1.1 集合的概念
【学习目标】
1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
◆ 知识点一 元素与集合的含义
1.元素与集合的含义:一般地,我们把研究对象统称为 ,把一些元素 叫作集合(简称为集).
2.集合相等:只要构成两个集合的 是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
3.符号表示:常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
4.元素与集合的关系:如果a是集合A中的元素,就说a 集合A,记作 ;如果 ,就说a不属于集合A,记作 .
5.常用数集及其记法:
常见的数集 符号表示
自然数集
正整数集 或
整数集
有理数集
实数集
6.集合中元素的三个性质为: 、 、 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)中国著名的科学家可以组成一个集合. ( )
(2)参加2025年哈尔滨亚冬会的国家和地区代表团可以组成一个集合. ( )
(3)不超过π的实数可以组成一个集合. ( )
2.某中学高一年级共8个班,这8个班组成一个集合A.
(1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗
(2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系 为什么
◆ 知识点二 集合的表示法
1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用 括起来表示集合的方法叫作列举法(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2}).
2.描述法:设A是一个集合,把集合A中所有具有 特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ,这种表示集合的方法称为描述法.
【诊断分析】 1.方程(x+1)(x-2)=0的实数根组成的集合中有多少个元素 并用适当的方法表示这个集合.
2.由抛物线y=x2上的点组成的集合中有多少个元素 并用适当的方法表示这个集合.
◆ 探究点一 元素与集合的含义
例1 下列各项中,不可以组成集合的是 ( )
A.所有的正数
B.方程x2=1的实数根
C.2025年高考数学难题
D.不等于0的偶数
变式 (多选题)下列各项中,不能组成集合的是 ( )
A.无限接近0的实数
B.中国美丽的乡村
C.高一(1)班视力比较好的同学
D.参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表
例2 (1)用符号“∈”或“ ”填空:0 N; Q;2.4 Z; Q;4 Z.
(2)已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的数组成的,则下列数中属于集合A的是 .(填序号)
①2-;②5;③;④+1.
变式 (1)下列元素与集合的关系中,正确的是 ( )
A.-1∈N B.0 N*
C.∈Q D. R
(2) (多选题)下列说法正确的是 ( )
A.N*中最小的数是1
B.若-a N*,则a∈N*
C.若a∈N*,b∈N*,a≠b,则a+b的最小值是3
D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素
(3)设集合M满足:①2 M;②若x∈M,则∈M.已知3∈M,则M中必含有的元素是 .
[素养小结]
(1)判断元素能否组成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以组成集合,否则不可以.
(2)判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“∈”与“ ”只表示元素与集合的关系.
◆ 探究点二 集合中元素的特性
例3 (1)若以集合A中的四个元素a,b,c,d(a,b,c,d均为正数)为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 ( )
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
(2) 由实数x,-x,|x|,-,所组成的集合,最多含有元素的个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
变式 (1)已知集合A中含有三个元素x,x+1,1,集合B中含有三个元素x,x2+x,x2,且A与B中的元素相同,则实数x的值为 .
(2)若集合{x|ax2+2x+1=0}中只含有一个元素b,则b的值为 .
[素养小结]
(1)对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.
(2)在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确.
◆ 探究点三 集合的表示
角度1 列举法表示集合
例4 用列举法表示下列集合.
(1)中国的直辖市组成的集合;
(2)15的正约数组成的集合;
(3)方程x2=x的所有实数解组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合;
(5)满足-2≤x≤3且x∈Z的数组成的集合.
[素养小结]
用列举法表示集合应注意的三点:
(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;
(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复;
(3)若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
角度2 描述法表示集合
例5 用描述法表示下列集合.
(1)二次函数y=x2+1的函数值组成的集合A;
(2)被3除余2的正整数组成的集合B;
(3)正奇数组成的集合C.
变式 用适当的方法表示下列集合.
(1)绝对值小于5的全体实数组成的集合;
(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;
(3)除以3余1的所有整数组成的集合;
(4)抛物线y=x2上点的纵坐标组成的集合;
(5)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合.
[素养小结]
(1)用描述法表示集合,应先弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
1.1 集合的概念
【课前预习】
知识点一
1.元素 组成的总体 2.元素
4.属于 a∈A a不是集合A中的元素
a A
5.N N* N+ Z Q R
6.确定性 互异性 无序性
诊断分析
1.(1) × (2)√ (3)√ [解析] (1)中国著名的科学家是不确定的,不能组成集合.
(2)参加2025年哈尔滨亚冬会的国家和地区代表团共有34个,是确定的,可以组成一个集合.
(3)任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过π的实数”,故不超过π的实数可以组成一个集合.
2.解:(1)因为集合A是由高一年级的8个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素.
(2)a,b是高一年级的8个班中两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班.
知识点二
1.花括号“{ }”
2.共同 {x∈A|P(x)}
诊断分析
1.解:解方程(x+1)(x-2)=0,可得x=-1或x=2,故方程(x+1)(x-2)=0的实数根组成的集合中有2个元素,分别是-1,2.
用列举法表示这个集合为{-1,2}.
2.解:由抛物线y=x2上的点组成的集合中有无限个元素,用描述法表示这个集合为{(x,y)| y=x2,x∈R}.
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 集合中的元素需满足确定性、互异性、无序性.“2025年高考数学难题”中的“难题”没有明确的评判标准,是不确定的,故不能组成集合,故选C.
变式 ABC [解析] 根据集合中元素的确定性可知,对于选项A,B,C中的“无限接近0的实数”“中国美丽的乡村”“高一(1)班视力比较好的同学”均没有判定标准,不满足确定性,故A,B,C均不能组成集合;对于选项D,“参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表”有统一的判定标准,满足确定性,故D能组成集合.故选ABC.
例2 (1)∈ ∈ ∈ (2)①②
[解析] (1)因为N是自然数集,Q是有理数集,Z是整数集,所以0∈N,∈Q,2.4 Z, Q,4∈Z.
(2)对于2-,m=2,n=-1,符合条件;对于5=5+×0,m=5,n=0,符合条件;对于==-,m=,n=-,不符合条件;对于+1,m=1,n=,不符合条件.故属于集合A的数的序号是①②.
变式 (1)B (2)AC (2)-2,,,3
[解析] (1)N表示自然数集,-1不是自然数,故A错误;N*表示正整数集,0不是正整数,故B正确;Q表示有理数集,不是有理数,故C错误;R表示实数集,是实数,故D错误.故选B.
(2)对于A,N*中最小的数是1,故A正确;对于B,- N*,且 N*,故B错误;对于C,若a∈N*,b∈N*,a≠b,则a+b的最小值是1+2=3,故C正确;对于D,x2+4=4x的实数解组成的集合中含有一个元素2,故D错误.故选AC.
(3)由3∈M,得=-2∈M;由-2∈M,得=∈M;由∈M,得=∈M;由∈M,得=3∈M.所以M中必含有的元素是-2,,,3.
探究点二
例3 (1)A (2)A [解析] (1)由题知a,b,c,d四个元素互不相同,则它们组成的四边形的四条边长都不相等.故选A.
(2)显然-=-|x|,=x.当x=0时,集合中有1个元素0;当x>0时,|x|=x,-|x|=-x,集合中有2个元素x,-x;当x<0时,|x|=-x,-|x|=x,集合中有2个元素x,-x.所以集合中最多含有2个元素.故选A.
变式 (1)-1 (2)-或-1
[解析] (1)∵A与B中的元素相同,∴或解得x=±1.当x=1时,不符合集合中元素的互异性,∴x=-1.
(2)由题意知ax2+2x+1=0只有一个实数根.
①当a=0时,ax2+2x+1=0即为2x+1=0,解得x=-,此时集合{x|2x+1=0}即为,故b=-;
②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时集合{x|x2+2x+1=0}即为{x|x=-1},故b=-1.所以b的值为-或-1.
探究点三
例4 解:(1)中国的直辖市组成的集合为{北京市,天津市,上海市,重庆市}.
(2)15的正约数组成的集合为{1,3,5,15}.
(3)由x2=x得x=0或x=1,所以方程x2=x的所有实数解组成的集合为{0,1}.
(4)由解得即两直线的交点为(1,1),故所求集合为{(1,1)}.
(5)因为-2≤x≤3,x∈Z,所以x=-2,-1,0,1,2,3,所以所求集合为{-2,-1,0,1,2,3}.
例5 解:(1)函数值组成的集合就是y的取值组成的集合,所以A={y|y=x2+1,x∈R}.
(2)设被3除余2的正整数为x,则x=3n+2,n∈N,所以B={x|x=3n+2,n∈N}.
(3)正奇数x可用式子x=2n-1,n∈N*表示,所以C={x|x=2n-1,n∈N*}.
变式 解:(1)绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|<5}.
(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个,分别为3,5,7,11,故所求集合可用列举法表示为{3,5,7,11}.
(3)除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{a|a=3x+1,x∈Z}.
(4)设抛物线y=x2上点的纵坐标组成的集合为D,则D={y|y=x2,x∈R}.
(5)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合中,代表元素为有序实数对(x,y),其中x,y满足y=x2+2x-10,由于点有无数个,故可用描述法表示为{(x,y)|y=x2+2x-10,x∈R}.1.1 集合的概念
1.下列对象的全体可以组成集合的是 ( )
A.人口密度大的国家
B.所有美丽的城市
C.地球上的四大洋
D.优秀的高中生
2.下列说法正确的有 ( )
①∈Q;②∈N*;③-1∈N;④2+∈Q;⑤ Z.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是 ( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
4.英文单词excellent的所有字母组成的集合中共有 ( )
A.6个元素 B.7个元素
C.8个元素 D.9个元素
5.集合A={3,-1},B={m2-2m,-1},且A与B中元素相同,则实数m= ( )
A.3 B.-1
C.3或-1 D.1
6.(多选题)已知集合 A={x|ax2+2x+a-1=0}中只有1个元素,则a的取值可能为 ( )
A.0 B.2
C.-1 D.4
7.[2025·三明一中高一月考] 集合A=用列举法表示为 .
8.已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为 .
9.(13分)用适当的方法表示下列集合.
(1) 由小于8的所有自然数组成的集合;
(2)被7除余3的所有自然数组成的集合;
(3)方程+|y-2|=0的解集.
10.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k-1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则 ( )
A.a+b∈P B.a+b∈Q
C.a+b∈M D.以上都不对
11.已知集合P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},E={x|y=x2+1},F={(x,y)|y=x2+1},G={x|x≥1},则 ( )
A.P与F相等 B.Q与E相等
C.E与F相等 D.Q与G相等
12.若集合A是不等式x-a>0的解集,且2 A,则实数a的取值范围是 .
13.含有三个实数的集合可表示为,也可以表示为{a2,a+b,0},则a2025+b2025的值为 .
14.(15分)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
15.已知有限集A={a1,a2,a3,…,an},定义集合B={ai+aj|1≤i16.用符号表示非空集合A中元素的个数,定义A※B=已知集合A={0,2},B={x|(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0},若A※B=1,实数a的所有可能取值组成集合P,则P= .(请用列举法表示)
1.1 集合的概念
1.C [解析] 由题意,选项A,B,D都不满足集合元素的确定性,选项C中的元素是确定的,可以组成集合.故选C.
2.B [解析] 是有理数,故①正确;不是正整数,故②错误;-1不是自然数,故③错误;2+不是有理数,故④错误;不是整数,故⑤正确.故正确的有2个.故选B.
3.A [解析] ∵x∈N且x<5,∴x的值可以为0,1,2,3,4,故集合用列举法表示为{0,1,2,3,4}.
4.A [解析] excellent的所有字母组成的集合是由e,x,c,l,n,t组成的,共有6个元素.故选A.
5.C [解析] ∵集合A={3,-1},B={m2-2m,-1},A与B中元素相同,∴m2-2m=3,即m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1.故选C.
6.ABC [解析] 当a=0时,A=,满足题意;当a≠0时,由题意知Δ=(2)2-4a(a-1)=0,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1.故选ABC.
7.{-5,-4,4,5} [解析] 当a=1时,x=5;当a=-1时,x=-5;当a=2时,x=4;当a=-2时,x=-4;当a=4时,x=5;当a=-4时,x=-5.故A={-5,-4,4,5}.
8.10 [解析] 由题知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共含10个元素.
9.解:(1) 用列举法可表示为{0,1,2,3,4,5,6,7},
用描述法可表示为{x∈N|x<8}.
(2)由题意,设被7除的商为k∈N,余数为3,则这个数可表示为7k+3,k∈N,所以被7除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为{x|x=7k+3,k∈N}.
(3)由+|y-2|=0,得解得所以方程+|y-2|=0的解集用描述法可表示为.
10.B [解析] 因为a∈P,b∈Q,所以a=2k1,k1∈Z,b=2k2-1,k2∈Z,所以a+b=2(k1+k2)-1=2k-1∈Q,其中k1,k2,k∈Z,故选B.
11.D [解析] ∵P={y=x2+1}是单元素集,集合中的元素是y=x2+1,Q={y|y=x2+1}={y|y≥1},E={x|y=x2+1}=R,F={(x,y)|y=x2+1}中的元素是点,G={x|x≥1},∴Q与G相等.故选D.
12.a≥2 [解析] ∵2 A,∴2-a≤0,即a≥2.
13.-1 [解析] 由题意知a≠0,若a=a2,则a=1,检验可知不满足集合中元素的互异性,所以a=a+b, 则b=0,此时a2=1,可得a=-1,集合为{-1,0,1},满足题意,故a2025+b2025=-1.
14.解:(1)根据集合中元素的互异性,可知解得x≠0且x≠3且x≠-1,故x满足的条件为x≠0且x≠3且x≠-1.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,
所以x=-2,此时x2-2x=8,满足题意,故x=-2.
15.5 2025 [解析] 若A={x∈N*|1≤x≤4}={1,2,3,4},则B={3,4,5,6,7},所以L(A)=5.若A={x∈N*|1≤x≤2n,n∈N*}={1,2,3,…,2n-1,2n(n∈N*)},则易知集合A中任意两个元素的和的最小值是1+2=3,最大值是2n-1+2n=4n-1,且对任意k∈N*,3≤k≤4n-1,都存在ai,aj∈A,使得ai+aj=k,所以L(A)=4n-1-3+1=4n-3.由4n-3=8097,解得n=2025.
16.{0,1,-2} [解析] 因为=2,A※B=1,所以=1或=3.当=1时,a=0或a=1.当=3时,(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0有3个解,分析可知,不存在a使得x2-ax+1=0有2个不同的解,且其中一个解为或1,所以x2-ax+1=0只有一个解x0,且x0≠1,x0≠,则Δ=a2-4=0,解得a=±2,当a=2时,由x2-2x+1=0,得x=1,不符合题意;当a=-2时,由x2+2x+1=0,得x=-1,符合题意.所以a=-2,B=,故P={0,1,-2}.(共69张PPT)
1.1 集合的概念
探究点一 元素与集合的含义
探究点二 集合中元素的特性
探究点三 集合的表示
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备用素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
知识点一 元素与集合的含义
1.元素与集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为______，把一
些元素____________叫作集合（简称为集）.
2.集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，我们就称这两个
集合是相等的.
元素
组成的总体
元素
3.符号表示：常用大写拉丁字母，，， 表示集合，用小写拉
丁字母，，， 表示集合中的元素.
4.元素与集合的关系：如果是集合中的元素，就说______集合 ，
记作______；如果____________________，就说不属于集合 ，记
作______.
属于
不是集合中的元素
5.常用数集及其记法:
常见的数集 符号表示
自然数集 ___
正整数集 ____或____
整数集 ___
有理数集 ___
实数集 ___
6.集合中元素的三个性质为：________、________、________.
确定性
互异性
无序性
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）中国著名的科学家可以组成一个集合.( )
×
[解析] 中国著名的科学家是不确定的,不能组成集合.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）参加2025年哈尔滨亚冬会的国家和地区代表团可以组成一个集
合.( )
√
[解析] 参加2025年哈尔滨亚冬会的国家和地区代表团共有34个，是
确定的,可以组成一个集合.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）不超过 的实数可以组成一个集合.( )
√
[解析] 任给一个实数,可以明确地判断是不是“不超过 的实数”,
故不超过 的实数可以组成一个集合.
2.某中学高一年级共8个班,这8个班组成一个集合 .
（1）高一（2）班、高二（8）班是集合 中的元素吗
解：因为集合 是由高一年级的8个班组成的,所以高一（2）班是集
合中的元素,高二（8）班不是集合 中的元素.
（2）若,,则元素, 有什么关系 为什么
解：,是高一年级的8个班中两个不同的班.因为集合 中的元素具
有互异性,所以与 是不同的班.
知识点二 集合的表示法
1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用___________括起来表
示集合的方法叫作列举法（注意元素间要用“,”隔开,如,0,1, ）.
2.描述法:设是一个集合,把集合中所有具有______特征的元素
所组成的集合表示为_____________,这种表示集合的方法称为描述法.
花括号“”
共同
【诊断分析】
1.方程 的实数根组成的集合中有多少个元素？并
用适当的方法表示这个集合.
解：解方程，可得或 ，故方程
的实数根组成的集合中有2个元素，分别是 ,2.
用列举法表示这个集合为, .
2.由抛物线 上的点组成的集合中有多少个元素？并用适当的方
法表示这个集合.
解：由抛物线 上的点组成的集合中有无限个元素，用描述法
表示这个集合为， .
探究点一 元素与集合的含义
例1 下列各项中，不可以组成集合的是( )
A.所有的正数 B.方程 的实数根
C.2025年高考数学难题 D.不等于0的偶数
[解析] 集合中的元素需满足确定性、互异性、无序性.“2025年高考
数学难题”中的“难题”没有明确的评判标准,是不确定的,故不能组成
集合,故选C.
√
变式 （多选题）下列各项中，不能组成集合的是( )
A.无限接近0的实数
B.中国美丽的乡村
C.高一（1）班视力比较好的同学
D.参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表
√
√
√
[解析] 根据集合中元素的确定性可知,对于选项A，B，C中的“无限
接近0的实数”“中国美丽的乡村”“高一（1）班视力比较好的同学”均
没有判定标准，不满足确定性，故A，B，C均不能组成集合;
对于选项D，“参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表”有统一的
判定标准，满足确定性，故D能组成集合.故选 .
例2（1）用符号“ ”或“ ”填空：0___；___；2.4___； ___
；4___ .
[解析] 因为是自然数集，是有理数集，是整数集，
所以 , ,,, .
（2）已知集合是由形如（其中, ）的数组成的,则下
列数中属于集合 的是______.（填序号）
；；； .
①②
[解析] 对于,,,符合条件;
对于 ,,,符合条件;
对于,, ,不符合条件;
对于,,,不符合条件.故属于集合 的数的序号是①②.
变式（1）下列元素与集合的关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 表示自然数集，不是自然数，故A错误；
表示正整数集，0不是正整数，故B正确；
表示有理数集， 不是有理数，故C错误；
表示实数集， 是实数，故D错误.故选B.
√
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
A. 中最小的数是1
B.若，则
C.若，，，则 的最小值是3
D. 的实数解组成的集合中含有2个元素
[解析] 对于A，中最小的数是1，故A正确；
对于B， ，且，故B错误；
对于C，若，，，则 的最小值是，
故C正确；
对于D， 的实数解组成的集合中含有一个元素2，故D错误．
故选 .
√
√
（3）设集合满足：；②若，则.已知 ，
则 中必含有的元素是_____________.
，，，3
[解析] 由，得；
由，得 ；
由，得；
由，得.
所以 中必含有的元素是，， ，3.
［素养小结］
（1）判断元素能否组成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否
找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准
明确则可以组成集合，否则不可以.
（2）判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足
该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属
于”关系.特别注意，符号“ ”与“ ”只表示元素与集合的关系.
探究点二 集合中元素的特性
例3（1）若以集合中的四个元素,,,（,,, 均为正数）为边长
构成一个四边形,则这个四边形可能是( )
A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形
[解析] 由题知,,, 四个元素互不相同,则它们组成的四边形的四条
边长都不相等.故选A.
√
（2）由实数，，，， 所组成的集合，最多含有元
素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 显然，.当 时，集合中有1个元素0；
当时，,，集合中有2个元素，；
当 时，,，集合中有2个元素， .
所以集合中最多含有2个元素.故选A.
√
变式（1）已知集合中含有三个元素,,1,集合 中含有三个元
素,,,且与中的元素相同,则实数 的值为____.
[解析] 与中的元素相同,或 解得
.当时,不符合集合中元素的互异性, .
（2）若集合中只含有一个元素，则 的值为
_________．
或
[解析] 由题意知 只有一个实数根.
①当时，即为，解得 ，
此时集合即为，故 ；
②当时，由，得 ，此时集合
即为，故.
所以的值为 或 .
［素养小结］
（1）对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出
字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.
（2）在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的
标准要明确.
探究点三 集合的表示
角度1 列举法表示集合
例4 用列举法表示下列集合.
（1）中国的直辖市组成的集合;
解：中国的直辖市组成的集合为{北京市，天津市，上海市，重庆市}.
（2）15的正约数组成的集合;
解：15的正约数组成的集合为 .
例4 用列举法表示下列集合.
（3）方程 的所有实数解组成的集合;
解：由得或,所以方程 的所有实数解组成的
集合为 .
（4）直线与 的交点组成的集合；
解：由解得即两直线的交点为 ,故所求集合
为 .
例4 用列举法表示下列集合.
（5）满足且 的数组成的集合.
解：因为，，所以， ，0，1，2，3，
所以所求集合为，，0，1，2， .
［素养小结］
用列举法表示集合应注意的三点：
（1）应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
（2）集合中的元素一定要写全，但不能重复；
（3）若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示
一个元素.
角度2 描述法表示集合
例5 用描述法表示下列集合.
（1）二次函数的函数值组成的集合 ；
解：函数值组成的集合就是 的取值组成的集合，
所以， }.
（2）被3除余2的正整数组成的集合 ；
解：设被3除余2的正整数为,则, ,
所以, }.
例5 用描述法表示下列集合.
（3）正奇数组成的集合 .
解：正奇数可用式子, 表示,
所以, .
变式 用适当的方法表示下列集合.
（1）绝对值小于5的全体实数组成的集合；
解：绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为 ．
（2）由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
解：小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11，故
所求集合可用列举法表示为 ．
（3）除以3余1的所有整数组成的集合；
解：除以3余1的所有整数组成的集合可表示为， }.
变式 用适当的方法表示下列集合.
（4）抛物线 上点的纵坐标组成的集合；
解：设抛物线上点的纵坐标组成的集合为 ，
则， }.
（5）二次函数 的图象上所有的点组成的集合．
解：二次函数 的图象上所有的点组成的集合中，
代表元素为有序实数对，其中，满足 ，由于点
有无数个，故可用描述法表示为， }．
［素养小结］
（1）用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是
其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个
有序实数对来代表其元素.
（2）若描述部分出现元素记号以外的字母时，则要对新字母说明其
含义或指出其取值范围.
1.集合概念的疑难点
（1）对于集合我们一定要从整体的角度来看待它;
（2）构成集合的对象必须是确定的且不同的;
（3）元素与集合的关系是“属于”或“不属于”关系.
2.集合中元素三个性质的主要作用
（1）确定性的主要作用是判断指定的一组对象能否组成集合，其关
键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确
定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的.
（2）互异性的主要作用是提示我们求出结果后要检验.特别是题中含
有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中元素满足互异性.
（3）无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其
元素不一定依次对应相等.
3.集合的表示法中的问题
（1） 表示“所有的”“全体的”，不能省略，表示集合时，在花括号
内不能再写上“全体、所有的”等词语.如实数集可以写成{实数 ，而
不能写成{实数集}或{全体实数}；另外，集合中的元素之间用“，”
隔开，而不能用“、”，不能写成、2、 .
（2）用列举法表示集合时,不用考虑元素的顺序；某些集合用描述法
表示时,形式不是唯一的.
（3）一个集合用什么方法表示,由集合元素的特点而定.列举法：常
用于表示有限集合；描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素
的公共属性用文字、符号或式子等描述出来.
1.列举法与描述法的选择
当集合的元素个数很少（很容易写出全部元素）时，常用列举法表
示集合；当集合的元素个数较多（不易写出全部元素）时，常用描
述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正
奇数集也可写为，3，5，7，9， .但值得注意的是，并不是每一
个集合都可以用这两种方法表示出来.
2.元素分析法
集合离不开元素,分析元素是解决集合问题的核心,元素分析法就是抓
住元素进行分析,即元素是什么.
例1 分别指出下列集合中的元素:
（1）, }；
解:中的集合是由函数 的自变量组成的;
（2）, }；
解:中的集合是由函数 的函数值组成的;
（3）, }.
解:中的集合是由抛物线 上的点组成的.
3.利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题
集合与方程有着密切联系,利用集合中元素的特性,即元素的互异性,可
以求出集合中的参数的值.
例2 已知集合中有三个元素，，，集合 中也有
三个元素0，1， .
（1）若，求实数 的值；
解： 集合中有三个元素，，， ，
或，解得或 .
当时，，， ，成立；
当时，，，，成立.的值为0或 .
例2 已知集合中有三个元素，，，集合 中也有
三个元素0，1， .
（2）若，求实数 的值.
解： 集合中有三个元素0，1，，，
或 或,解得或或 .
当或时，不满足集合中元素的互异性；
当 时，，1，，成立. 实数的值为 .
4.常用列举法和描述法表示集合
（1）根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般
要符合最简原则.
（2）一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法
既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
例3 用适当的方法表示下列集合：
（1）方程 的解集；
解：， .
（2）大于0且小于1000的奇数构成的集合；
解：，且， }.
（3）不等式 的解的集合；
解： .
（4）大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；
解：，2，3，4，5， .
例3 用适当的方法表示下列集合：
（5）方程组 的解集.
解：解集用描述法表示为 ，
解集用列举法表示为 .
练习册
1.下列对象的全体可以组成集合的是( )
A.人口密度大的国家 B.所有美丽的城市
C.地球上的四大洋 D.优秀的高中生
[解析] 由题意，选项A,B,D都不满足集合元素的确定性，选项C中的
元素是确定的，可以组成集合.故选C.
√
2.下列说法正确的有( )
；；； ； .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 是有理数，故①正确；不是正整数，故②错误； 不是
自然数，故③错误；不是有理数，故④错误； 不是整数，故
⑤正确.故正确的有2个.故选B.
√
3.集合 的另一种表示方法是( )
A. B.
C. D.
[解析] 且， 的值可以为0,1,2,3,4，
故集合用列举法表示为 .
√
4.英文单词 的所有字母组成的集合中共有( )
A.6个元素 B.7个元素 C.8个元素 D.9个元素
[解析] 的所有字母组成的集合是由,,,,, 组成的,共有6个
元素.故选A.
√
5.集合,，,，且与 中元素相同，则实
数 ( )
A.3 B. C.3或 D.1
[解析] 集合,，,，与 中元素相同，
，即，解得或 .故选C.
√
6.（多选题）已知集合 中只有1个元
素，则 的取值可能为( )
A.0 B.2 C. D.4
[解析] 当时，，满足题意；
当 时，由题意知，即，
解得 或.故选 .
√
√
√
7.［2025·三明一中高一月考］集合 用列
举法表示为____________.
,,4,
[解析] 当时，;当时，;当时， ;
当时，;当时，；当时， .故
,,4, .
8.已知集合,集合,, ,则
中所含元素的个数为____.
10
[解析] 由题知集合,,,,,,, ,
, ,共含10个元素.
9.（13分）用适当的方法表示下列集合.
（1）由小于8的所有自然数组成的集合；
解：用列举法可表示为 ，
用描述法可表示为 .
（2）被7除余3的所有自然数组成的集合;
解：由题意，设被7除的商为 ，余数为3，则这个数可表示为
， ，所以被7除余3的所有自然数组成的集合用描述法可
表示为, }.
9.（13分）用适当的方法表示下列集合.
（3）方程 的解集.
解：由，得解得
所以方程 的解集用描述法可表示为
.
10.已知集合,,, ,
,，且, ,则( )
A. B. C. D.以上都不对
[解析] 因为,，所以,，, ，
所以,其中,, ，故选B.
√
11.已知集合， ，
，， ，则( )
A.与相等 B.与相等 C.与相等 D.与 相等
[解析] 是单元素集，集合中的元素是 ，
， ，
中的元素是点，，与 相等.
故选D.
√
12.若集合是不等式的解集,且,则实数 的取值范围是
______.
[解析] ,,即 .
13.含有三个实数的集合可表示为,也可以表示为,, ,
则 的值为____.
[解析] 由题意知,若,则 ,检验可知不满足集合中元素
的互异性,所以,则,此时,可得,集合为 ,
0,,满足题意,故 .
14.（15分）设,集合中含有三个元素3,, .
（1）求实数 应满足的条件;
解：根据集合中元素的互异性,可知解得且
且，故满足的条件为且且 .
（2）若,求实数 的值.
解：因为,且 ,
所以，此时，满足题意,故 .
15.已知有限集,,, , ，定义集合
,,中的元素个数为集合 的“容量”，
记为.若集合，则 ___；若集合
,，且，则正整数 的值
是______.
5
2025
[解析] 若，则 ，所
以.
若,,2,3, , ,，
则易知集合 中任意两个元素的和的最小值是，
最大值是，且对任意 ，，
都存在，，使得 ，
所以.
由，解得 .
16.用符号表示非空集合 中元素的个数，定义
已知集合 ，
，若，实数 的
所有可能取值组成集合，则 _________.（请用列举法表示）
,1,
[解析] 因为，，所以或.
当 时，或.当时，
有3个解，分析可知，不存在使得 有2个不同的解，
且其中一个解为或1，所以只有一个解，且 ，
，则，解得，
当 时，由，得，不符合题意；
当 时，由，得，符合题意.
所以 ，，故,1, .
快速核答案(导学案）
课前预习 1.元素 组成的总体 2.元素 4.属于 不是集合中的元素
5. 6.确定性 互异性 无序性【诊断分析】1.（1）×（2）√（3）√ 2.略
知识点二 1.花括号“” 2.共同 【诊断分析】 1.,. 2.，.
课中探究 例1 C 变式 ABC 例2 （1） （2）①②
变式 （1）B （2）AC （3），，，3
例3 （1）A （2）A 变式 （1） （2）或
例4 （1）{北京市，天津市，上海市，重庆市}. （2）. （3）.
（4） （5），>，0，1，2，.
例5 （1），}. （2）,}.
（3）,.
变式 （1）． （2）． （3），}.
（4），}. （5），}．
快速核答案(练习册）
1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.ABC 7.,,4, 8.10
9.（1）.（2）,}. （3）.
10.B 11.D 12. 13.
14.（1）且且. （2）.
15.5 2025 16.,1,
