第二章 直角三角形的边角关系 单元测试（基础卷）（含答案）初中数学鲁教版（五四制）（2024）九年级上册

直角三角形的边角关系单元测试（基础卷）
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝5，，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．化简（﹣2）2+tan45°﹣2cos60°的结果为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．5
3．如图，在电线杆离地面8米高的点A处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成52°角，则该缆绳AC的长为（　　）
A． B． C． D．8 sin52°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
5．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（　　）
A． B． C． D．2
6．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（　　）
A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．米
7．如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sin∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
8．一个立方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为（　　）
A．210° B．150° C．130° D．120°
9．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
10．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．4.5千米
二．填空题（共5小题）
11．计算：tan260°﹣2cos30°＝ 　 　 ．
12．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为130m的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为 　 　 m（用含α的式子表示）．
13．锐角△ABC中，sinAtanC，则△ABC的形状是　 　 ．
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，BD平分∠ABC，交AC与点D，，，则BC＝ 　 　 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的中点，DE⊥AB于点E，O是DE的中点，连接AO并延长交BC于点F，已知，AB＝8，则OF的长为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．计算：．
17．计算：．
18．某数学兴趣小组以测量本校教学楼的高度为主题开展综合与实践活动，记录如下：请你从以上两种方法中任选一种，计算教学楼AB的高度（结果取整数）．
活动项目 测量教学楼高度
测量方案 方案一 方案二
测量工具 皮尺，测角仪
方案 示意图
实施过程 ①选取与楼房底部A位于同一水平地面的C，D两处； ②测量C，D两点间的距离； ③在C，D两处，用测角仪分别测量楼顶B的仰角∠ACB，∠ADB． ①选取教学楼对面的实验楼C处； ②在C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角∠ACE和教学楼顶部B点的仰角∠ECB； ③测量C到地面的高度CD．
测量数据 1．CD＝4.2m； 2．∠ACB＝38.7°，∠ADB＝45°． 1．CD＝7.4m； 2．∠ACE＝30°，∠BCE＝37°．
备注 ①图上所有点均在同一平面内，且点C，D，A在同一条直线上，测角仪高度忽略不计； ②AB与地面垂直； ③：参考数据tan38.7°≈0.80， ①图上所有点均在同一平面内，测角仪高度忽略不计； ②AB，CD均于地面垂直； ③参考数据：sin37°＝0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，．
19．图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝3m，折臂底座高CD＝3m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝85°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是6m．（参考数据：sin40°≈0.642，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
（1）求下折臂DE的长；
（2）求路灯AB的高．（结果精确到0.1m）
20．屏峰塔位于河南省新密市城区青屏山顶西侧，如图，塔顶记作点A，其正下方水平地面上的点记作点B，张老师站在附近的水平地面上，他想知道屏峰塔的高度．从点C让无人机沿直线匀速飞行2秒到点O处后，悬停一会后沿直线匀速飞行5秒到点A．当无人机在点O处悬停时，测得塔顶A的仰角为45°，地面点C的俯角为60°．若无人机的速度始终为3.6米/秒，求屏峰塔AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：
21．黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度MN为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角30°，看迎客松根部B的俯角∠CMB＝45°．已知迎客松所处位置的海拔高度BD为1670米，求迎客松的高度AB．（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
22．近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5.5米，与水平线的夹角为16°．
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与水平线CE的夹角为45°时，量得CD为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
直角三角形的边角关系单元测试（基础卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D A B B C C
1．解：如图，
∵AC＝5，，
∴，
∴．
故选：B．
2．解：（﹣2）2+tan45°﹣2cos60°
＝4+1﹣2
＝4．
故选：B．
3．解：由题意得，，而AB＝8，∠ACB＝52°，
∴，
故选：A．
4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，
∴sinA，
故选：C．
5．解：由图可得，tanα＝2÷1＝2．
故选：D．
6．解：在Rt△A′OH中，OA′＝4米，∠A′HO＝90°，∠AOA'＝47°，
∴sin∠AOA′，
∴A′H＝OA′ sin∠AOA′＝4sin47°（米）．
故选：A．
7．解：如图，CD＝3，
由勾股定理得AC5，
∴；
故选：B．
8．解：如图，∵重力G的方向竖直向下，∠1＝30°，
∴∠3＝60°，
∴∠4＝∠3＝60°，
∵摩擦力F1的方向与斜面平行，
∴∠5＝180°﹣∠4＝120°，
∵支持力F2的方向与斜面垂直，
∴∠2＝360°﹣∠5﹣90°＝150°，
故选：B．
9．解：如图，设小正方形边长为1，AE⊥CE，
∵AC5，
∴．
故选：C．
10．解：过A点作AH⊥BC于H点，如图，
∵点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°，
∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝45°，
∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△ABH中，∵∠B＝45°，
∴AH＝BHAB33（km），
在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，
∴CHAH3（km），
∴BC＝BH+CH＝（3）km．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：原式，
，
故答案为：．
12．解：如图，
∵底部是边长为130m的正方形，
∴BC130＝65（m），
∵AC⊥BC，∠ABC＝α，
∴AC＝BC tanα＝65tanα（m），
故答案为：65tanα．
13．解：∵sinAtanC，
∴sinA，tanC，
∴∠A＝60°，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
14．解：如图，过点B作BE⊥CA交CA延长线于点E，则∠E＝90°，
由条件可知∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∵，
∴，
∴，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，∠BDE＝∠EBD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAE﹣∠BDE＝60°﹣45°＝15°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝30°，
∴∠C＝∠BAE﹣∠ABC＝30°，
又∵∠E＝90°，
∴BC＝2BE＝2×3＝6．
故答案为：6．
15．解：如图，作OH∥CB交BD于点H，
由平行可得∠DOH＝∠DEB，∠DHO＝∠B，
∴△DOH∽△DEB，
又∵O是ED的中点，
∴，
∵D是AB边上的中点，AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴DH＝BH＝2，
又∵DE⊥AB，，
∴，
∴，
∵BE2﹣DE2BE2＝BD2＝16，
∴BE＝5，
∴，
∵O是DE的中点，
∴，
∴，
∵OH∥CB，
∴，即，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解：
＝2﹣1
＝1．
17．解：原式
＝2．
18．解：方案一：
∵，
∴∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，
∵∠ACB＝38.7°，
∴，
即AB＝（AD+CD） tan38.7°．
设AB＝AD＝x m，
可得x＝（x+4.2）×0.8，
解得x＝16.8≈17．
答：AB的高度约为17m；
方案二：
由题意，可知AE＝CD＝7.4m，CE⊥AB，
∵AE＝7.4m，∠ACE＝30°，
∴，
∵CE≈12.8m，∠BCE＝37°，
∴BE＝CE tan∠BCE＝12.8×tan37°≈9.6m，
∴AB＝AE+BE≈7.4+9.6＝17（m），
答：教学楼的高AB约为17m；
19．解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，
则∠HGC＝∠DCG＝∠GHD＝90°，
∴四边形HGCD是矩形，
∴HG＝DC＝3m，∠HDC＝90°，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝135°﹣90°＝45°，
∴△EDH为等腰直角三角形，HE＝HD，
∴EH＝HD＝EG﹣HG＝3（m），
∴；
（2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．
则EK∥HD，
∴∠KED＝∠EDH＝45°．
∵∠AED＝85°，
∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝40°．
∵GC＝HD＝3m，BC＝3m，
∴BG＝BC+CG＝3+3＝6（m），
同理可得四边形EGBK是矩形，
∴EK＝6m，KB＝EG＝6m，
∴（m），
∴AK＝6×0.839≈5.034（m），
∴AB＝KB+AK＝5.034+6≈11.0（m），
答：路灯AB的高约为11.0m．
20．解：过点O作OD⊥AB于点D，过点C作CE⊥OD于点E，
∵四边形BCED是矩形，
∴CE＝BD，
∵∠COE＝60°，CO＝2×3.6＝7.2米，
∴米，
在Rt△AOD中，∠ADO＝90°，∠AOD＝45°，AO＝5×3.6＝18米，
∴米，
∴米，
答：屏峰塔AB的高度为16米．
21．解：如图，延长DA，交MC于点C，过点B作BE⊥MN于点E，
由题意得：NE＝BD＝1670米，∠MCB＝90°，∠MEB＝90°．
∵MN＝1703米，NE＝1670米，
∴ME＝BC＝MN﹣NE＝33（米）．
∵∠CMB＝45°，
∴MC＝BC＝33米．
∵在Rt△MCA中，∠CMA＝35°，
∴AC＝MC tan∠CMA≈33×0.70＝23.1（米），
∴AB＝BC﹣AC＝33﹣23.1＝9.9（米），
答：迎客松的高度约为9.9米．
22．解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∴AF＝AB cos16°≈5.5×0.96＝5.28（米），
（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，
由题意得：AG＝CF，AF＝CG＝5.28（米），
∵CD＝1.78（米），
∴DG＝CG﹣CD＝5.28﹣1.78＝3.5（米），
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG＝3.5（米），
∴CF＝DG＝3.5（米），
在Rt△ABF中，
∴BF＝AB sin16°≈5.5×0.28＝1.54（米），
∴BC＝BF+CF＝1.54+3.5＝5.04（米）．
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