
（2）法一：设中点坐标为，则可知点在为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，由，即可求出的最大值；法二：讨论直线的斜率存不存在，联立直线与圆的方程，设，由韦达定理求出，由此表示出，再由换元法和基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）中点坐标为，，
故中垂线为，即，
与联立，解得圆心点坐标为，
圆的半径，故圆
（2）法一：设中点坐标为，，故点在为直径的圆上，
设中点，，，则
，所以，
以为直径的圆的方程：，
故，
当且仅当三点共线时取等号，故.
法二：①当直线的斜率不存在时，中点坐标，
；
②当直线的斜率存在时，设直线：代入整理得：
，
设，则，，
，
，
因为求的最大值，可令，代入上式可得：
，
当且仅当，即时取等号.
易求，故.
