3.2.1基本不等式的证明 学案（无答案）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

3.2.1 基本不等式的证明
【学习目标】
1.了解基本不等式的证明过程；
2.能利用基本不等式证明简单的不等式；
3.会利用基本不等式求简单的函数的最值．
【活动过程】
活动一：复习引入，感受数学
问题　天平称物体：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量．不过，我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b，那么如何合理地表示物体的质量呢？有人说取平均数，即表示物体质量．这样做合理吗？
活动二：小组合作，建构数学
思考1：两个正数a，b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？
思考2：当a＞0，b＞0时，你能作出长度为和的两条线段吗？如果能，比较这两条线段的长．
思考3：你能得出不等式≤的几何解释吗？
思考4：你能证明两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当两个正数相等时，两者相等吗？
思考5：当a，b∈R时，由(a－b)2≥0可得哪些常用不等式？
活动三：学习展示，运用数学
例1　(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2
(2)不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　)
A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2
跟踪训练1　下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x>1，则x＋≥2＝2；②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
例2　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
延伸探究　例2的条件不变，求证：＋＋≥9.
跟踪训练2　已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
跟踪训练3 已知a，b为正数，比较，，，的大小．
例3　(1)若x>0，求＋4x的最小值；
(2)若x<1，求＋x的最大值．
跟踪训练4　(1)当x>1时，求2x＋的最小值；
(2)求函数f(x)＝的最小值．
活动四：课堂小结
活动五：课后作业
1．已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是(　　)
A.＋≤ B.＋>1 C.≤2 D.≥1
2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
3．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　)
A．－ B．－1 C．2 D．0
4．若0A．a>>>b B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>>
5．下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．x2＋≥2 D.≥
6. 《几何原本》第二卷中的几何代数法(几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB. 设AC＝a，BC＝b(a>0，b>0)，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥ B．a2＋b2≥ 2ab C.≤ D.≤
7．(多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
8．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　　)
A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
9．(多选)设y＝x＋－2，则(　　)
A．当x>0时，y有最小值0 B．当x>0时，y有最大值0
C．当x<0时，y有最大值－4 D．当x<0时，y有最小值－4
10．函数y＝4x＋(x>－1)的最小值是________．
11．已知x<0，则x＋的最大值是________．
12．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝________.
13. 已知实数a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值是
14．设a，b为正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.
15．设x>－1，求的最小值．