3.3.1从函数观点看一元二次方程 学案（无答案）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

3.3.1 从函数观点看一元二次方程
【学习目标】1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程．
【活动过程】
活动一：复习引入，感受数学
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系．例如，可以借助函数y＝2x－3的图象来求解2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0.反过来，也可以通过求解2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0，来深入理解函数y＝2x－3的性质．
活动二：小组合作，建构数学
思考1：怎样从函数观点进一步解决一元二次方程x2－2x－3＝0根的问题？
思考2：你能归纳二次函数零点的概念吗？
思考3：二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点是点吗？为什么？
思考4：二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有零点可等价于哪些说法？
思考5：函数y＝x2有零点吗？
探究　当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系是怎样的？
一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
思考6：当a＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系又是怎样的？
活动三：学习展示，运用数学
例1　求下列函数的零点：
(1)y＝3x2－x－4；
(2)y＝－4x2＋4x－1.
跟踪训练1　若x1，x2是函数y＝2x2－4x＋1的两个零点，则＋的值为(　　)
A．6 B．4 C．3 D.
例2　若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为________．
延伸探究　函数y＝x2＋mx＋4m2－3的两个零点分别为x1，x2且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值为________．
跟踪训练2　若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C.
(1)若α2＋β2＝51，求p的值；
(2)若△ABC的面积为105，求p的值．
例3　函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，5) C. D.
跟踪训练3　已知方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1]
活动四：课堂小结
活动五：课后作业
1．函数y＝x2－8x＋16的零点是(　　)
A．(0,4) B．(4,0) C．4 D．8
2．函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．若函数y＝x2－4x＋2m没有零点，则m的取值范围为(　　)
A．m<4 B．m>2 C．m>6 D．m<8
4．已知方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0有两个正根，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2 B．m≤－4 C．m>－5 D．－5＜m≤－4
5．若函数y＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则y＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－ C.和 D．－和－
6．函数y＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1) B. C. D．(－∞，－3)∪
7．若x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的零点，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　　)
A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
8．已知y＝(x－a)(x－b)－2(aA．a<α9．(多选)若函数y1＝ax＋b只有一个零点2，那么函数y2＝bx2－ax的零点是(　　)
A．－ B．0 C. D．1
10．(多选)关于函数y＝mx2－4x－m＋5的零点，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，该函数只有一个零点
B．当m＝1时，该函数只有一个零点
C．当m＝－1时，该函数没有零点
D．当m＝2时，该函数有两个零点
11．函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝________.
12．函数y＝x2－5x－6在区间[1,4]上的零点个数为________．
13．函数y＝(1－k)x2－2x－1有两个零点，则实数k的取值范围是________．
14．已知函数y＝x2－x－2.求：
(1)y＝x2－x－2的零点；
(2)y<0时x的取值范围．
15．已知二次函数y＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)在区间(－1，1)内存在零点，求a的取值范围．
16．已知函数y＝x2＋ax＋1.若不等式y≥0对一切x∈(0,1]恒成立．
(1)求实数a的最小值；
(2)若函数y＝x2＋ax＋1的一个零点比1大，另一个零点比1小，求实数a的取值范围．