1.2 静电力 库仑定律 学案 (7)

第2讲　静电力　库仑定律
[目标定位]　1.知道点电荷的概念，了解理想化模型.2.理解库仑定律的内容及适用条件，并会应用公式进行相关计算.3.通过静电力和万有引力的对比，体会自然规律的多样性和统一性.
一、静电力与点电荷模型
1.电荷间作用力大小的影响因素：两带电体之间的相互作用力与其形状、大小、电荷量、电荷分布、二者之间的距离等因素有关.
2.点电荷：本身的大小比相互之间的距离小得多的带电体叫做点电荷.
想一想　体积很小的带电体一定可以看做点电荷吗？
答案　不一定，带电体看做点电荷的条件是带电体离得较远，它的形状、大小与电荷在其上的分布状况均无关紧要，所以体积小的带电体不一定可以看做点电荷.
二、库仑定律
1.库仑定律
(1)内容：真空中两个点电荷之间的相互作用力F的大小，跟它们的电荷量Q1、Q2的乘积成正比，跟它们的距离r的二次方成反比；方向沿着它们的连线，同种电荷相斥，异种电荷相吸.
(2)公式：F＝k，式中k＝9.0×109N·m2/C2，叫静电力常量.
(3)适用条件：①真空中；②点电荷.
2.静电力叠加原理
对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的静电力，等于其他电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和.这个结论通常叫做静电力叠加原理.
想一想　对于F＝k，当r→0时，能否说F趋向无穷大？
答案　不能；库仑定律适用于真空中的点电荷，当距离r→0时，带电体不能看作是点电荷了，此公式不能直接使用了.
三、静电力与万有引力的比较
共同点：
1.都与距离的二次方成反比；
2.都有与作用力有关的物理量(电荷量或质量)的乘积，且都与乘积成正比；
3.都有一个常量；
4.力的方向都在两个物体的连线上.
不同点：
1.万有引力与两个物体质量有关，只能是引力，适用于质点；
2.库仑定律与两个物体电荷量有关，可能是引力，也可能是斥力，适用于真空中的点电荷.
想一想　如图1所示，有人说：“两个质量分别为m1和m2的均匀金属球体，它们之间的万有引力大小为F＝G，若两球带电量分别为q1、q2，它们之间的库仑力的大小F＝k，对吗？为什么？
图1
答案　不对.质量均匀的球体可以认为其质量集中在球心，可以看成质点；但靠得较近的球体不能看成点电荷，由于电荷间的相互作用，电荷会在球上移动，带同种电荷时F＜k，带异种电荷时F＞k.
一、对点电荷的理解
1.点电荷是理想化的物理模型，只有电荷量，没有大小、形状，类似于力学中的质点，实际并不存在.
2.一个带电体能否看做点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状确定.
3.点电荷的电荷量可能较大也可能较小，但一定是元电荷的整数倍.
例1　关于点电荷，下列说法中正确的是(　　)
A.点电荷就是体积小的带电体
B.球形带电体一定可以视为点电荷
C.带电少的带电体一定可以视为点电荷
D.大小和形状对作用力的影响可忽略的带电体可以视为点电荷
答案　D
解析　点电荷不能理解为体积很小的带电体，也不能理解为电荷量很少的带电体.同一带电体，有时可以看做点电荷，有时则不能，如要研究它与离它较近的电荷间的作用力时，就不能看成点电荷，而研究它与离它很远的电荷间的作用力时，就可以看做点电荷.带电体能否看成点电荷，要依具体情况而定，A、B、C均错.
二、对库仑定律的理解和应用
1.静电力的确定
(1)大小计算：利用库仑定律计算静电力时不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1和q2的绝对值即可.
(2)方向判断：利用同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引来判断.
2.两个点电荷之间的库仑力遵守牛顿第三定律，即不论电荷量大小如何，两点电荷间的库仑力大小总是相等的.
注意　(1)库仑定律只适用于点电荷的带电体之间的相互作用.
(2)两个形状规则的均匀球体相距较远时可以看作点电荷；相距较近时不能看作点电荷，此时球体间的作用力会随着电荷的分布而变化.
例2　有三个完全一样的金属球A、B、C，A球带的电荷量为7Q，B球带的电荷量为－Q，C球不带电，将A、B两球固定，然后让C球先跟A球接触，再跟B球接触，最后移去C球，则A、B球间的作用力变为原来的多少倍？
答案　
解析　设A、B两球间的距离为r，由库仑定律知，开始时A、B两球之间的作用力为F＝k.
当A、C两球接触时，据电荷均分原理可知，两球均带电荷量为Q.
当B、C两球接触时，两球均带电荷量为×(Q－Q)
＝Q.
故现在A、B两球间的作用力F′＝k＝F.
所以＝.
借题发挥　若两个金属小球的电荷量分别为Q1、Q2，第三个完全相同的不带电的金属球与它们无限次接触后，三个金属球平分总电荷量，即Q1′＝Q2′＝Q3′＝.
三、静电力的叠加
空间中有多个电荷时，某电荷所受的静电力是其他所有电荷单独对其静电力的矢量和.遵循平行四边形定则.
例3　如图2所示，在A、B两点分别放置点电荷Q1＝＋2×10－14C和Q2＝－2×10－14C，在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2m.如果有一个电子在C点，它所受的库仑力的大小和方向如何？
图2
答案　8.0×10－21N　方向平行于AB向左
解析　电子在C点同时受A、B点电荷对其的作用力FA、FB，如图所示，由库仑定律得FA＝FB＝k＝9.0×109×N＝8.0×10－21N.由平行四边形定则和几何知识得：静止在C点的电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝8.0×10－21N，方向平行于AB向左.
借题发挥　当多个带电体同时存在时，每两个带电体间的库仑力都遵守库仑定律.某一带电体同时受到多个库仑力作用时可利用力的平行四边形定则求出其合力.这就是库仑力的叠加原理.
四、静电力作用下的平衡问题
1.静电力可以与其他的力平衡，可以使物体发生形变，也可以产生加速度.分析问题的思路与方法完全是力学问题的思路与方法.
2.静电力作用下的共点力的平衡
分析静电力平衡的基本方法：(1)明确研究对象；(2)画出研究对象的受力分析图；(3)根据平衡条件列方程；(4)代入数据计算或讨论.
例4　如图3所示，把质量为3g的带电小球B用绝缘细绳悬起，若将电荷量为Q＝－4.0×10－6C的带电球A靠近B，当两个带电小球在同一高度相距r＝20cm时，绳与竖直方向成α＝30°角，A、B两球均静止.求B球的电荷量q(g取10m/s2).
图3
答案　－×10－7C
解析　对球B受力分析，如图.
根据共点力平衡条件，结合几何关系得到：
Tsin30°＝F
Tcos30°＝mg
解得：F＝mgtan30°
根据库仑定律，有：F＝k
解得：q＝×10－7C
即B球的电荷量是q＝×10－7C，由于AB是排斥作用，故B带负电.
对点电荷的理解
1.下列说法中正确的是(　　)
A.点电荷是一种理想模型，真正的点电荷是不存在的
B.点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体
C.根据F＝可知，当r→0时，F→∞
D.一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计
答案　AD
解析　点电荷是一种理想模型，一个带电体能否看成点电荷不是看其大小，而是应具体问题具体分析，是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不计.因此大的带电体一定不能看成点电荷和小的带电体一定能看成点电荷的说法都是错误的，所以A、D对.
库仑定律公式的理解和应用
2.两个相同的金属小球(可看作点电荷)，带有同种电荷，且电荷量之比为1∶7，在真空中相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则它们之间的库仑力是原来的(　　)
A.7
B.
C.
D.
答案　D
解析　若两球原来所带电荷量分别为Q和7Q，先接触再分开后电荷量均为4Q，根据库仑定律的公式F＝k，它们之间的库仑力是原来的，故D正确.
静电力的叠加
3.下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘.坐标原点O处有一可看做点电荷的带电体，该点电荷受到的电场力最大的是(　　)
答案　B
解析　A图中坐标原点O处点电荷受到的电场力是带电圆环给的；B图中坐标原点O处点电荷是第一象限
带正电圆环和第二象限带负电圆环叠加的结果，作用力比单独一个带正电圆环给的大；C图中第一象限带正电圆环和第三象限带正电圆环产生的作用力相互抵消，所以坐标原点O处点电荷受到的作用力是第二象限带电圆环产生的；同理D图中第一象限与第三象限的带电圆环、第二象限与第四象限的带电圆环对点电荷的作用力也相互抵消，所以坐标原点O处电荷受力为零.故选B.
库仑力作用下的平衡
4.两根光滑绝缘棒在同一竖直平面内，两棒与水平面间均成45°角，棒上各穿有一个质量为m、带电荷量为Q的相同小球，如图4所示.现两小球均处于静止状态，求两球之间的距离L.
图4
答案　
解析　对其中一个小球受力分析，受竖直向下的重力、垂直于棒的弹力、水平方向的库仑力，三者的合力为零.库仑力F＝k，有平衡关系＝tan45°，解之得L＝.
题组一　库仑定律的理解
1.关于库仑定律，下列说法中正确的是
(　　)
A.库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体
B.根据F＝k，当两电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向无穷大
C.若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
D.库仑定律和万有引力定律的表达式相似，都是平方反比定律
答案　D
解析　点电荷是实际带电体的理想模型，只有带电体的大小和形状对电荷的作用力影响很小时，实际带电体才能视为点电荷，故选项A错误；当两个电荷之间的距离趋近于零时，不能再视为点电荷，公式F＝k不能用于计算此时的静电力，故选项B错误；q1和q2之间的静电力是一对相互作用力，它们的大小相等，故选项C错误；库仑定律与万有引力定律的表达式相似，研究和运用的方法也很相似，都是平方反比定律，故选项D正确.
2.要使真空中的两个点电荷间的库仑力增大到原来的4倍，下列方法可行的是
(　　)
A.每个点电荷的电荷量都增大到原来的2倍，电荷间的距离不变
B.保持点电荷的电荷量不变，使两个电荷间的距离增大到原来的2倍
C.一个点电荷的电荷量加倍，另一个点电荷的电荷量保持不变，同时使两个点电荷间的距离减小为原来的
D.保持点电荷的电荷量不变，将两个点电荷间的距离减小为原来的
答案　A
解析　根据库仑定律F＝k可知，当r不变时，q1、q2均变为原来的2倍，F变为原来的4倍，A正确；同理可求得B、C、D中F的变化均不满足条件，故B、C、D错误.
3.用控制变量法，可以研究影响电荷间相互作用力的因素.如图1所示，O是一个带电的物体，若把系在丝线上的带电小球先后挂在横杆上的P1、P2、P3等位置，可以比较小球在不同位置所受带电物体的作用力的大小.这个力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ显示出来.若物体O的电荷量用Q表示，小球的电荷量用q表示，物体与小球间距离用d表示，物体和小球之间的作用力大小用F表示.则以下对该实验现象的判断正确的是(　　)
图1
A.保持Q、q不变，增大d，则θ变大，说明F与d有关
B.保持Q、q不变，减小d，则θ变大，说明F与d成反比
C.保持Q、d不变，减小q，则θ变小，说明F与q有关
D.保持q、d不变，减小Q，则θ变小，说明F与Q成正比
答案　C
解析　保持Q、q不变，根据库仑定律公式F＝k，增大d，库仑力变小，则θ变小，减小d，库仑力变大，则θ变大.实验表明，F与d的二次方成反比，故A、B错误；保持Q、d不变，减小q，则库仑力变小，θ变小，知F与q有关，故C正确；保持q、d不变，减小Q，则库仑力变小，θ变小，根据库仑定律得F＝k，知F与两电荷的乘积成正比，故D错误.
4.A、B两个大小相同的金属小球，A带有6Q正电荷，B带有3Q负电荷，当它们在远大于自身直径处固定时，两球之间静电力大小为F.另有一大小与A、B相同的不带电小球C，若让C先与A接触，再与B接触，拿走C球后，A、B间静电力的大小变为(　　)
A.6F
B.3F
C.F
D.零
答案　D
解析　C先后与A、B接触后，A、B所带电荷量分别为3Q、0，故此时A、B间的静电力为零.
5.半径为R、相距较近的两个较大金属球放在绝缘桌面上，若两球都带等量同号电荷Q时它们之间的静电力为F1，两球带等量异号电荷Q与－Q时静电力为F2，则(　　)
A.F1>F2
B.F1C.F1＝F2
D.不能确定
答案　B
解析　因为两个金属球较大，相距较近，电荷间的相互作用力使电荷分布不均匀，故不能简单地把两球看成点电荷.带等量同号电荷时，两球的电荷在距离较远处分布得多一些，带等量异号电荷时，两球的电荷在距离较近处分布得多一些，可见带等量同号电荷时两球电荷中心间距离大于带等量异号电荷时电荷中心间距离，所以有F16.如图2所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是(　　)
图2
A.速度变大，加速度变大
B.速度变小，加速度变小
C.速度变大，加速度变小
D.速度变小，加速度变大
答案　C
解析　因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，故加速度越来越小.
题组二　库仑力的叠加
7.如图3所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上.a和c带正电，b带负电，a所带的电荷量比b所带的电荷量小.已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是(　　)
图3
A.F1
B.F2
C.F3
D.F4
答案　B
解析　据“同电相斥，异电相吸”规律，确定金属小球c受到a和b的静电力方向，考虑a的电荷量小于b的电荷量，根据平行四边形定则求合力如图所示，选项B正确.
8.如图4所示，在一条直线上的三点分别放置QA＝＋3×10－9C、QB＝－4×10－9C、QC＝＋3×10－9C的A、B、C点电荷，则作用在点电荷A上的作用力的大小为______N.
图4
答案　9.9×10－4
解析　点电荷A同时受到B和C的库仑力作用，因此作用在A上的力应为两库仑力的合力.可先根据库仑定律分别求出B、C对A的库仑力，再求合力.
A受到B、C电荷的库仑力如图所示，根据库仑定律有
FBA＝＝N
＝1.08×10－3N
FCA＝＝N
＝9×10－5N
规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为
FA＝FBA－FCA＝(1.08×10－3－9×10－5)
N＝9.9×10－4N.
9.如图5所示，等边三角形ABC，边长为L，在顶点A、B处有等量同种点电荷QA、QB.即QA＝QB＝＋Q，求在顶点C处的点电荷＋QC所受的静电力大小为________，方向________.
图5
答案　k　与AB连线垂直向上
解析　带电小球C受力情况如图所示，QA、QB对QC的作用力大小和方向都不因其他电荷的存在而改变，仍然遵守库仑定律.
QA对QC的作用力：FA＝k，同种电荷相斥，
QB对QC的作用力：FB＝k，同种电荷相斥，
因为QA＝QB，所以FA＝FB，
QC受力的大小：F1＝FA＝k，方向为与AB连线垂直向上.
题组三　库仑力作用下的平衡问题
10.如图6所示，两个点电荷，电荷量分别为q1＝4×10－9C和q2＝－9×10－9C，两者分别固定在相距20cm的a、b两点上，有一个点电荷q放在a、b所在直线上，且静止不动，该点电荷所处的位置是何处(　　)
图6
A.a的左侧40cm
B.a、b的中点
C.b的右侧40cm
D.无法确定
答案　A
解析　根据平衡条件，它应在q1点电荷的左侧，设距q1距离为x，有k＝k，将q1＝4×10－9C，q2＝－9×10－9C代入，解得x＝40cm，故选项A正确.
11.A、B两个带电小球的质量分别为m1、m2，带电荷量分别为q1、q2.如图7所示，当A、B两小球静止时，两悬线与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，且两小球恰好处于同一水平面上.下列判断正确的是(　　)
图7
A.若q1＝q2，则θ1＝θ2
B.若q1＜q2，则θ1＞θ2
C.若m1＝m2，则θ1＝θ2
D.若m1＜m2，则θ1＞θ2
答案　CD
解析　A、B之间的静电力是作用力和反作用力关系，所以不论A、B哪个所带的电荷量大，它们受到的静电力都是大小相等、方向相反.由平衡条件得tanθ＝，可见若它们的质量相同，则悬线与竖直方向的夹角相同；质量越大，则悬线与竖直方向的夹角越小，故选项C、D正确.
12.如图8所示，把一电荷量为Q＝－5×10－8C的小球A用绝缘细绳悬起，若将电荷量为q＝＋4×10－6C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30cm时，绳与竖直方向成45°角，取g＝10m/s2，k＝9.0×109
N·m2/C2，且A、B两小球均可视为点电荷，求：
图8
(1)A、B两球间的库仑力；
(2)A球的质量.
答案　(1)0.02N　(2)2×10－3kg
解析　(1)由库仑定律得：FAB＝k
代入数据：F库＝0.02N.
故A、B两球间的库仑力为0.02N.
(2)由牛顿第三定律知，B所受库仑力与A所受库仑力的大小相等，对A受力分析如图所示：
根据平衡条件得：F库＝mgtanα
代入数据：m＝2×10－3kg.
故A球的质量为：
m＝2×10－3kg.
13.如图9所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30×10－3kg，则B带电荷量是多少？(取g＝10m/s2)
答案　1.0×10－6C
解析　因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L.
依据题意可得：tan30°＝，
L＝＝cm＝10cm，
对B进行受力分析如图所示，依据物体平衡条件解得库仑力
F＝mgtan30°＝30×10－3×10×N＝0.3N.
依据库仑定律得：F＝k.
解得：Q＝＝×10×10－2C＝1.0×10－6C.