人教版（2019）>必修 第一册 第三章相互作用 -力 单元测试（含解答）

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第三章相互作用 -力
一、单选题
1.如图，为细绳拉某重物的简化装置简化图，轻杆为可绕点且垂直于纸面的轴转动的杆，为轻绳，重物平衡时角度关系如图所示，轻杆在、、图中受力分别为、、的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
2.鸟类随季节迁移是它们的生存法则，如图是一只小鸟秋季返回南方过冬迁移过程中停在竹枝上休息而使得竹枝发生弯曲，若小鸟保持静止状态，下列说法正确的是( )
A. 竹枝对小鸟的支持力方向沿竹枝指向右上方
B. 竹枝对小鸟的支持力是由于竹枝发生形变产生的
C. 小鸟对竹枝的压力大于竹枝对小鸟的支持力
D. 竹枝弯曲是因为小鸟的重力大于竹枝对小鸟的作用力
3.如图所示，长木板放在水平地面上，物块放在长木板上表面右端，给施加一个水平向左、大小为的拉力，使物块在长木板上表面向左匀速运动，长木板仍保持静止，长木板足够长，则在上表面运动过程中( )
A. 受到的摩擦力与拉力大小相等，方向相反
B. 受到地面的摩擦力小于
C. 突然增大拉力，地面对的摩擦力大小不变
D. 突然减小拉力，地面对的摩擦力会减小
4.泉州的元宵花灯是国家级非遗项目。如图，一灯笼用轻绳连接并悬挂在横梁上，在水平风力作用下发生倾斜。若轻绳与竖直方向的夹角缓慢增大，下列说法正确的是( )
A. 该过程中，轻绳拉力变大
B. 该过程中，灯笼所受合力变大
C. 绳对灯的拉力与灯的重力是一对平衡力
D. 绳对灯的拉力与横梁对绳的拉力是一对作用力与反作用力
5.如图所示，一个可视为质点的木块在斜面上下滑，斜面在水平地面上保持不动，则下列说法正确的是( )
A. 如果木块匀速下滑，则地面对斜面的静摩擦力方向水平向左
B. 如果木块匀速下滑，则斜面对地面的静摩擦力方向水平向右
C. 如果木块加速下滑，则地面对斜面的静摩擦力方向水平向左
D. 如果木块减速下滑，则斜面对地面的静摩擦力方向水平向右
6.如图甲所示是风筝在空中悬停的情景，图乙是其简化图。若风筝的重力为，在牵线的拉力和垂直于风筝面的恒定风力的共同作用下处于平衡状态，则下列说法正确的是
A. 风筝在空中所受合力竖直向上
B. 风力和牵线的拉力的合力竖直向上
C. 风对风筝的作用力小于风筝对风的作用力
D. 沿竖直方向的分力与沿竖直方向的分力大小相等
7.石墩路障在生活中很常见，对于保障行车安全和管制交通秩序发挥重要作用。如图甲所示，工人用叉车将一球形石墩路障运送至目的地，拉动装置的结构简易图如图乙所示，，两叉车臂相互平行且间距等于石墩半径。在水平匀速拉动叉车的过程中，叉车臂与水平方向夹角维持为。不计球形石墩表面摩擦，则单个叉车臂受到石墩的压力大小为 石墩重力为
A. B. C. D.
8.宋应星，宜春奉新人，其所著天工开物一书是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作。其中描述的利用耕牛整理田地的场景如图甲所示，简化的物理模型如图乙所示：人站在水平木板上，两根绳子相互平行垂直于木板边缘与水平地面夹角，人与木板的总重力为，木板与地面动摩擦因数，若人与木板匀速前进，以下说法正确的是( )
A. 木板对地面的压力
B. 每根绳中的拉力
C. 若可调，则当绳子水平时有最小值
D. 若可调，则当绳子与水平面夹角正切值为时有最小值
9.如图所示，光滑定滑轮固定在天花板上，轻绳绕过定滑轮，一端竖直悬挂质量为的小球，另一端连接质量为的圆环，圆环套在粗糙水平杆上。一水平向左的力作用在圆环上，使轻绳和杆之间夹角为，整个系统保持静止状态。已知重力加速度为，下列说法正确的是( )
A. 杆对圆环摩擦力的方向一定向右 B. 杆对圆环摩擦力的方向可能向左
C. 定滑轮对轻绳作用力的方向竖直向上 D. 定滑轮对轻绳作用力的大小为
10.如图所示，一根遵循胡克定律的轻质弹性绳，其一端固定在天花板的点，另一端连接着质量为的物块。当系统静止时，绳子竖直，物块恰好与地面接触，但没有挤压作用。在点正下方的点右侧安装一个光滑定滑轮。接着，将物块替换为一个形状相同但质量为的物块，并施加一个水平力，使物块沿水平方向缓慢地向右移动一段距离弹性绳始终在弹性限度内。已知间距离等于弹性绳的自然长度。物块与地面之间的动摩擦因数保持不变。对于该过程，下列说法正确的是( )
A. 地面对物块的支持力越来越小 B. 先增大后减小
C. 物块受到地面的摩擦力逐渐减小 D. 物块对地面的压力始终为
11.如图所示，粗糙的正方形斜面与水平面间的夹角。一质量为的物体受到与对角线平行的恒力作用，恰好能沿斜面的对角线做匀速直线运动，重力加速度为，则
A. 物体与斜面间的动摩擦因数为 B. 物体与斜面间的动摩擦因数为
C. 恒力的大小为 D. 恒力的大小为
12.“奇迹石”是有名的景点，有一块大的石头卡在两个绝壁间，如图甲所示。将该景观简化成如图乙所示的模型，右壁竖直，左壁稍微倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为，石头的质量为，忽略一切摩擦。下列说法中正确的是( )
A. 石头对右壁的压力与右壁对石头的压力相互平衡
B. 石头对左壁的压力大小小于石头的重力大小
C. 石头对左壁的压力大小为
D. 若随着风化程度的增加，导致夹角减小，石头仍卡在两壁之间，则石头对左壁的压力也减小
13.油纸伞制作工艺是我国非物质文化遗产之一。如图甲中的油纸伞共有根伞骨，忽略伞托所受重力和摩擦力，当伞托受到推力缓慢上移至伞骨与伞杆间的夹角为时，如图乙所示，伞托对每根伞骨的支持力满足( )
A. B. C. D.
14.如图所示，吊车悬臂的一端装有大小不计的定滑轮，另一端可绕点转动，绕过定滑轮的钢索通过四条相同的绳、、、吊着一长方形混凝土板。忽略一切摩擦，钢索和绳的质量均不计，当悬臂与竖直方向的夹角缓慢减小时，下列说法正确的是( )
A. 钢索受到的拉力逐渐变小
B. 吊车对地面的摩擦力逐渐变小
C. 钢索对定滑轮的作用力逐渐变大
D. 若四条绳增加相同的长度，则四条绳受到的拉力均变大
15.如图，重物用，两绳悬挂，处于静止状态，保持绳与竖直方向的夹角不变，角逆时针缓慢转动使绳到竖直方向的过程中，，两绳上张力和变化是( )
A. 逐渐增大，逐渐减小 B. 逐渐增大，逐渐增大
C. 逐渐减小，先逐渐增大后逐渐减小 D. 逐渐减小，先逐渐减小后逐渐增大
16.如图甲所示为一鸡蛋收纳架，利用斜坡使鸡蛋自动滚下，斜坡底端有一竖直挡板。现将个鸡蛋放置在鸡蛋架上，将鸡蛋简化为质量为，半径为的球，图乙为正视图。已知斜坡倾角，重力加速度大小为，不计一切摩擦。下列说法正确的是( )
A. 鸡蛋架对号鸡蛋的作用力大小为
B. 号鸡蛋对号鸡蛋的支持力大小为
C. 鸡蛋架对号鸡蛋的支持力大小为
D. 竖直挡板对号鸡蛋的支持力大小为
二、多选题
17.建筑工地上，工人用滑轮来提升物体，如图所示，工人的质量为，物体的质量为，且，若不计绳与滑轮的摩擦，则当人拉着绳向右跨出一步后，人和物体仍保持静止，则下列说法正确的是( )
A. 人对绳的拉力增大 B. 人对地面的作用力增大
C. 地面对人的支持力不变 D. 地面对人的摩擦力增大
18.如图所示，将一劲度系数为的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为的半球形容器的底部处为球心，竖直，弹簧另一端与质量为的小球相连，小球静止于点，与水平方向的夹角为。若换为与质量为的小球相连，小球将静止于点图中未画出，重力加速度为，下列说法正确的是 ( )
A. 容器对小球的作用力大小为
B. 弹簧对小球的作用力大于对小球的作用力
C. 弹簧的原长为
D. 的长度为
19.如图所示，质量均为的，两滑块放在粗糙水平地面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链不计质量连接，在两杆铰合处悬挂一质量为的重物，整个装置处于静止状态，设杆与水平方向间的夹角为，重力加速度为，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。下列说法正确的是( )
A. 当一定时，越大，每根轻杆对滑块的弹力越大
B. 当、一定时，每个滑块对地面的压力大小均为
C. 当和一定时，每个滑块与地面间的摩擦力大小均为
D. 不管取何值，只要不断增大，滑块一定会滑动
20.如图所示，表面光滑的物块在水平力的作用下静止在倾角为的斜面上，斜面静止在水平地面上，下列说法正确的是( )
A. 物块受到的重力大小为 B. 物块受到的支持力大小为
C. 对的作用力等于 D. 斜面受到地面的摩擦力大小等于
21.如图，右侧面光滑的斜面体放在水平面上，质量相等的物块、分别放在斜面体的左右两个面上，、拴接在跨过光滑定滑轮的轻质细绳两端，整个系统处于静止状态。现对施加一始终与右侧轻绳垂直的外力，使缓慢移动至右侧细绳水平，该过程斜面体和始终保持静止。在物块缓慢移动的过程中，下列说法正确的是( )
A. 外力逐渐减小 B. 轻绳的拉力逐渐减小
C. 所受摩擦力逐渐增大 D. 斜面对地面的摩擦力先增大后减小
三、计算题
22.两根细线、和一个轻弹簧将质量分别为和的两个小球和连接并悬挂，如图所示。两小球处于静止状态，细线与竖直方向的夹角为，轻弹簧水平。重力加速度大小为，，，求：
细线对小球的拉力大小和弹簧对小球的拉力大小；
细线对小球的拉力。
23.如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为，轻绳水平且端与站在水面上的质量为的人相连，轻绳与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态。求：
轻绳、受到的拉力是多大？
人受到的摩擦力是多大？方向如何？
24.如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，质量分布均匀的光滑球和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球放在容器内处于平衡状态，已知容器、、半径之比为，球的质量为，一水平力作用在球上，且力的延长线过球球心，缓慢推动球，重力加速度为，球的体积公式为。
当球的球心与半圆形容器的球心在同一竖直线上时，求水平力的大小
如果水平力作用在球上，且力的延长线过球球心，缓慢推动球，当球的球心与半圆形容器的球心在同一竖直线上时，求水平力的大小。
25.一均匀铁链，重为，由为偶数个相同、粗细不计的圆形小铁环串联构成，铁链左右两端的小铁环对称套在水平细杆上后恰好处于静止状态，如图甲所示，铁链与水平杆之间的动摩擦因数为，忽略铁环之间的摩擦，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
在其中一个悬挂点，水平杆对小铁环的弹力大小；
处于最低位置相邻的两个小铁环之间的弹力大小及图乙中和两个相邻小铁环之间的弹力大小为铁链右边最低位置的小铁环；
若为奇数，则最低处的小铁环与相邻小铁环之间的弹力大小。
26.如图所示，物块放置于水平桌面上，轻绳与轻质弹簧的左端及轻绳的上端连接于点，弹簧中轴线沿水平方向，轻绳与竖直方向夹角，整个系统均处于静止状态，不计绳与滑轮间的摩擦。已知物块和的质量分别为，，弹簧的伸长量为，，，重力加速度取。求：
弹簧的弹力大小和劲度系数
物块与桌面间的动摩擦因数至少多大
地面对桌子的摩擦力大小与方向。
答案和解析
1.【答案】
【解析】 分别对两种形式的结点进行受力分析，作出各受力分析图，设杆子的作用力分别为、，各图中，如图所示：
在图中：，在图中：，在图中：，可知，根据牛顿第三定律可知、、和、、等大反向，所以；
故D正确，ABC错误。
2.【答案】
【解析】A.竹枝对小鸟的支持力方向垂直竹枝指向右上方，故A错误；
B.竹枝对小鸟的支持力是由于竹枝发生形变产生的，故B正确；
C.小鸟对竹枝的压力和竹枝对小鸟的支持力是相互作用力，大小相等，故C错误；
D.小鸟保持静止状态，由平衡条件可知，小鸟的重力等于竹枝对小鸟的作用力，故D错误。
3.【答案】
【解析】A.物块在长木板上表面向左匀速运动，长木板仍保持静止，则对的摩擦力方向向右大小等于，根据牛顿第三定律，则受到的摩擦力与拉力大小相等，方向相同，故A错误；
B.物块在长木板上表面向左匀速运动，长木板仍保持静止，受到地面的摩擦力与对的摩擦力等大反向，即大小等于，故B错误；
C.突然增大拉力，物块在长木板上表面向左加速运动，受到的摩擦力仍为滑动摩擦力，大小与方向均不变，故地面对的摩擦力大小不变，故C正确；
D.突然减小，但是由于正压力不变，则对的滑动摩擦力大小不变，因此地面对的摩擦力大小不变，故D错误。
4.【答案】
【解析】、设轻绳与竖直方向的夹角为，由平衡条件知，绳子的拉力，当轻绳与竖直方向的夹角缓慢增大时，灯笼一直处于平衡状态，其所受的合力不变，恒为，而绳子的拉力变大，故A正确，B错误；
C、绳对灯的拉力与灯的重力不在一条直线上，两者不可能是一对平衡力，故C错误；
D、绳对灯的拉力施力物体是绳，受力物体是灯笼，横梁对绳的拉力的施力物体是横梁，受力物体是绳，可见两者不是一对相互作用力，故D错误。
5.【答案】
【解析】木块匀速运动时，由平衡条件知，木块对斜面的作用力方向竖直向下，斜面在水平方向没有相对运动的趋势，故地面对斜面没有摩擦力，故 AB错误
C.若木块加速下滑，则木块在水平方向有向左的加速度，由牛顿第二定律知，在水平方向上斜面对木块的作用力向左，由牛顿第三定律知，木块对斜面有向右的作用力，故斜面受到地面的摩擦力方向水平向左，故C正确
D.若木块减速下滑，则物体在水平方向有向右的加速度，由牛顿第二定律知，在水平方向上斜面对物体的作用力向右，由牛顿第三定律知，物体对斜面有向左的作用力，故斜面受到地面的摩擦力方向水平向右，斜面对地面的静摩擦力方向水平向左，故 D错误。
6.【答案】
【解析】、风筝在空中处于平衡状态，由平衡条件可知，风筝所受合力为零，故A错误；
B、对风筝受力分析，如图所示。
由平衡条件可知，风力和牵线的拉力的合力竖直向上，合力大小等于重力，故B正确；
C、根据牛顿第三定律可知，风对风筝的作用力与风筝对风的作用力等大，故C错误；
D、由力的平衡条件可知，沿竖直方向的分力大小等于沿竖直方向上的分力大小与重力的大小之和，故D错误。故选：。
7.【答案】
【解析】从侧面观察运载中的石墩，其受力分析如图甲所示，
由平衡条件有。从正面观察运载的石墩，黑色部分为两条叉车臂，石墩受力分析如图乙所示，为单个叉车壁对石墩的支持力，则有，由牛顿第三定律可知单个叉车壁受到石墩的压力为，故B正确。
8.【答案】
【解析】、人与木板匀速前进，由平衡条件：，
又，其中
联立知，每根绳子中的拉力大小为：
代入数据解得：
木板所受的支持力大小：
解得：
由牛顿第三定律可知，木板对地面的压力大小为
故AB错误；
、由前面的分析知：
其中，则当，即时，拉力有最小值，此时，可见当绳子与水平面夹角正切值为时拉力有最小值，故C错误，D正确。
故选：。
9.【答案】
【解析】小球静止，由平衡条件知，绳子拉力大小为，由于，则圆环不受杆的支持力作用，可见杆对圆环没有摩擦力，由力的合成知，轻绳对动滑轮的作用力大小，方向与竖直方向成角斜向左下方，由牛顿第三定律知，定滑轮对轻绳作用力的方向与竖直方向成角斜向右上方，大小为。故D正确，ABC错误。
10.【答案】
【解析】A.物块受重力 ，弹性绳的弹力 和地面的支持力 ，平衡方程为
设弹性绳的形变量为 ，劲度系数为 ，弹性绳与竖直方向的夹角为 ，由几何关系可得
当系统静止时，绳子竖直，物块恰好与地面接触，但没有挤压作用，可知
故
地面对物块的支持力不变，A错误；
B.水平方向，根据平衡条件可得
代入数据得
当 增大， 增大， 增大， 随 增大而增大，B错误；
C.滑动摩擦力
因地面对物块的支持力 恒定，物块受到地面的摩擦力不变，C错误；
D.根据牛顿第三定律，物块对地面的压力与地面对它的支持力 大小相等，即压力为 ，D正确。
故选D。
11.【答案】
【解析】物块匀速运动，则受力平衡，对物块受力分析可得
其中解得
，；
故A正确，BCD错误。
12.【答案】
【解析】石头对右壁的压力与右壁对石头的压力，是一对相互作用力，故A错误；
根据共点力平衡条件可知，石头受到重力石头对左壁的压力为，石头对右壁的压力为，按照效果分解如图所示
可知
根据牛顿第三定律可知石头对左壁的压力大小为
根据牛顿第三定律可知石头对左壁的压力大小为，故B错误，C正确；
D.随着风化程度的增加，导致夹角减小，和都减小，石头对左壁的压力增大，故D错误。
故选：。
根据受力平衡，对石头受力分析，结合几何关系，牛顿第三定律，可分析出各个选项。
学生在解答本题时，应注意对于受力分析问题，要熟练掌握力的合成与分解。
13.【答案】
【解析】由平衡得
得
根据牛顿第三定律，伞托对每根伞骨的支持力为
故选D。
14.【答案】
【解析】A.当悬臂与竖直方向的夹角缓慢减小时，混凝土板受力平衡，由平衡条件得，即钢索对混凝土板的拉力保持不变，由牛顿第三定律可知钢索受到的拉力保持不变，故A错误；
B.对整体受力分析，水平方向不受外力，吊车不受地面的摩擦力，由牛顿第三定律可知，吊车对地面的摩擦力始终为零，故B错误；
C.钢索对定滑轮的作用力为两根钢索的合力，悬臂与竖直方向的夹角缓慢减小过程中，两根钢索拉力大小不变，夹角变小，所以合力逐渐变大，即钢索对定滑轮的作用力逐渐变大，故C正确；
D.若四条绳增加相同的长度，由几何知识可知绳子与竖直方向夹角变小，
根据平衡条件有可知四条绳受到的拉力均变小，故D错误。
故选：。
15.【答案】
【解析】【分析】
本题采用图解法研究动态平衡问题，图解法形象、直观、能直接反映力的变化情况。
作图时要抓住张力和的合力不变，绳的方向不变，再由几何知识进行分析。
【解答】
以结点为研究对象，分析受力情况，由平衡条件得知，、两绳上张力和的合力与重力大小相等、方向相反，保持不变，作出绳在三个不同位置时力的合成图，如图
在绳从三个位置的过程中，可以看出，当两绳相互垂直时，最小，可见，逐渐减小，先逐渐减小后逐渐增大，故ABC错误，D正确。
故选D。
16.【答案】
【解析】、对号鸡蛋分析，其受到重力、鸡蛋架的作用力及号鸡蛋的支持力，根据平衡条件可知，鸡蛋架对号鸡蛋的作用力大小为，号鸡蛋对号鸡蛋的支持力大小为，故A正确，B错误；
C、对号鸡蛋分析，在垂直于鸡蛋架方向上，根据平衡条件可知，鸡蛋架对号鸡蛋的支持力大小为，故C错误；
D、对个鸡蛋整体分析可知，其受力如图所示。
竖直挡板对号鸡蛋的支持力为，故D错误。
17.【答案】
【解析】A.物体受重力和拉力而平衡，故绳子的拉力不变，故人对绳的拉力不变，故A错误；
人受重力、支持力、拉力和静摩擦力处于平衡，受力如图：
设拉力与水平方向的夹角为，根据共点力平衡得，，当人拉着绳向右跨出一步后人和物保持静止，减小，不变，则静摩擦力增大，支持力增大，而支持力与静摩擦力垂直，故静摩擦力与支持力的合力也变大，根据牛顿第三定律，人对地面作用力也就变大，故C错误，BD正确。
故选BD。
18.【答案】
【解析】C.对质量为的小球，受重力、支持力和弹簧的弹力而平衡，如图所示：
根据平衡条件，有：；故弹簧的原长为：，故C错误；
当改为质量为的球后，
根据三角形相似，，球与弹簧间的弹力变大，设与水平方向的夹角为，则：弹力，
长度，根据胡克定律，有：，联立解得：，，故AD正确，B错误。
19.【答案】
【解析】A.题意知重物受到绳子拉力和自身重力而处于平衡状态，由平衡条件有，把绳子拉力按效果分解，即沿两杆的方向进行分解，对称性可知，两分力等大且设为，根据平行四边形定则，有，故一定时，越大，越大，故轻杆受力越小，则轻杆对滑块的弹力越小，故A错误；
B.对、、整体分析可知，整体受到地面给、的支持力和整体重力而平衡，由平衡条件有，故，根据牛顿第三定律可知，每个滑块对地面的压力大小均为，故B正确；
C.分析可知，受重力、杆的推力、地面的支持力和向右的摩擦力而平衡，根据平衡条件有，又因为，联立解得，故C正确；
D.滑块不能沿地面滑动时满足，结合以上分析可得，
解得，当趋于无穷大时，有，即，所以无论怎样增大，都不能使滑块沿地面滑动，故D错误。
20.【答案】
【解析】、物块静止处于平衡状态，受力如图所示
物体受到的重力，物块受到的支持力大小，故A错误，B正确；
C、物块受到重力、推力、对的作用力作用，物块静止，由平衡条件可知，对的作用力大小等于重力与的合力大小，不等于，由牛顿第三定律可知，对的作用力大小不等于，故C错误；
D、物块与斜面整体静止处于平衡状态，在水平方向，由平衡条件可知，斜面受到地面的摩擦力大小，故D正确。
故选：。
21.【答案】
【解析】对的分析：设轻绳与竖直方向夹角为，对进行受力分析，受重力、拉力、轻绳拉力，如图：
因为始终与右侧轻绳垂直，根据平衡条件可得：，
在缓慢移动至右侧细绳水平过程中，逐渐减小，所以拉力逐渐增大，轻绳的拉力逐渐减小，故B正确，A错误；
C.对的分析：对进行受力分析，受重力、斜面支持力、轻绳拉力和摩擦力
的重力沿斜面向下的分力为：
解得：
开始时系统静止
解得：，有沿斜面向上运动趋势，摩擦力方向沿斜面向下，有，由于减小，则减小；当继续减小到时，摩擦力为零；当轻绳的拉力小于时，所受摩擦力沿斜面体向上，则
，随着轻绳的拉力减小，摩擦力增大，所以所受摩擦力先减小后增大，故C错误；
对整体的分析，把、和斜面看成整体，整体受重力、地面支持力、外力、地面摩擦力，在水平方向上，则，当从减小到时，从减小到，则先增大后减小，所以先增大后减小，根据牛顿第三定律斜面对地面的摩擦力先增大后减小，故 D正确。
故选：。
22.【解析】对、整体进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有
，
解得
，
对进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有
，
解得
，

23.【解析】以结点为研究对象，如图所示：
建立直角坐标系，将分解，由平衡条件，，
联立解得，；
对人受力分析，如图：
根据力的平衡条件，可得人受到的摩擦力大小等于的拉力，即，方向水平向左。
24.【解析】对球作受力分析如图所示，

设球的半径为，则有，，，即是直角三角形。
根据力的平衡及牛顿第三定律可知，球对球的压力，由于球受力平衡，则有；
球的体积公式为 A、半径之比为，则，对作受力分析如图所示，
设球的半径为，则有，，，即是直角三角形。
根据力的平衡可知，球对球的弹力，由于球受力平衡，则有 ，
根据牛顿第三定律可知：，联立解得。
25.【解析】根据对称性可知，水平杆对两小铁环的弹力大小相等、摩擦力大小相等。假设水平杆对每个小铁环的弹力大小为，则有解得
左边与之相邻的环与环之间的弹力大小为，以右半侧的铁链为分析对象，受力分析如图所示
则有，
和之间的弹力大小为对受力分析如图所示
可知，解得
若为奇数，设最低处的小环与相邻环的弹力大小为，弹力与水平方向的夹角为，对小环受力分析如图所示
根据平衡条件可得，，对右侧的铁链受力分析如图所示
根据平衡条件可得，解得
26.【解析】对结点受力分析如图甲所示。
根据平衡条件，有
，
，
且
解得，；
物体所受静摩擦力方向水平向右，对物体受力分析如图乙所示
根据物体平衡和临界条件，有
，当此时静摩擦力达到最大时，
，
解得，
即物块与桌面间的动摩擦因数至少为；
以桌子为研究对象，如图丙所示。因为桌子处于平衡状态所以物块对桌子的摩擦力与地面对桌子的摩擦力等大反向，即地面对桌子的摩擦力大小为，方向水平向右。
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