专题3.3 导数与函数的极值、最值
一、核心知识：
1.函数的极值
（1）函数的极小值
如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作．
（2）函数的极大值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2.函数的最大（小）值
（1）函数在区间上有最值的条件：
如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
3.不等恒（能）成立问题的常用结论：
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解
二、考点聚焦：
考点一：利用导数求函数的极值（点）
经典例题：
1．（多选）函数的极值点是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则函数的极小值点为（ ）
A．或 B． C． D．
3．（多选）已知函数的极值点为，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的极值为（ ）
A． B． C． D．3
5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
7．（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．函数的极值点为 .
2．函数的极值点为（ ）
A． B．0 C． D．
3．函数的极小值为（ ）
A． B． C．15 D．17
4．函数的极小值是 .
5．已知函数，则的极小值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2023·广东汕头·一模）函数的一个极值点为1，则的极大值是 ．
7．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数在处取得极大值，则的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
10．函数在时有极值10，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
11．已知函数在处有极值2，则（ ）
A． B．6 C．2 D．
12．函数在处有极值10，则点为（ ）
A． B． C．或 D．不存在
考点二：利用导数求函数的最值
经典例题：
1．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ．
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国新高考I卷）函数的最小值为 .
5．（2024·陕西渭南·预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
6．（2024·宁夏·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽·三模）已知函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．函数的最小值为 ．
2．已知函数，则在上的最大值为 ．
3．若函数在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则 .
4．（2025·陕西安康·三模）函数的最小值为 ．
5．函数在区间上的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．函数在区间上的最大值为 ．
7．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
9．若函数有最大值，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．4 D．
10．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（ ）
A． B． C．或 D．
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
13．（2022·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点三：利用导数判断函数单调性及极值
经典例题：
1．已知函数的导函数图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在处取得极大值
C．在上单调递增 D．在处取得最小值
2．（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是 B．函数的单调递增区间是
C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点
3．（多选）已知函数，，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）设函数，则（ ）
A．有两个极大值点 B．有两个极小值点
C．是的极大值点 D．是的极小值点
变式训练：
1．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
2．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减
3．（多选）（2022年新高考全国I卷）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
4．（多选）（2024年新课标全国Ⅰ卷题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
6．（多选）（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
考点四：由函数极值点求参
经典例题：
1．（2025高考·全国II卷）若是函数的极值点，则
2．已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或2
3．（2024·广西·二模）已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．若函数在处取得极小值，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
3．已知函数在处有极大值，则c的值为（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．-2
4．函数的极值点为，则实数 .
5．（2023·广西·模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
8．（2023·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．若是函数的极值点，则（ ）
A．大于0 B．小于0 C．大于等于0 D．小于等于0
11．（2025·江西·二模）在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ．
12．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．
考点五：根据函数极值的存在性求参数范围
经典例题：
1．（2025·甘肃白银·三模）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在上有唯一的极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．6 D．8
6．（多选）（2023年全国Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．（2014·福建福州·一模）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ．
8．若函数有极大值，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．函数在上存在极大值和极小值，且，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点六：根据函数最值的存在性求参数范围
经典例题：
1．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·四川凉山·三模）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ．
6．若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．（2025·新疆·三模）已知函数，若在区间上有最大值，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·辽宁·阶段）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河南·模拟预测）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
三、达标检测：
《导数与函数的极值、最值》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·四川眉山·三模）已知函数，则的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河南开封·三模）设函数，若的极小值为，则（ ）
A． B． C． D．2
5．若函数在内有极小值，则的取值范围为
A． B． C． D．
6．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·宁夏银川·三模）已知函数，.对于任意，且，都有.则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数（a为实数），且，则在区间上的极值点的个数可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．若函数在处取极值，则
13．若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为 ．
14．（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题3.3 导数与函数的极值、最值
一、核心知识：
1.函数的极值
（1）函数的极小值
如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作．
（2）函数的极大值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2.函数的最大（小）值
（1）函数在区间上有最值的条件：
如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
3.不等恒（能）成立问题的常用结论：
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解
二、考点聚焦：
考点一：利用导数求函数的极值（点）
经典例题：
1．（多选）函数的极值点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由得：，令，则，当时，,当时，，故均是函数的极值点，故选ABC
2．已知函数，则函数的极小值点为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【详解】由求导得，，因，由可得或，
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故在处取得极大值,在处取得极小值.即函数的极小值点为.故选:D.
3．（多选）已知函数的极值点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】对于A项，由已知可得，，令，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以，在时，有极小值，且，故A项正确；对于B项，由A知，故B项错误；对于C项，因为，，所以，所以，即，故C项错误；对于D项，由C知，故D项正确.故选：AD.
4．函数的极值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】由题知的定义域为，且.当时，；
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，无极大值，故选：A
5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】，令得或，当时，，在R上单调递增，无极值；当即时，时，，单调递增，时，，单调递增，时，，单调递减，得在处取得极小值，即，解得；当即时，时，，单调递增，时，，单调递增，时，，单调递减，得在处取得极小值，即，不满足题意；综上，实数.故选：C.
6．函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】A
【详解】，由题意得，即，解得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，取得极小值，符合题意；当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，取得极大值，不符合题意；所以，.故选：.
7．（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，当时，，在定义域上单调递减，无极值点，当时，，在定义域上单调递增，无极值点，当时，因为，，而在单调递减，所以存在，使，在上，，单调递增，在上，，单调递减，于是是在上的极大值点，此时，即，由题意，，即，设，则，于是在上单调递增，又，所以，.故选：C．
变式训练：
1．函数的极值点为 .
【答案】
【详解】函数定义域为 ，求导得：在内 ,单调递减；在内 ,单调递增.是函数的极小值点，没有其它极值点.故答案为：.
2．函数的极值点为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【详解】由题可得，令，解得.因为是函数的变号零点，
因此是函数的极值点.故选：A.
3．函数的极小值为（ ）
A． B． C．15 D．17
【答案】B
【详解】由函数，求导得,令,得,当时, ,函数单调递增;当时, ,函数单调递减;当时, ,函数单调递增;
所以是极小值点,所以函数的极小值为.故选：B
4．函数的极小值是 .
【答案】
【详解】，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值是.故答案为：.
5．已知函数，则的极小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，因为，所以，
令，则，解得或（舍），
x 2
－ 0 ＋
单调递减 极小值 单调递增
由此表可知，当时，的取得极小值为.故选：D.
6．（2023·广东汕头·一模）函数的一个极值点为1，则的极大值是 ．
【答案】4
【详解】定义域为R，，由题意得，，解得，故，令，解得，令得，或，单调递增，
令得，，单调递减，故在处取得极大值，极大值为.故答案为：4
7．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】由已知得，令，得，当时，单调递减，
当或时，单调递增，所以的极小值为，解得.故选：A.
8．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，，则，令，解得或，当时，在，上满足，单调递增，在上满足，单调递减，所以在处取得极大值，，解得，当时，在，上满足，单调递增，在上满足，单调递减，所以在处取得极大值，，不符合题意，当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意，综上所述，.故选：D.
9．函数在处取得极大值，则的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为， ，因为在处取得极大值，
所以，解得，故，定义域为，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；故的单调增区间为.故选：B.
10．函数在时有极值10，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【详解】由题意，因为函数在时有极值10，所以，消去可得，解得或，当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意；当时，，，或，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值，故满足题意.故选B.
11．已知函数在处有极值2，则（ ）
A． B．6 C．2 D．
【答案】B
【详解】，因为函数在处有极值2，所以，即，解得，则，故当时，，当时，，所以函数在处有极小值，所以，所以.故选：B
12．函数在处有极值10，则点为（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
【详解】，则，即，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,，令，解得或，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；则为极小值点，符合题意.故点为，故选：B
考点二：利用导数求函数的最值
经典例题：
1．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ．
【答案】/
【详解】因为，又，由，得到，由，得到，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，所以在上的最小值为.故答案为：.
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可得，当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减，故当时，在时取得极大值，也即最大值.故选：B
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，，即，
在上单调递增，.故选：D.
4．（2021年全国新高考I卷）函数的最小值为 .
【答案】1
【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.
5．（2024·陕西渭南·预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【详解】由题意可知：，所以当时，则在上单调递增，
所以.故选：D.
6．（2024·宁夏·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，故当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故当时，取得最大值，即，此时，当，，当时，故最小值为，故选：C
7．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当．则，此时在，单调递增，在单调递减.当时，若，当，，不合题意；当时，，，则值域为符合题意；当时，要使的值域是，则要求的最小值为．则必定先有，得，即，此时在上单调性为上单调递减，单调递增，有最小值符合题意．故.故选：A.
8．（2023·安徽·三模）已知函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，当时，恒成立，则单调递减，，显然不恒成立；当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，∴，∵，∴，∴，令，，，时，；时，.在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，即的最小值是.故选：B．
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，且，由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则，所以，即，当时，对任意的恒成立，，不合乎题意；当时，由可得，由可得,此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意；当时，由可得，由可得，此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意.所以，由题意可得，则，解得，因此，.故选：C.
变式训练：
1．函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，所以的最小值为.故答案为：.
2．已知函数，则在上的最大值为 ．
【答案】
【详解】，令，得或．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以．故答案为：.
3．若函数在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则 .
【答案】20
【详解】函数，，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此，而，则，所以.故答案为：20
4．（2025·陕西安康·三模）函数的最小值为 ．
【答案】/
【详解】，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值.
故答案为：
5．函数在区间上的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】由，求导得，当时，，当时，即在上单调递增， 在上单调递减，故．故选：C.
6．函数在区间上的最大值为 ．
【答案】
【详解】由，所以，当时，，所以，则在单调递减，所以.故答案为：.
7．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，当时，则，所以在单调递增，此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去；当时，令，得；令，得；所以在上单调递减，在单调递减增，
①当时，在区间上单调递增，所以最小值为，不符合题意舍去；②当时，在上先减后增，所以最小值为，解得；③当时，在上单调递减，所以最小值为，解得，不符合题意，舍去，综上所述.故选：D.
8．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，而，所以，即 ，所以 ，因此当时，,故函数在递增；时，,故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；故选：C．
9．若函数有最大值，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】， 令，得临界点（因，舍去），当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，此时无最大值，当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以，满足题意，故选：.
10．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【详解】令，则，令，则，当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符；当时，令，则，若，时，，则在上单调递增，故，不符；若，时，在上，即在上单调递减，在上，即在上单调递增，所以，则，可得，又，可得；综上，.故选：A
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，当时，，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，，则在上值的集合为，因函数的值域为，于是得，则，解得，所以实数的取值范围是.故选D
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【详解】当时，是单调减函数.∴的值域为；当时，若，则，是单调增函数，的值域为，不符合题意，当时，令，得，令，得，函数在上单调递减，在上单调递增，,由题意知，即，解得，所以.故选：A.
13．（2022·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若，当时，为增函数，且，不符合题意.若，最小值为.若，当时，的最小值为.当时，，若，则，若，则，在在，在上递增，故的最小值为.由，，，设，它在上是增函数，且，所以的解是．可得综上，常数的取值范围为.故选B．
考点三：利用导数判断函数单调性及极值
经典例题：
1．已知函数的导函数图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在处取得极大值
C．在上单调递增 D．在处取得最小值
【答案】B
【详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误；当时，，单调递增，时，，单调递减，所以在处取得极大值，故B正确；C错误；时，，单调递增，所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误；故选：B.
2．（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是 B．函数的单调递增区间是
C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点
【答案】BD
【详解】由图可得函数的零点为，当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，故A错误，B正确；是函数的极大值点，是函数的极小值点，故C错误，D正确.
故选：BD.
3．（多选）已知函数，，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】，则，所以有两个极值点，，且．故选：BD.
4.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，，，故为偶函数，不符题意；对B，，为奇函数，，得，当时，，时，故的极小值，故B正确；对C，为偶函数，不符题意；对D，无极值，不符题意，故选：B
5．（多选）设函数，则（ ）
A．有两个极大值点 B．有两个极小值点
C．是的极大值点 D．是的极小值点
【答案】BC
【详解】根据题意，可得，于是
x 1
0 0 0
极小值 极大值 极小值
因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．故选：BC
变式训练：
1．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
【答案】C
【详解】由导函数的图象可知，当时，，仅时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数只有一个极值大点，无极小值点，所以有极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确.故选：C.
2．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.故选：C
3．（多选）（2022年新高考全国I卷）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【详解】由题，，令得或，令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.
4．（多选）（2024年新课标全国Ⅰ卷题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；
故选：ACD.
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，
，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
6．（多选）（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【详解】方法一：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
考点四：由函数极值点求参
经典例题：
1．（2025高考·全国II卷）若是函数的极值点，则
【答案】
【详解】由题意有，所以，
因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以.故答案为：.
2．已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或2
【答案】A
【详解】求导得，则，解得：或，当时，，由于，，，，所以函数在时有极小值， 当时，，由于，，，，所以函数在时有极大值，故舍去，故选：A.
3．（2024·广西·二模）已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知，，令得或，由题意是极小值点，则，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点，不合题意，综上，，即.故选：A.
4．（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知，当时，，此时；当时，，此时.所以. 对分段函数求导，当时，，对其求导，可得；当时，，对其求导可得. 因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近.当时，，令，即，解得；当时，，令，即，解得.要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得.所以实数的取值范围是.故选：A.
5．已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，函数，求导得，函数在R上单调递增，
由，，得，，，A错误；
对于B，由，得，则，B错误；
对于C，，，C正确：
对于D，由，得，则，D错误.
故选：C
变式训练：
1．若函数在处取得极小值，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】A
【详解】由题意可得，则，解得.当时，，当或时，，则在，单调递增，当时，，则在单调递减，所以，函数在处取得极小值，此时.故选：A
3．已知函数在处有极大值，则c的值为（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．-2
【答案】B
【详解】，且函数在处有极大值，
故，即，解得或2．当时，，令得，或，令得，，故在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去；当时，，令得或，令得，，故在上单调递增，在上单调递减，满足在处取得极大值，满足要求.故．故选：B
4．函数的极值点为，则实数 .
【答案】
【详解】，，得，此时.当时，在上单调递减；时，，在上单调递增.所以在处取得极小值，符合题意.故答案为：.
5．（2023·广西·模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，因为函数在处取得极小值，则，解得，此时，当或时，，当，时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值.故选：C
6．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数在处取得极大值，则，且，即，所以；所以，，令，则或，由，，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以函数在处取得极大值，.故选：C.
7．函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
【答案】A
【详解】由题意得，因为在处有极小值，所以，解得，所以，令，解得或，故函数在和上为增函数，令，解得，
故函数在上为减函数，所以在处有极小值，符合题意，所以，故选：A.
8．（2023·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】，所以，解得，经检验，满足题意，
所以.故选：A
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，令，可得或，当，即时，令，得或；令，得；所以在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，满足题意；当，即时，恒成立，则在上单调递增，没有极值点，不满足题意；当，即时，令，得或；令，得；所以在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，不满足题意；综上，，即的取值范围为.故选：A.
10．若是函数的极值点，则（ ）
A．大于0 B．小于0 C．大于等于0 D．小于等于0
【答案】B
【详解】由函数，得.又因是函数的极值点，即.令，则.
因为，所以当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减，故，故小于0．故选：B.
11．（2025·江西·二模）在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ．
【答案】16
【【详解】的定义域为，，由题意得是方程的两个不相等的正根，故，解得，由韦达定理得，故，因为为等比数列，所以，其中，故，所以，解得，满足要求.故答案为：16
12．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【详解】由题意，因为在时取得极值，所以，
解得或，当，时，，所以在上单调递增，不合题意，当，时，，所以时，，时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极小值，满足题意，所以，又，，同号，所以.故选：.
考点五：根据函数极值的存在性求参数范围
经典例题：
1．（2025·甘肃白银·三模）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知在上有变号零点，显然在上单调递增，
故原条件等价于解得，故实数的取值范围是．故选：C
2．（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数，可得，若，此时单调递增，无极值点，
故，令，解得，当时，，当时，，故是的极值点，由于函数有大于零的极值点，，解得．故选：C．
3．已知函数在上有唯一的极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为满足的实数有且只有一个，所以导函数在区间有且只有一个变号零点.因为，所以由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增.
即在单调递减，在上单调递增，,则，解之得：.故选：B.
4．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因时，，函数图象的对称轴为，当时函数在时取得极大值，又因时，，由函数的性质，可知要使还有一个极值，必须使，则由，可得.故选：B.
5．（多选）已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】AD
【详解】由题意知有两个不相等的根，所以，
解得或.故A、D正确，B、C错误.故选：AD
6．（多选）（2023年全国Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD
7．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，若没有极值点，则，即．由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足的有，，，，，，，，，共有9个，所以．故选：A.
变式训练：
1．（2014·福建福州·一模）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数，，若函数在区间上有极值点，则在区间内有零点，由可得，因为在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，，当时，，不符合题意，所以实数的取值范围是.故选：C．
2．（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，且，因为函数有极值，所以在上有变号零点，即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），因为二次函数的对称轴为，开口向上，所以只需，解得，即实数的取值范围是.故选：C
3．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】,函数在上存在极值，在该区间有变号零点.即,,单调递减,设，单调递增;单调递减;,
,.故选:B.
4．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，因此是函数的极大值点，要想在在区间上存在极值，只需，显然四个选项中，只有能推出，但是推不出，
故选：A
5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，故，因为函数在上无极值，所以在R上恒成立，当时，，设，则，当时，得，当时，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故，当时，，则.综上，.故选：D.
6．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，令，，若，则或，此时单调，不存在极值点，故不符合题意，若，则方程有两个实数根，由于有唯一极值点，故只能有一个正实数根，若另一个实数根为0，此时，显然满足条件，
若令一个实数根为负根，则，故 ，结合选项可知，一定成立，故选：C
7．（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】的定义域为，因为有两个极值点，所以函数在上有两个变号零点，令，则，即，所以，令，所以将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题，求导得，令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，，则恒成立，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以，又因为，则的图象如图所示，要使的图象和直线有两个交点，由图象知，即，所以的取值范围为．
8．若函数有极大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，当时，，则在上递增，所以无极值，当时，，则在上递减，所以无极值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以时，取得极大值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，综上，当时，有极大值，故选：B
9．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为，，又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，由，所以方程有两个不同的正实数，所以，即.故选：B
10．函数在上存在极大值和极小值，且，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得，，当时，方程在上有两个不同的实根，且，则，解得；当时，，不满足题意；当时，的图象开口向下，若方程在上有两个不同的实根，则的极大值点大于极小值点，与题意矛盾.综上所述，.故选:C
考点六：根据函数最值的存在性求参数范围
经典例题：
1．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，因为函数，在上单调递增，所以题中问题等价于即解得，故选：D.
2．（2022·四川凉山·三模）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数，可得，若时，当时在上单调递减，此时函数在上没有最小值，不符合题意；当时，令，即，画出函数与的图象，如图所示， 结合图象，存在，使得，当时单调递减；当时单调递增，此时函数在上有最小值，符合题意．综上可得，实数a的取值范围是.故选：A
3．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，令，解得，所以在和时，，在时，，所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，则在内单调递增，所以在内，最大；在时单调递减，所以在内，最大；在时单调递增，所以在内，最大；因为，且在区间上的最大值为28，所以，即k的取值范围是，故选：A.
4．已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，令得，且时，；时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，令时，解得或，所以其图象如下：由图可知，时存在最小值，所以，解得，即实数a的取值范围为.故选：
5．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题可知：，令，则；令，则或，所以函数在单调递增，在单调递减.极小值为，令，所以或，又函数在区间内有最小值，所以.故答案为：.
6．若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】，则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，在处取得最值，则有，
解得.故选：C.
7．（2025·新疆·三模）已知函数，若在区间上有最大值，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，若在区间上有最大值，只需即可，解得；当时，，，显然此时，单调递减，不存在有最大值的开区间；当时，，
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值，此时也不存在最大值的开区间，故选：D.
8．（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，函数单调递减，无最小值；当时，函数
当时，函数，所以单调递增，当时，要使函数存在最小值，即.故选：C.
变式训练：
1．已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得，函数，的导函数，，若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；若，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，由函数在上的最大值为，可得，所以，又，所以；若，当时，，函数在上单调递减，函数在上的最大值为，满足条件，所以时，函数在上的最大值为.综上所述，的范围是.故选：D.
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数，求导得，由在区间上有最小值，得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D
3．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以当或时，当时，
所以在，单调递增，在单调递减，又，，，，故的图象如图：函数在区间上有最小值，则由图可知，即的取值范围是.故选：D.
4．函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则，则得或；得，则在和上单调递增，在上单调递减，因，则当在内存在最小值时，有得，则实数的取值范围是.故选：C.
5．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得．当时，得或，当时，，可得函数的单调增区间为，．减区间为，即时，函数取得极小值， 当时，即，解得或，故要使函数在区间上存在最小值，需有，解得，即实数a的取值范围为.故选：A．
6．（23-24高三上·辽宁·阶段）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，令，解得或，所以在，内单调递增，在内单调递减，所以极小值为．令，则，所以，由题意得，所以a的取值范围为.故选:C．
7．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，其中，当时，，故在上单调递减，此时在内无最值，当时，若，则，若，则，故在上为增函数，在上为减函数，故在处取最大值，综上所述，实数a的取值范围是.
故选：A.
8．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则，令，得或，当，即时，，函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意；当，即时，令，得或，令，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减，又，则在没有最大值，不符合题意；当，即时，令，得或，令，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减，又，，要使在有最大值，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.
9．（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，则，当时，，此时，函数单调递增，当时，，此时，函数单调递减，则函数在处取得极大值，且极大值为，因为函数函数有最大值，则，解得，因此，实数的最大值为.故选：.
10．（2022·河南·模拟预测）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则，
令，解得或；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，g(－1)＝2，g(1)＝－2，
据此，作出和y＝－2x的图像，
由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.故选：D.
三、达标检测：
《导数与函数的极值、最值》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.故选：C
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可得，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，在时取得极大值，也即最大值.
故选：B
3．（2019·四川眉山·三模）已知函数，则的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，故可得 ，
令，因为，故可得或，则当时，；
当时，；所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.故答案为：.
4．（2021·河南开封·三模）设函数，若的极小值为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】由已知得：，令，有，且上递减，上递增，∴的极小值为，即，得.故选：B.
5．若函数在内有极小值，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解得 .因为函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，所以.极值点在(0,1)上,所以在递增，在递减；递增；所以在取极小值， ,,故选A.
6．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，若没有极值点，则，即．由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足的有，，，，，，，，，共有9个，所以．故选：A.
7．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，令，得.令，则.令，则，即，即.当时，在单调递增；当时，在单调递减.，又当时，；当时，，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.故选：B
8．（2021·宁夏银川·三模）已知函数，.对于任意，且，都有.则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为，所以同号，因此与的单调性相同，因为，所以函数单调递增，因此也单调递增，，因为是增函数，故恒成立．即恒成立．，则，因为故单调递增，，故最小值为．故，则的最大值是.故选：C
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
【答案】AC
【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】BC
【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误.选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确，选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确，选项D：令，即，令，则令，则当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，当时同样切线方程不为，故选项D错误.故选：BC.
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数（a为实数），且，则在区间上的极值点的个数可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AC
【详解】由得到，因此或，由a的取值范围可知或.当时，函数的导函数.，而恒大于0，即严格单调递增，因此在上只有1个极值点，当时，导函数为.而在上单调递增，，，所以在上仅有一个零点.因此函数在上先单调递减再单调递增，又，，即在上存在一个极值点.同理可知在上也存在一个极值点，因此在上共有3个极值点.综上，此函数在目标区间可能有1或3个极值点.故选：AC
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．若函数在处取极值，则
【答案】3
【详解】=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3 .
13．若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，，则，解得
14．（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则 ．
【答案】1
【详解】由题意得，当，即时，，在上递增，故，解得；当，即时，当 时，，递减，当 时，，递增，故，解得，不符合，舍去，综上，.故答案为：1
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: C B A B A A B C
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: AC BC AC 答案: 3 1
