北京市2025-2026学年高三上学期开学练习数学试题（含部分答案）

2025-2026学年度高三第一学期开学考练习题
年级：高三 科目：数学
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3. 设a，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（ ）
A. 缩小到原来的倍（纵坐标不变） B. 扩大到原来的10倍（纵坐标不变）
C. 向左移动1个单位（纵坐标不变） D. 向右移动1个单位（纵坐标不变）
5. 已知等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
6. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：，）
A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1
8. 为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数，现有两点，，且，若A，B中点在曲线上，则可以为（ ）
A. 0 B. C. D.
10. 已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（ ）
A 0 B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 若，则_________.
12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______.
13. 已知，则_________．
14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
15. 已知函数，，给出下列四个结论：
①当且仅当时，与的图象重合；
②当且仅当时，无极大值点；
③当在区间上单调递增时，；
④当时，与的图象有且仅有一个交点.
其中正确结论的序号是_________.
三、解答题（共6题，满分85分）
16. 在中，.
（1）求；
（2）若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：设CD为AB边上的高，.
注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形BCFG为菱形，，平面平面BCFG，D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为l.
（1）证明：；
（2）在线段CG（不含端点）上是否存在一点E，使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求E的位置；若不存在，请说明理由.
18. 李华的爸爸想通过随机抽奖方式给李华发压岁钱.在一个不透明盒子中放有材质、大小相同的六个小球，其中三个小球上注标100元，两个小球上注标150元，一个小球上注标300元.李华从盒中随机摸出n个小球，摸出所有小球上所标注的金额总和为李华所获得的压岁钱（单位：元，后省略）.记随机变量X为李华在该规则下所得到的压岁钱.
（1）若，求的概率；
（2）若，求X的分布列及数学期望；
（3）若，李华爸爸给李华提供了另一种抽奖方案：不放回摸两次，如果他第一次摸出的小球金额为100元，李华爸爸在他第二次摸球前在盒中加入一个材质、大小相同的标注300元的小球；如果他第一次摸出的金额不是100元，李华爸爸在他第二次摸球前从盒中拿走一个150元的小球.记随机变量Y为李华在该规则下所得到的压岁钱总和.直接写出与的大小关系.
19. 已知直线过椭圆C的中心坐标原点O，与平行的直线与C交于两点，且.当轴时，直线AB过C的一个焦点.
（1）求C的方程；
（2）点D、E满足，交于点G，直线交于点H，求面积的最大值.
20. 已知函数定义域为，，曲线在处切线方程记为.
（1）求单调区间；
（2）若，证明：除切点外曲线直线上方；
（3）是否存在a使得对任意，总成立，若存在，则求a的值；若不存在，则说明理由.
21. 已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者.
（1）直接写出数列的所有“调节数列”；
（2）若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和；
（3）已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数.
2025-2026学年度高三第一学期开学考练习题
年级：高三 科目：数学
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
【11题答案】
【答案】##2.5
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】①③④
三、解答题（共6题，满分85分）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）选择条件，答案见解析.
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，或
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为；
（2）证明见解析； （3）存在，.
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）所有符合条件的数列共有个