5.3函数的单调性学案（无答案）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

5.3.1 函数的单调性
【学习目标】　1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
【活动过程】
活动一 复习引入 感受数学
问题1　观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
问题2　如何理解函数图象是上升的？
问题3　“函数y＝f(x)在I上为增函数”与“函数y＝f(x)的增区间为I”含义相同吗？
活动二 小组合作 建构数学
增函数与减函数的定义
前提条件 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A
条件 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1都有f(x1) f(x2)
图示
结论 y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在I上单调递增)，I称为y＝f(x)的增区间 y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在I上单调递减)，I称为y＝f(x)的减区间
注意点：
(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
(2)单调性应注意“三特性”：①同区间性，即x1，x2∈I；②任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替；③有序性，即要规定x1，x2的大小．
(3)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一．
(4)如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
(5)单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
活动三 学习展示 运用数学
例1　已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．
跟踪训练1　证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
例2　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
跟踪训练2　借助函数图象，求函数f(x)＝|x2－1|＋x的增区间．
例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为______．
延伸探究
1．在本例(1)中，若函数f(x)的增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
2．若本例(2)中函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
跟踪训练3　(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有(　　)
A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1) C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)活动四 课堂小结
活动五 课后作业
1．函数y＝x2－2|x|＋1的增区间是(　　)
A．(－1,0) B．(－1,0)和(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)和(0,1)
2．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的增区间分别是(　　)
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
3．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
4．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
5．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．是增函数 B．是减函数 C．先增后减 D．先减后增
6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
7．已知函数f(x)＝在(0，a－3)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3,4] B．[3,5] C．(3,4] D．(3,5]
8．(多选)下列函数中，在区间(0,2)上为减函数的是(　　)
A．y＝5－x B．y＝x2＋2 C．y＝ D．y＝－|x|
9．(多选)下列说法中，正确的有(　　)
A．若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数f(x)＝在定义域上是减函数
D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
10．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)11．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是________．
12．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
14．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝－f(x)；②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且>0.则f(－1)，f ，f(2)的大小顺序是______．(用“<”连接)
15．已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
17．已知函数f(x)＝x2－2x＋b.
(1)若b＝1，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，求实数b的取值范围．