第一章 因式分解 单元测试（培优卷）（含答案）初中数学鲁教版（五四制）（2024）八年级上册
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| 名称 | 第一章 因式分解 单元测试（培优卷）（含答案）初中数学鲁教版（五四制）（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-08 15:20:39 | ||
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文档简介
因式分解单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1
C．
D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
2．（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（ ）
A．22024 B．﹣2 C．﹣22024 D．﹣1
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay﹣a＝a（x+y） B．a2+b＝a（a+b）
C．a2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）
4．已知x+2y＝5，2y﹣x＝3，则代数式x2﹣4y2+2x﹣4y的值为（ ）
A．9 B．﹣12 C．﹣21 D．2
5．下列说法正确的是（ ）
A．当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系
B．某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价可以表示为1.1（x﹣80）元
C．观察﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，则第10个数是512
D．代数式x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和
6．若k为任意整数，则（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能（ ）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
7．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是（ ）
A．x2+2x＝x（x+2） B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
9．已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最小值是（ ）
A．20 B．30 C．32 D．37
10．已知实数m，n满足m3﹣9m2+29m﹣18＝0，n3﹣9n2+29n﹣48＝0，则m+n等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：5x3y﹣20xy3＝ ．
12．已知a，b，c为△ABC三边的长，若b2+2c2+a2＝2c（a+b），则△ABC的形状为 ．
13．如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 ；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 ．
14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式9x3﹣xy2，取x＝11，y＝6时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
15．若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是16，且十位数字与个位数的和能被4整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
三．解答题（共7小题）
16．（1）若a﹣b＝4，ab＝2，求a2b﹣ab2的值；
（2）分解因式：am2﹣6am+9a．
17．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
（1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为 ．
（2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值．
（3）观察图3，
①从图3中得到（a+2b+c）2＝ ．
②根据得到的结论，解决问题：
已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值．
18．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣3x＝y．
原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）．
＝y2+6y+9（第二步）．
＝（y+3）2（第三步）．
＝（x2﹣3x+3）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提公因式法
B．公式法
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
19．已知三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即a＜b＜c），求证：代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是一个定值，并求出这个定值．
20．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：22＝1+12+2；
第2个等式：32＝2+22+3；
第3个等式：42＝3+32+4；
第4个等式：52＝4+42+5；
（1）请用此方法拆分20252＝ ；
（2）请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的；
（3）嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
21．（1）已知a，b，c为整数，且c≠0，若多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+2x﹣3整除，求的值．
（2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除．
22．如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中a≠2b．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．
（2）已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和．
因式分解单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C D A D D A A
1．解：根据因式分解的定义：
A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，属于整式的乘法，A不符合题意；
B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，
故B不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，
故C不符合题意；
D、x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，属于因式分解，
故D符合题意；
故选：D．
2．解：原式＝22024﹣22024×2
＝22024×（1﹣2）
＝﹣22024，
故选：C．
3．解：根据因式分解的方法，逐项分析判断如下：
A、ax+ay﹣a＝a（x+y﹣1），选项错误，不符合题意；
B、a2+b不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
C、多项式不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），选项正确，符合题意；
故选：D．
4．解：x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2），
因为x+2y＝5，2y﹣x＝3，
所以原式＝（﹣3）×（5+2）＝﹣21．
故选：C．
5．解：根据字母表示数，数字类规律探究，列代数式以及代数式的意义根据以上知识逐项分析判断如下：
A．当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故该选项不正确，不符合题意；
B．某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价可以表示为（1.1x﹣80）元，故该选项不正确，不符合题意；
C．观察﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，则第10个数是1024，故该选项不正确，不符合题意；
D．代数式x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
6．解：（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k；
∵k为任意整数，
∴4k为整数，
∴4k一定能被4整除，
∴（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能被4整除，
故选：A．
7．解：∵a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，
∴a﹣b＝（2023x+2022）﹣（2023x+2023）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2023
＝﹣1，
a﹣c＝（2023x+2022）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2024
＝﹣2，
b﹣c＝（2023x+2023）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2023﹣2023x﹣2024
＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝3，
故选：D．
8．解：∵x2+2x+x+2＝（x+1）（x+2），
∴x2+3x+2＝（x+2）（x+1），
故选：D．
9．解：mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，
m（n﹣2）﹣3n+6﹣6﹣20＝0，
m（n﹣2）﹣3（n﹣2）﹣26＝0，
（m﹣3）（n﹣2）＝26，
∵m，n均为正整数，
∴26＝1×26，或26＝2×13，
∴，，，，
∴m+n＝32，m+n＝32，m+n＝20，m+n＝20，
∴m+n的最小值为20．
故选：A．
10．解：∵m3﹣9m2+29m﹣18＝m3﹣3m2×3+3m×32﹣33+2m+9＝（m﹣3）3+2m+9＝0，
n3﹣9n2+29n﹣48＝n3﹣3n2×3+3n×32﹣33+2n﹣21＝（n﹣3）2+2n﹣21＝0，
两式相加可得，（m﹣3）3+2m+9+（n﹣3）3+2n﹣21＝0，
∴（m﹣3）3+（n﹣3）3＝﹣2[（m+n）﹣6），
∴（m+n﹣6）[（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2]＝﹣2[（m+n）﹣6]，
∴（m+n﹣6）[（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2]＝0，
若（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2＝0，看成是以m﹣3为未知数的一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（n﹣3）]2﹣4×1×[（n﹣3）2+2]＝﹣3（n﹣3）2﹣8＜0，
∴（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2＝0，没有实数根，
∴（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2≠0，
∴m+n﹣6＝0，
∴m+n＝6．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解：5x3y﹣20xy3
＝5xy（x2﹣4y2）
＝5xy（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：5xy（x+2y）（x﹣2y）．
12．解：因为b2+2c2+a2＝2c（a+b），
即b2+2c2+a2﹣2ac﹣2bc＝0，
即（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
得：b﹣c＝0，a﹣c＝0，
所以b＝c，a＝c，
所以a＝b＝c，
所以△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
13．解：①∵是“跳跃数“，
∴43+10m+7＝5（4+m+3+7），
解得m＝4，
∴这个数为4437；
②设满足条件的“跳跃数”的最大值是，
∴90+c+10b+d＝5（9+b+c+d），
∴b9，
∵b，c，d是0～9中的整数，
∴c+d＝15，b＝3，
∴满足条件的“跳跃数”的最大值是，
∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，
且930+c﹣（300+10c+d）＝630﹣9c﹣d＝7（90﹣c）﹣（2c+d），
∴2c+d是7的倍数，
∵c+d＝15，
∴c+15的7的倍数，
∴c最大为6，
∴d＝9，
∴满足条件的“跳跃数”的最大值是9369；
故答案为：9369．
14．解：9x3﹣xy2
＝x（9x2﹣y2）
＝x（3x+y）（3x﹣y）．
当x＝11，y＝6时，
各个因式的值是：x＝11，3x+y＝39，3x﹣y＝27．
用上述方法产生的密码是：113927或112739或391127或392711或273911或271139．
故答案为：113927（答案不唯一）．
15．解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，
则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．
∴最小的“交替数”是1001；
根据题意知：a2﹣b2＝16，c+d＝4k（k是正整数），a+c＝b+d，
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16＝16×1＝8×2＝4×4，且0≤a≤9，0≤b≤9，
∴或或，
解得（舍去）或或，
∵a+c＝b+d．
∴c﹣d＝b﹣a，
∴c﹣d＝﹣2或c﹣d＝﹣4，
∵c+d＝4k（k是正整数），
∴c+d＝4或8或12或16，
∴或或或或或或或，
解得或或或或或或或（舍去），
∴a＝5，b＝3，c＝1，d＝3，即5313；
或a＝5，b＝3，c＝3，d＝5，即5335；
或a＝5，b＝3，c＝5，d＝7，即5357；
或a＝5，b＝3，c＝7，d＝9，即5379；
或a＝4，b＝0，c＝0，d＝4，即4004；
或a＝4，b＝0，c＝2，d＝6，即4026；
或a＝4，b＝0，c＝4，d＝8，即4048；
故所有的“交替数”是5313或5335或5357或5379或4004或4026或4048，
最大的“交替数”为5379，
故答案为：1001，5379．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）因为a﹣b＝4，ab＝2，
所以a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝2×4
＝8；
（2）am2﹣6am+9a
＝a（m2﹣6m+9）
＝a（m﹣3）2．
17．解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24，
ab＝[（2a+b）2﹣（4a2+b2）]÷4
＝[62﹣24]÷4
＝12÷4
＝3，
图中阴影部分的面积为：ab；
故答案为：．
（2）因为（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，
设2025﹣y＝a，y﹣2024＝b，
所以2ab＝﹣2，ab＝﹣1，
所以a+b＝1，
（2025﹣y）2+（y﹣2024）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝1+2
＝3．
（3）①（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab，
故答案为：a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab；
②因为a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，
所以4ab+2ac+4bc
＝（a+2b+c）2﹣（a2+4b2+c2）
＝52﹣13
＝12，
因为，a+2b+c＝5，
（4ab+2ac+4bc）2
＝16a2b2+4a2c2+16b2c2+16a2bc+16abc2+32ab2c
＝16a2b2+4a2c2+16b2c2
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8a+16b+8c
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8（a+2b+c）
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8×5
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+40
＝122，
所以4a2b2+a2c2+4b2c2
＝（122﹣40）÷4
＝104÷4
＝26．
18．解：（1）y2+6y+9＝（y+3）2，用到的是公式法；
故答案为：B；
（2）设y＝x2+2x，
∴（x2+2x）（x2+2x+2）+1
＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝（x+1）4．
19．证明：因为三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即a＜b＜c），
所以a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝3，
所以代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是一个定值，这个定值是3．
20．解：（1）第1个等式：22＝1+12+2；
第2个等式：32＝2+22+3；
第3个等式：42＝3+32+4；
第4个等式：52＝4+42+5；
……，
以此类推，可知第2024个等式：20252＝2024+20242+2025．
故答案为：2024+20242+2025；
（2）由（1）可知含n的等式是n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n．
理由：∵右边＝n﹣1+n2﹣2n+1+n＝n2，
左边＝n2，
∴左边＝右边，
∴n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n成立．
（3）如图所示，即为所求．
21．（1）解：由题意可知存在整数m，使得x3+ax2+bx+c＝（x+m）（x2+2x﹣3）．
即x3+ax2+bx+c＝x3+（2+m）x2+（2m﹣3）x﹣3m．
所以，a＝2+m，b﹣2m﹣3，c＝﹣3m．
所以，．
（2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或2．
①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为3k1+1，3k2+2，其中k1，k2为整数．
所以，．
由k1，k2为整数，可知为整数．
所以，能被3整除．
②若两个不能被3整除的整数的余数均为r（r＝1，2），则可设这两个整数分别为3k3+r，3k4+r其中k3，k4为整数．
所以，，
由k3，k4及r为整数，可知为整数，
所以，能被3整除．
综上所述，结论成立．
22．解：（1）如图，
拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形
∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）；
（2）由题意得（a+b）＝3，ab＝1
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝7．
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一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1
C．
D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
2．（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（ ）
A．22024 B．﹣2 C．﹣22024 D．﹣1
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay﹣a＝a（x+y） B．a2+b＝a（a+b）
C．a2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）
4．已知x+2y＝5，2y﹣x＝3，则代数式x2﹣4y2+2x﹣4y的值为（ ）
A．9 B．﹣12 C．﹣21 D．2
5．下列说法正确的是（ ）
A．当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系
B．某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价可以表示为1.1（x﹣80）元
C．观察﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，则第10个数是512
D．代数式x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和
6．若k为任意整数，则（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能（ ）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
7．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是（ ）
A．x2+2x＝x（x+2） B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
9．已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最小值是（ ）
A．20 B．30 C．32 D．37
10．已知实数m，n满足m3﹣9m2+29m﹣18＝0，n3﹣9n2+29n﹣48＝0，则m+n等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：5x3y﹣20xy3＝ ．
12．已知a，b，c为△ABC三边的长，若b2+2c2+a2＝2c（a+b），则△ABC的形状为 ．
13．如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 ；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 ．
14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式9x3﹣xy2，取x＝11，y＝6时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
15．若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是16，且十位数字与个位数的和能被4整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
三．解答题（共7小题）
16．（1）若a﹣b＝4，ab＝2，求a2b﹣ab2的值；
（2）分解因式：am2﹣6am+9a．
17．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
（1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为 ．
（2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值．
（3）观察图3，
①从图3中得到（a+2b+c）2＝ ．
②根据得到的结论，解决问题：
已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值．
18．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣3x＝y．
原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）．
＝y2+6y+9（第二步）．
＝（y+3）2（第三步）．
＝（x2﹣3x+3）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提公因式法
B．公式法
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
19．已知三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即a＜b＜c），求证：代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是一个定值，并求出这个定值．
20．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：22＝1+12+2；
第2个等式：32＝2+22+3；
第3个等式：42＝3+32+4；
第4个等式：52＝4+42+5；
（1）请用此方法拆分20252＝ ；
（2）请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的；
（3）嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
21．（1）已知a，b，c为整数，且c≠0，若多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+2x﹣3整除，求的值．
（2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除．
22．如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中a≠2b．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．
（2）已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和．
因式分解单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C D A D D A A
1．解：根据因式分解的定义：
A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，属于整式的乘法，A不符合题意；
B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，
故B不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，
故C不符合题意；
D、x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，属于因式分解，
故D符合题意；
故选：D．
2．解：原式＝22024﹣22024×2
＝22024×（1﹣2）
＝﹣22024，
故选：C．
3．解：根据因式分解的方法，逐项分析判断如下：
A、ax+ay﹣a＝a（x+y﹣1），选项错误，不符合题意；
B、a2+b不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
C、多项式不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），选项正确，符合题意；
故选：D．
4．解：x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2），
因为x+2y＝5，2y﹣x＝3，
所以原式＝（﹣3）×（5+2）＝﹣21．
故选：C．
5．解：根据字母表示数，数字类规律探究，列代数式以及代数式的意义根据以上知识逐项分析判断如下：
A．当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故该选项不正确，不符合题意；
B．某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价可以表示为（1.1x﹣80）元，故该选项不正确，不符合题意；
C．观察﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，则第10个数是1024，故该选项不正确，不符合题意；
D．代数式x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
6．解：（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k；
∵k为任意整数，
∴4k为整数，
∴4k一定能被4整除，
∴（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能被4整除，
故选：A．
7．解：∵a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，
∴a﹣b＝（2023x+2022）﹣（2023x+2023）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2023
＝﹣1，
a﹣c＝（2023x+2022）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2024
＝﹣2，
b﹣c＝（2023x+2023）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2023﹣2023x﹣2024
＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝3，
故选：D．
8．解：∵x2+2x+x+2＝（x+1）（x+2），
∴x2+3x+2＝（x+2）（x+1），
故选：D．
9．解：mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，
m（n﹣2）﹣3n+6﹣6﹣20＝0，
m（n﹣2）﹣3（n﹣2）﹣26＝0，
（m﹣3）（n﹣2）＝26，
∵m，n均为正整数，
∴26＝1×26，或26＝2×13，
∴，，，，
∴m+n＝32，m+n＝32，m+n＝20，m+n＝20，
∴m+n的最小值为20．
故选：A．
10．解：∵m3﹣9m2+29m﹣18＝m3﹣3m2×3+3m×32﹣33+2m+9＝（m﹣3）3+2m+9＝0，
n3﹣9n2+29n﹣48＝n3﹣3n2×3+3n×32﹣33+2n﹣21＝（n﹣3）2+2n﹣21＝0，
两式相加可得，（m﹣3）3+2m+9+（n﹣3）3+2n﹣21＝0，
∴（m﹣3）3+（n﹣3）3＝﹣2[（m+n）﹣6），
∴（m+n﹣6）[（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2]＝﹣2[（m+n）﹣6]，
∴（m+n﹣6）[（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2]＝0，
若（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2＝0，看成是以m﹣3为未知数的一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（n﹣3）]2﹣4×1×[（n﹣3）2+2]＝﹣3（n﹣3）2﹣8＜0，
∴（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2＝0，没有实数根，
∴（m﹣3）2﹣（m﹣3）（n﹣3）+（n﹣3）2+2≠0，
∴m+n﹣6＝0，
∴m+n＝6．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解：5x3y﹣20xy3
＝5xy（x2﹣4y2）
＝5xy（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：5xy（x+2y）（x﹣2y）．
12．解：因为b2+2c2+a2＝2c（a+b），
即b2+2c2+a2﹣2ac﹣2bc＝0，
即（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
得：b﹣c＝0，a﹣c＝0，
所以b＝c，a＝c，
所以a＝b＝c，
所以△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
13．解：①∵是“跳跃数“，
∴43+10m+7＝5（4+m+3+7），
解得m＝4，
∴这个数为4437；
②设满足条件的“跳跃数”的最大值是，
∴90+c+10b+d＝5（9+b+c+d），
∴b9，
∵b，c，d是0～9中的整数，
∴c+d＝15，b＝3，
∴满足条件的“跳跃数”的最大值是，
∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，
且930+c﹣（300+10c+d）＝630﹣9c﹣d＝7（90﹣c）﹣（2c+d），
∴2c+d是7的倍数，
∵c+d＝15，
∴c+15的7的倍数，
∴c最大为6，
∴d＝9，
∴满足条件的“跳跃数”的最大值是9369；
故答案为：9369．
14．解：9x3﹣xy2
＝x（9x2﹣y2）
＝x（3x+y）（3x﹣y）．
当x＝11，y＝6时，
各个因式的值是：x＝11，3x+y＝39，3x﹣y＝27．
用上述方法产生的密码是：113927或112739或391127或392711或273911或271139．
故答案为：113927（答案不唯一）．
15．解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，
则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．
∴最小的“交替数”是1001；
根据题意知：a2﹣b2＝16，c+d＝4k（k是正整数），a+c＝b+d，
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16＝16×1＝8×2＝4×4，且0≤a≤9，0≤b≤9，
∴或或，
解得（舍去）或或，
∵a+c＝b+d．
∴c﹣d＝b﹣a，
∴c﹣d＝﹣2或c﹣d＝﹣4，
∵c+d＝4k（k是正整数），
∴c+d＝4或8或12或16，
∴或或或或或或或，
解得或或或或或或或（舍去），
∴a＝5，b＝3，c＝1，d＝3，即5313；
或a＝5，b＝3，c＝3，d＝5，即5335；
或a＝5，b＝3，c＝5，d＝7，即5357；
或a＝5，b＝3，c＝7，d＝9，即5379；
或a＝4，b＝0，c＝0，d＝4，即4004；
或a＝4，b＝0，c＝2，d＝6，即4026；
或a＝4，b＝0，c＝4，d＝8，即4048；
故所有的“交替数”是5313或5335或5357或5379或4004或4026或4048，
最大的“交替数”为5379，
故答案为：1001，5379．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）因为a﹣b＝4，ab＝2，
所以a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝2×4
＝8；
（2）am2﹣6am+9a
＝a（m2﹣6m+9）
＝a（m﹣3）2．
17．解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24，
ab＝[（2a+b）2﹣（4a2+b2）]÷4
＝[62﹣24]÷4
＝12÷4
＝3，
图中阴影部分的面积为：ab；
故答案为：．
（2）因为（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，
设2025﹣y＝a，y﹣2024＝b，
所以2ab＝﹣2，ab＝﹣1，
所以a+b＝1，
（2025﹣y）2+（y﹣2024）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝1+2
＝3．
（3）①（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab，
故答案为：a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab；
②因为a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，
所以4ab+2ac+4bc
＝（a+2b+c）2﹣（a2+4b2+c2）
＝52﹣13
＝12，
因为，a+2b+c＝5，
（4ab+2ac+4bc）2
＝16a2b2+4a2c2+16b2c2+16a2bc+16abc2+32ab2c
＝16a2b2+4a2c2+16b2c2
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8a+16b+8c
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8（a+2b+c）
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8×5
＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+40
＝122，
所以4a2b2+a2c2+4b2c2
＝（122﹣40）÷4
＝104÷4
＝26．
18．解：（1）y2+6y+9＝（y+3）2，用到的是公式法；
故答案为：B；
（2）设y＝x2+2x，
∴（x2+2x）（x2+2x+2）+1
＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝（x+1）4．
19．证明：因为三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即a＜b＜c），
所以a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝3，
所以代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是一个定值，这个定值是3．
20．解：（1）第1个等式：22＝1+12+2；
第2个等式：32＝2+22+3；
第3个等式：42＝3+32+4；
第4个等式：52＝4+42+5；
……，
以此类推，可知第2024个等式：20252＝2024+20242+2025．
故答案为：2024+20242+2025；
（2）由（1）可知含n的等式是n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n．
理由：∵右边＝n﹣1+n2﹣2n+1+n＝n2，
左边＝n2，
∴左边＝右边，
∴n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n成立．
（3）如图所示，即为所求．
21．（1）解：由题意可知存在整数m，使得x3+ax2+bx+c＝（x+m）（x2+2x﹣3）．
即x3+ax2+bx+c＝x3+（2+m）x2+（2m﹣3）x﹣3m．
所以，a＝2+m，b﹣2m﹣3，c＝﹣3m．
所以，．
（2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或2．
①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为3k1+1，3k2+2，其中k1，k2为整数．
所以，．
由k1，k2为整数，可知为整数．
所以，能被3整除．
②若两个不能被3整除的整数的余数均为r（r＝1，2），则可设这两个整数分别为3k3+r，3k4+r其中k3，k4为整数．
所以，，
由k3，k4及r为整数，可知为整数，
所以，能被3整除．
综上所述，结论成立．
22．解：（1）如图，
拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形
∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）；
（2）由题意得（a+b）＝3，ab＝1
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝7．
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