2026届上学期质检一
高三数学
一、单选题
1,设集合A={2<4}B={-1.0.2},则UB=()
A.{x-2D.{-2.0.2}
2.若虚部大于0的复数=满足方程：+4=0，则红数千：的共舰复数为
A号
c.
D.-42
55
3,如图，在平行四边形ABCD中，DE=EC,F为BC的中点，G为EF上的一点，且
2
G=}+mD,则实数m的值为《)
D E
G
A.
3
B.11
16
c.
D.
B
4.在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若A=I05°，B=45°，b=2,则△ABC
的面积为()
A.6+v2
B.6+V2
C.3+1
D.5+1
2
2
5.已知双曲线苦若=(a>06>0的左、右焦点分别为5,5，抛物线y45x的准线)
经过R,且1与双曲线的一条渐近线交于点A,若∠FA=子，则双曲线的方程为《)
A.-上=1B.-=1C.
164
416
4少=1D.2-=1
4
6.函数/(y)=an(@x+0>0<的图象如图所示.图中阴影部分的面积为6x,则o=
AB
c.
D骨
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当X、x2∈(0，+∞)且x,≠x2时，都有
质检-(G)数学共4页第1页
/儿-/)，0成立，f2025)=2025,则不等式/)->0的解集为《）
xx2（x-x2)
A.(-0,-2025V(2025,+0）
B.（-2025,0U(2025,+o)
11
C.(-2025,2025)
D
2025‘2025】
8.在四棱锥P、ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，M为底面
上的动点，且M到PA与BC的距离相等.
若1BM1=2V7
则AM=()
A.
4
3
B.2
C.3
D.
二、多选题
9.下列说法中正确的是(）
A.对于独立性检验，X的值越大，说明两事件的相关程度越大
B.以模型y=e去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设：=ly,将其变换后得到
线性方程：=0.3x+4,则c,k的值分别是e和0.3
C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程)=à+bx中，
b=2,x=1,=3,则à=1
D,通过回归直线少=bx+à及回归系数b,可以精确反映变量的取值和变化趋势
10.已知函数∫(x=xx+ar在x=1处的切线方程为y=x+b,则下列说法正确的有()
A.a+b=1
B.f()在区间e
上的最大值和最小值之和为e-。
C.
为∫()的极小值点
e
D.方程f(x)=e有两个不同的根(e为自然对数的底)
11,已知点A,B为圆0：x+y2=26上两动点，且AB=4V6,点P为直线1：x+y+10=0
上动点，则()
A.以AB为直径的圆与直线I相离
B.∠AB的绿大值为写
C.PA.PB的最小值为8
D.PA+P的最小值为112
三、填空题
质检·(G)
数学共4页第2页高三质检一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D D D B C ABC BC
题号 11
答案 ACD
1．B x2【详解】由 4 x 2 x 2 0解得 2 x 2，
因为 A x x2 4 x 2 x 2 ，B 1,0,2 ，
所以 A B x 2 x 2 .
故选：B
z 2i 2i 4 4 2
2．B【详解】由题可知： z 2i，故 ，所以共轭复数为 i故选 B
1 z 1 2i 5 5 5
1
3．B【详解】 DE EC ，F 为BC 的中点，
2
1 1 1
DE DC AB ，BF
1
BC AD ，
3 3 2 2
E、G、F 三点共线，
设 AG AE 1 AF (AD DE) 1 (AB BF )
1 1 3 2 1 AD AB 1 AB AD AB AD ，
3 2 3 2
3
又 AG AB mAD，
4
3 2 3
3
3 4 8 1 ，解得 m 11
.
m
2 16
故选：B.
4．D【详解】在VABC 中，C 30
c 2
，由正弦定理得 ，解得 ，
sin 30 sin 45 c 2
sin A sin(45 60 2 1 2 3 6 2 ) ，
2 2 2 2 4
VABC 1 1 6 2 3 1所以 的面积为 S ABC bc sin A 2 2 .2 2 4 2
故选：D
5．D【详解】抛物线 y2 4 5x 的准线方程为 x 5 ，则 c 5 ，则F1 5,0 、
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
F2 5,0 ，
y b x x c a A
bc
不妨设点A 为第二象限内的点，联立 ，可得 y bc
，即点 c, ，
x c
a
a
因为 AF1 F1F2 且 F1F2 A ，则△F1F2 A为等腰直角三角形，4
AF F F bc且 1 1 2 ，即 2c
b
，可得 2，
a a
b
2a a 1
2
所以， c 5 ，解得 b 2 ，因此，双曲线的标准方程为 x2
y
1.
c2 a
2 b2 4 c 5
故选：D.
6．D【详解】设 f x 的最小正周期为T ，则T 2 1 3T 6π,T 2π ，
π 1 1
所以 2π, ，所以 f x tan
2
x
2
，
f π tan π 1, π π 5π π 7π由图可知 , ，
6 12 2 2 12 12 12
π
所以
π , π ．
12 4 3
故选：D.
f x f
7 B g x x 0 g x x f x ． 【详解】构造函数 ，其中 ，则 g x ，
x x x
故函数 g x 为偶函数，
x f x x f x
当x1、 x2 0, 且 x x
2 1 1 2
1 2 时，都有 0x x x 成立，1 2 1 x2
x f x x f x f x f x
不妨设 x x 2
1 1 2 1 2
1 2，则 0，即 g x g x ，x1x x x 1 22 1 2
故函数 g x 在 0, 上为增函数，即该函数在 ,0 上为减函数，
f 2025 2025 f 2025因为 ，则 g 2025 g 2025 1，
2025
f x x 0 f x 当 x 0时，由 得 1，即 g x g 2025 ，解得 x 2025；
x
f
x 0 x 当 时，由 f x x 0得 1，即 g x g 2025 ，解得 2025 x 0 .
x
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
综上所述，不等式 f x x 0的解集为 2025,0 2025, .
故选：B.
8．C【详解】由于PA 平面 ABCD，则M 到直线PA的距离即为MA的长度，
在平面 ABCD中，M 到直线BC 的距离与MA的距离相等，以 AB 为 x 轴，以 AB 的垂直平分
线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则M 的轨迹方程为 y2 4x，设M x0 , y0 ，B 1,0 , A 1,0 ,
1
x 1 2 2 2 7
x0 y 3
则 0 0 3 ，解得 ，
y
2
0 4x
2 3
0
y0 3
则 AM x 1 2 y2 4 0 0 ，3
故选：C
9．ABC【详解】对于A ，根据独立性检验的性质知， X 2 的值越大，说明两个事件的相关
程度越大，故 A 正确；
对于 B ，由 y cekx ，两边取自然对数，可得 ln y ln c kx ，
ln c 4, c e4 ,
z ln y ，则 z kx ln c ，因为 z 0.3x 4，所以
k 0.3,
则 故 B 正确；
k 0.3,
对于C ，由于回归直线过点 (x , y),a y b x 3 2 1 1，故 C 正确；
对于D，通过回归直线 y b x a 及回归系数 b ，可预测变量的取值和变化趋势，故 D 错误.
故选：ABC.
10．BC【详解】对于选项A：由题意可知：函数 f x 的定义域为 0, ，且 f x lnx 1 a ，
f 1 a 1 b a 0
则
f 1 1 a 1
，解得
b
，
1
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
所以 a b 1，故 A 错误；
对于选项 C：因为 f x xlnx ， f x lnx 1，
令 f x 0，解得0 x 1 ；令 f x 0，解得 x 1 ；
e e
f x 0, 1 1 可知 在区间 上单调递减，在区间 , 上单调递增，
e e
1
则 为 f x 的极小值点，故 C 正确；
e
x 1 ,e f x 1 , 1 1 对于选项 B：若 ，则 在区间 上单调递减，在区间 , e 上单调递增， 4 4 e e
f x f 1 1 f 1 1可知 的最小值 ，且 ln
1 0, f e e f 1 ，即 f x 的最大值
e e 4 4 4 4
f e e，
所以 f x 1 1在区间 , e 上的最大值和最小值之和为 e ，故 B 正确； 4 e
f x xlnx e lnx e对于选项 D：令 ，整理可得 0，
x
e
令 g x lnx , x 0，
x
e
因为函数 y lnx与 y 在区间 0, 内单调递增，
x
则 g x 在区间 0, 内单调递增，且 g e 0，
所以 g x 有且仅有一个零点 e，即方程 f x e有一个解 e，故 D 错误.
故选：BC．
11．ACD【详解】对于 A，设 AB 的中点为C ，连接OC, AO，则
OC AB, AC 1 BC AB 2 6 ，
2
所以 OC AO 2 AC 2 26 24 2 ，
所以点C 在以O为圆心， 2 为半径的圆上，
10
所以点C 到直线 l的距离的最小值为 2 4 2 ，
2
因为 4 2 2 6 ，所以以 AB 为直径的圆与直线 l相离，所以 A 正确，
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
对于 B，如图，当直线 AB 与直线 l平行，且O,C, P共线时，则 ABP为等腰三角形，
此时 CP 4 2, BC 2 6, APB 2 CPB ，
BC
tan CPB 2 6 3 3则 ，
CP 4 2 2 3
π
所以 CPB ，所以 APB
π
，所以 B 错误，
6 3
对于 C，因为 PA PO OA, PB PO OB ,
所以 PA PB (PO OA) (PO OB)
2
PO PO (OA OB) OA OB
2
PO 2PO OC OA OB cos AOB
2
PO 2PO OC OA OB (2cos2 AOC 1) ,
因为 OP
10
5 2
min ，2
2
所以PO 2PO OC OA OB (2cos2 AOC 1)
2
(5 2)2 2 5 2 2 cos π 26 [2 2 1]
26
50 20 26 11
8，当OP l ，O,C, P共线，且C 在O, P 之间时取等号，
13
所以PA PB 的最小值为 8，所以 C 正确，
对于 D，因为 PA PO OA, PB PO OB，
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
2 2 2 2 2 2
所以PA PO OA 2PO OA, PB PO OB 2PO OB ，
2 2 2 2 2
所以PA PB 2PO OA OB 2PO (OA OB)
2 2 2
2PO OA OB 4PO OC
2
2PO 4PO OC 52
2 (5 2)2 4 5 2 2 cos π 52
2 50 50 52 112，当OP l ，O,C, P共线，且C 在O, P 之间时取等号，
2
所以 PA PB 2的最小值为 112，所以 D 正确，
故选：ACD
12． 80【详解】因为 a3 为 (1 2x)5 (2 x)6 展开式中 x3的系数，
(1 2x)5 x3 C3展开式中 的系数为 5 2
3
，
(2 x)6展开式中 x3的系数 1 3 C36 23 ，
所以 a3 C
3
5 2
3 C36 2
3 80．
故答案为： 80 .
13． 4【详解】设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
若直线 AB 的斜率存在，则 x1 x2 ，
x x y y点 P 是线段 AB 的中点， 1 2 2, 1 2 12 2 ，
∴ x1 x2 4, y1 y2 2，
y2
1
8x1
2 ，两式作差可得 y1 y2 y1 y2 8 x1 x ，
y2 8x
2
2
y1 y2 8 k y 1 y2即 x1 x
，又 AB ，
2 y1 y2 x1 x2
kAB 4，
直线 AB 的方程是 y 1 4 x 2 ，即 4x y 7 0，
4x y 7 0
联立 22 ，可得 y 2y 14 0，
y 8x
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
方程 y2 2y 14 0的判别式 4 56 0 ，
所以方程 y2 2y 14 0有两个根，故方程组有两组解，满足条件，
若直线 AB 的斜率不存在，则直线方程为 x 2，此时线段 AB 的中点为 2,0 矛盾，
故答案为： 4 .
8
14 2． 0, 2 【详解】由 f x 2x 3可得 f x 4x， e
x
由 g x ae 3可得 g x aex ，
设公切线与 f x 2x2 3 2的图象相切于点 x1, 2x1 3 ，
与 g x aex 3 x的图象相切于点 x ,ae 22 3 ，
aex2 3 2x 2 3 x2 2 2x x 2
所以 4x aex 1 ae 2x 2 1 ，即 2x 1 11 x x x 1
，
2 1 2 x x2 x1 1
可得 x1 0 或2x2 x1 2 ，
x
因为 4x1 ae 2 ， a 0，则 x1 > 0， 2x2 x1 2 2 ，即 x2 1，
a 4x 1
4 2x2 2 8 x 2 1 ， x 1x ，e 2 ex ex 22 2
8 x 1 8ex 8ex
h x , x 1 x 1 16 8x令 x ，可得 h x ，e e2x ex
由 h x 0可得1 x 2；由 h x 0可得 x 2，
8 x 1
所以 h x 1,2 x 在 上单调递增，在 2, 上单调递减，e
8 2 1 8所以 h x h 2 ，max e2 e2
所以实数 a的取值范围是 0,
8
e2
，
8
故答案为： 0, 2 . e
15．(1)C
π
3
(2) 2
【详解】（1）在VABC 中，由bsin C 3c cos B 3a 及正弦定理得
sin B sin C 3 sin C cos B 3 sin A 3 sin B C 3 sin B cosC 3 cos B sin C ，
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
即 sin B sinC 3sin B cosC ，
因为 B 、C 0, π π，则 sin B 0，即 sin C 3 cosC ，可得 tan C 3，故C .3
a b c 2 2 4 6
2 （ ）由正弦定理可得 sin A sin B sin C π 3 ，sin
3
2
所以 ab sin Asin B c 2 4，sin C
在VABC 中，由余弦定理可得 c2 8 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 4，
所以， a2 b2 12 ，
1
因为CT 为 AB 边上的中线，所以CT CB CA ，2
2 1 2 1 2 2 CT 1所以 CB CA CB CA 2CB CA a2 b2 2abcosC4 4 4
1
a2 b2 ab4
1
12 4 4 ，故 CT 2 ，
4
因此， AB 边上的中线CT 的长为 2 .
16．(1)表格见解析，有关
5
(2)
144
【详解】（1）高三在校学生有 1000 人，其中男生 600 人，女生 400 人，各有 100 名学生有
民航招飞意向.
所以高三男生对招飞有意向的有 100 人，没有意向的有 500 人，
高三女生对招飞有意向的有 100 人，没有意向的有 300 人，
则列联表如下：
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
男生 100 500 600
女生 100 300 400
合计 200 800 1000
零假设为H0：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联，
2 1000 20000 20000 125因为 10.417 6.635，
200 800 600 400 12
所以根据小概率值 0.01的独立性检验，推断H0不成立，
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
即认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关；
3 2 1
（2）因为每名报名学生通过前 3 项流程的概率依次为 , , ，
4 3 3
3 2 1 1
所以每名报名学生通过前 3 项流程的概率为P0 ，4 3 3 6
100 1
依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为P1 ，600 6
100 1
甲地高三女生对招飞有意向的概率为P2 ，400 4
1 1 5
由全概率公式得所求概率为P P1P0 P2P0 .2 2 144
17．(1)证明过程见解析
(2) 5 33
33
【详解】（1）证明：取线段BD的中点，连接CO, AO ，
因四边形 ABCD为菱形，且 BAD 60 ，则△ABD 和△CBD均为等边三角形，
则 AO BD,CO BD ，
又 AO CO O, AO,CO 平面 AOC ，则BD 平面 AOC ，
以O为原点，OB,OA所在直线为 x, y轴，在平面 AOC 内作Oz OA，以Oz 所在直线为 z 轴，
建立空间直角坐标系，
则 A 0, 3,0 , B 1,0,0 , D 1,0,0 ，
OC 2 a2 b2 3
C 0,a,b ,b 0 a 3 ,b 2 6设 ，则 2 2 ，得 ，
AC a 3 b2 8 3 3
即C 0,
3 2 6
, ，
3 3
则BA 1, 3,0 , AD 1, 3,0 , AC 0,
4 3
, 2 6 ，
3 3
设平面 ABC 的法向量为m1 x1, y1, z1 ，平面 ACD的法向量为m2 x2 , y2 , z2 ，
BA m1 x1 3y 0 1 AD m2 x2 3y2 0
则 4 3 2 6 ， 4 3 2 6 ，
AC m1 y1 z1 0 AC m2 y z 3 3 3 2 3 2
0
令 y1 y2 1，则m1 3,1, 2 ，m2 3,1, 2 ，
则m1 m2 3 1 2 0，
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
则平面BAC 平面DAC .
1 3 6
（2）解：点 M 为棱 CD 的中点，则M , , ，则 AM
1 , 7 3 6 , ，
2 6 3
2 6 3
设平面 ABM 的法向量为 n1 x3 , y3 , z3 ，
BA n1 x3 3y3 0 5 2
则 1 ，令 y3 1，则 n1 3,1,AM n x 7 3 6 y z 0 2
，
1 2 3 6 3 3 3
又平面 ABD的法向量为 n2 0,0,1 ，
5 2
则 cos n1,n
n n 5 33
2 1 2 2 ，
n1 n 332 3 1 25
2
由图可知二面角M AB D的平面角为锐角，
M AB D 5 33所以二面角 的余弦值为 .
33
18．(1) 2e 3ln 3 3
1
(2) ．
8
(3)证明见解析
1
【详解】（1）因为 f (3) ae2 3ln 3 3 2e 3ln 3 3 2
1 1
，当且仅当 ae ，即 a 时等
a a e
号成立，
所以 f (3)的最小值是 2e 3ln 3 3．
（2） f (1) a
1
3, f (x) aex 1 3 ，所以 f (1) a 3，
a x
所以曲线 y f (x) 在 (1, f (1))
1
处的切线方程为 y a 3 (a 3)(x 1)，
a
1
当 y 0
1
时， x y a(3 ，当 x 0时， ， a) a
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
1 1 1 1
因为 0 < a < 3，所以 S△AOB 2 a a(3 a) 6a2 2a3 ．
令 g(a) 6a2 2a3，则 g (a) 12a 6a2 6a(2 a) ，
所以 g a 在 0,2 上单调递增，在 2,3 上单调递减，
所以 g(a) g(2) 8 S
1
max ，所以 AOB 的最小值为 ．8
（3）因为 1 sin2 cos2 ，所以只需证 f (x) x2 , x (0,1)，
x 1
因为 f (x) aex 1 1 3ln x 3 2e 2 3ln x 3，
a
x 1 x 1 3 1 x 1 3
令 h(x) 2e 2 3ln x 3 x2 ，则 h (x) e 2 2x,h (x) e 2 2 2，x 2 x
因为 h (x) 0,h (1) 0 ，所以h(x)在( 0, 1)上单调递减，所以 h(x) h(1) 0，
x 1
所以 22e 2 3ln x 3 x2，所以 f (x) x , x (0,1)，
0,
, f (sin ) f (cos ) sin
2 cos2 1
所以 2 ．
2
16．(1) x y2 1；
4
(2) 3 ；
2
(3)证明见解析.
a2 b2 3
【详解】（1）由题设有 a 2 ，解得 a 2,b 1，
2 1
2 2 1 a 2b
x2
所以椭圆C 的方程为 y2 1.
4
（2）设 An xn , yn ，则直线 AnBn的方程为 y k x xn yn ，与C 的方程联立，
消去 y 得 4k 2 1 x2 8k yn kxn x 4 y 2n kxn 4 0 .
x2因为 n 4y
2
n 4
2
，所以 4k 1 x2 8k yn kx 2n x 4k 1 x2n 8kxn yn 0 .
x x 4k
2 1 x 8ky 2kx 4k 2 1 y
因为 n 是它的一根，所以 x n n n n ，Bn 4k 2
, y
1 B
n 4k 2 1
4k 2 1 x 8ky 2kx 4k 2 1 y
即 xn 1
n n , y n n .（*）
4k 2 1 n 1 4k 2 1
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
若 A1 ( - 2,0)，经过 3 次操作后停止，即为B3 2,0 .
2 4k 2 1
将 A1 ( - 2,0) 4k代入（*）式得， A2 4k 2 , ， 1 4k
2 1
因为 A1 2,0 , B3 2,0 关于原点对称， A1B1 // A3B3，所以B1与 A3关于原点对称，
因为 A2与B1关于 x 轴对称， A3与B2关于 x 轴对称，所以 A2与B2关于原点对称，
k k k 2k 3所以 A B 2 2 OA 2 4k 2
，解得 k ，
1 2
综上，当 n 3 k 3时， .
2
k 1 A 2y ,
x
1 （3）当 时，由（*）式得 2 1 ，同理 A3 x1, y1 ，所以 A3与 A1关于原点对2 2
称.
如图，由椭圆的对称性可知， A4 与 A2关于原点对称， A5与 A1重合，
所以 An 是以 4 为周期的周期点列，所以△An An 1An 2的面积S 等于△ A1A2 A3 的面积.
因为直线 A1A3的方程为 y1x x1y 0, A A 2 x
2 2
1 3 1 y1 ，
2y2 11 x
2
1 x2 4y2点 A2到直线 A1A3的距离 d 2 1 1 2 ，
x2 y2 2 x2 21 1 1 y1 x
2 2
1 y1
S 1所以 A1A3 d
1
2 x2 21 y
2
1 22 2 .x2 y21 1
{#{QQABQQAUogAAAAJAARhCQwWYCkCQkBECAQoGRAAcIAABSANABAA=}#}
