人教A版高三数学《集合与常用逻辑用语》单元测试卷
一、单项选择题
1. （考点1：集合的基本关系） 已知集合 ，，则 与 的关系是（ ）
A. B. C. D.
2. （考点2：集合的基本运算） 设全集 ，集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
3. （考点3：充分必要条件） “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. （考点4：量词与命题否定） 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
5. （考点1：集合的包含关系） 已知集合 ，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. （考点2：集合的并集运算） 设集合 ，，则 （ ）
A. {1,2,3,4,6}
B. {0,2,4,6}
C. {1,2,3,4,5,6}
D. {0,1,2,3,4,6}
7. （考点3：充要条件） “ 是等边三角形”是“ 是等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. （考点2：补集与交集） 设全集 ，集合 ，，则 （ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9. （考点1：集合的关系与运算） 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 任何集合都有子集（包括空集和自身）
D. 空集是任何非空集合的真子集
10. （考点3：充分必要条件的判断） 下列命题中，哪些是真命题？（ ）
A. “”是“”的充分条件
B. “”是“”的充分条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的必要条件
11. （考点2+考点4：综合运算与命题否定） 已知集合 ，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 的值为 或
B. 集合 的子集个数为 4
C. 命题“”的否定是“”
D. 若 ，则 可能为空集
三、填空题
12. （考点1：集合的表示） 已知集合 ，用列举法表示 ________。
13. （考点2：集合的补集） 设全集 ，集合 ，则 ________。
14. （考点3：必要条件） “”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）。
四、解答题
15. （考点1+考点2：集合的关系与运算）
已知集合 ，，且 ，求实数 的取值范围。
16. （考点3+考点4：充分必要条件与命题否定）
已知 ，（）。
(1) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 (2) 写出命题 的形式，并判断其真假（当 时）。
17. （考点综合：集合与逻辑综合应用）
已知集合 ，（）。
(1) 当 时，求 ；
(2) 若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。
18. （考点综合：集合运算与逻辑命题）
已知全集 ，集合 ，集合 。
(1) 求 和 ；
(2) 若命题 ，命题 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。
19. （考点综合：充分必要条件与不等式应用）
已知 均为正实数，且满足 。
(1) 求证：；
(2) 若 ，求 的最大值。人教A版高三数学《集合与常用逻辑用语》单元测试卷
一、单项选择题
1. （考点1：集合的基本关系） 已知集合 ，，则 与 的关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析： 解方程 得 ，所以 或 ，即 。因此 。
2. （考点2：集合的基本运算） 设全集 ，集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析： ，则 。
3. （考点3：充分必要条件） “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析： 若 ，则 （充分性成立）；但 时， 可能为 （如 ），此时 不成立（必要性不成立）。因此是充分不必要条件。
4. （考点4：量词与命题否定） 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析： 全称命题的否定为特称命题，将“”改为“”，结论否定（ 的否定是 ），故否定为 。
5. （考点1：集合的包含关系） 已知集合 ，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析： ，，则 ，即 。其他选项：（A错）， 正确但非最佳选项（B非最直接），（C错）。
6. （考点2：集合的并集运算） 设集合 ，，则 （ ）
A. {1,2,3,4,6}
B. {0,2,4,6}
C. {1,2,3,4,5,6}
D. {0,1,2,3,4,6}
答案：A
解析：A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，故并集为{1,2,3,4,6}。
7. （考点3：充要条件） “ 是等边三角形”是“ 是等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析： 等边三角形一定是等腰三角形（三边相等 至少两边相等，充分性成立）；但等腰三角形不一定是等边三角形（如两边相等但第三边不等，必要性不成立）。因此是充分不必要条件。
8. （考点2：补集与交集） 设全集 ，集合 ，，则 （ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析： ，，则 。
二、多项选择题
9. （考点1：集合的关系与运算） 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 任何集合都有子集（包括空集和自身）
D. 空集是任何非空集合的真子集
答案：ABCD
解析：
- A： 等价于 中所有元素都在 中，即 （正确）。
- B： 等价于 中元素都在 中，即 （正确）。
- C：任何集合至少有两个子集（空集和自身，非空集合更多）（正确）。
- D：空集不含任何元素，非空集合至少含一个元素，因此空集是其真子集（正确）。
10. （考点3：充分必要条件的判断） 下列命题中，哪些是真命题？（ ）
A. “”是“”的充分条件
B. “”是“”的充分条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的必要条件
答案：BCD
解析：
- A：反例 , ， 但 ，不是充分条件（假）。
- B： 时 成立，是充分条件（真）。
- C： 时 必然成立，是充分条件（真）。
- D：若 ，则 必然成立（即 ），因此 是 的必要条件（真）。
11. （考点2+考点4：综合运算与命题否定） 已知集合 ，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 的值为 或
B. 集合 的子集个数为 4
C. 命题“”的否定是“”
D. 若 ，则 可能为空集
答案：ABCD
解析：
- A：。若 ，则 可能为空集（ 时方程 无解），或 （），或 （）（正确）。
- B： 有 2 个元素，子集个数为 （正确）。
- C：存在性命题的否定为全称命题，结论否定（正确）。
- D： 等价于 ，当 时显然成立（正确）。
三、填空题
12. （考点1：集合的表示） 已知集合 ，用列举法表示 ________。
答案：
解析： 自然数 通常含 0，满足 的自然数为 0, 1, 2。
13. （考点2：集合的补集） 设全集 ，集合 ，则 ________。
答案：
解析： 补集为全集中不属于 的元素，即 1 和 5。
14. （考点3：必要条件） “”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）。
答案：必要不充分
解析： 若 ，则必有 （必要性成立）；但 时不一定 （如 ，充分性不成立）。
四、解答题
15. （考点1+考点2：集合的关系与运算）
已知集合 ，，且 ，求实数 的取值范围。
解答：
首先解集合 ：方程 的解为 ，即 或 ，所以 。
集合 的方程为 ，可因式分解为 ，解得 或 ，因此 （若 ）或 （若 即 ）。
因为 ，所以 的元素必须属于 ，即 或 为空集（但 至少有解 ，不可能为空）。
具体讨论：
1. 当 （即 ）时，，符合条件。
2. 当 （即 ）时，，符合条件。
3. 其他情况（如 ）时， 包含不在 中的元素，不符合条件。
综上， 的取值为 2 或 3。
16. （考点3+考点4：充分必要条件与命题否定）
已知 ，（）。
(1) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 (2) 写出命题 的形式，并判断其真假（当 时）。
解答：
(1)
答案：
解析：因 是 的充分不必要条件，即 ，需满足 且 ，且 。
（2）
命题 ：，其否定 为：，即 或 。
当 时，：，： 或 。其真假取决于 的取值（例如 时 为真， 时 为假）。
17. （考点综合：集合与逻辑综合应用）
已知集合 ，（）。
(1) 当 时，求 ；
(2) 若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。
解答：
(1) 当 时：
- 集合 ：解不等式 ，因式分解为 ，解得 。
- 集合 ：解不等式 ，解得 。
因此 （因为 ）。
(2）
集合 ： 的解集为 。
集合 ：，解得 （因为二次函数开口向上，根为 和 ）。
条件“ 是 的必要不充分条件”等价于 且 （即 ，但存在 但 ）。
因此需要 ，即：
即。
18. （考点综合：集合运算与逻辑命题）
已知全集 ，集合 ，集合 。
(1) 求 和 ；
(2) 若命题 ，命题 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。
解答：
(1)
- 解集合 ：方程 的根为 和 ，因此 。
- 解集合 ：不等式 等价于 ，即 。
- 。
- ，则 。
(2)
- 命题 是 的充分不必要条件，即 ，等价于 。
- ，，显然 ，因此 时 恒成立。
- 故实数 的取值范围为 。
19. （考点综合：充分必要条件与不等式应用）
已知 均为正实数，且满足 。
(1) 求证：；
(2) 若 ，求 的最大值。
解答：
(1)
利用柯西不等式：
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号。
(2)
由柯西不等式：
代入 ，得：
当且仅当 时取等号，故最大值为 。
