1.2 集合间的基本关系
1.下列结论正确的是 ( )
A. ={0} B.∈Q
C.N Z D.{a}∈{a,b,c}
2.(多选题)[2025·武汉二中高一月考] 下列关系中正确的是 ( )
A.0∈{0}
B.{0,1}={(0,1)}
C.{(a,b)}={(b,a)}
D. {0}
3.[2025·衢州五校高一月考] 若集合P={0,1},则集合M={A|A P}可用列举法表示为 ( )
A.{0,1}
B.{ ,0,1}
C.{ ,{0},{1}}
D.{ ,{0},{1},{0,1}}
4.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤1}和集合N={x∈R| x2=x}关系的Venn图的是 ( )
A B C D
5.(多选题)[2025·聊城二中高一月考] 满足{x|x2-2x-3=0} A {-1,0,1,3}的集合A可能为 ( )
A.{-1,3} B.{-1,1}
C.{-1,0,3} D.{-1,0,1,3}
6.已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},B A,则实数a的取值集合为 ( )
A.{2} B.{-1,2}
C.{1,2} D.{0,2}
7.若{a2,0,-1}={a,b,0},则a-b= .
8.[2025·湖南多校高一期中] 集合A={(x,y)|x+y=22,x>0,y>0,x,y均为质数}的真子集的个数为 .
9.(13分)已知集合M={x∈N|x<2},N={x∈Z|-2
(1)写出集合M的子集、真子集.
(2)求集合N的子集及其个数、真子集及其个数和非空真子集及其个数.
10.集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}的关系是 ( )
A.S=P=M B.S=P M
C.S P=M D.P=M S
11.已知集合A={x∈N|0≤xA.212.(多选题)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值可以为 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
13.当x∈A时,∈A,则称A是和美集合.集合M=的所有非空子集中是和美集合的个数为 .
14.(15分)已知集合A={x|2x≤3x+1≤2x+4},B={x|m+1≤x-m≤2},若B A,求实数m的取值范围.
15.已知集合M={m∈Z|x2+mx-36=0有整数解},非空集合A满足条件:①A M,②若a∈A,则-a∈A,则所有这样的集合A的个数为 .
16.(15分)设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.
(1)若A=B,求a的值.
(2)若B A,求实数a的取值范围.
1.2 集合间的基本关系
1.C [解析] 对于A, 中不含有任何元素, 是任何集合的子集,则 {0},故A错误;对于B,Q表示有理数集,为无理数,则 Q,故B错误;对于C,N表示自然数集,Z表示整数集,则N Z,故C正确;对于D,集合之间不能用“∈”符号,故D错误.故选C.
2.AD [解析] 对于A,0∈{0},故A正确;对于B,集合{0,1}表示数集,集合{(0,1)}表示点集,故B错误;对于C,集合{(a,b)}表示以点(a,b)为元素的集合,集合{(b,a)}表示以点(b,a)为元素的集合,故C错误;对于D,空集是任意非空集合的真子集,故D正确.故选AD.
3.D [解析] 因为A P,所以A可能为 ,{0},{1},{0,1},所以M={A|A P}={ ,{0},{1},{0,1}}.故选D.
4.B [解析] N={x∈R| x2=x}={0,1},M={x∈R|0≤x≤1},∴N M.故选B.
5.AC [解析] 由x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,得x=-1或x=3,由题意知{-1,3} A {-1,0,1,3},所以满足条件的集合A可能为{-1,3},{-1,0,3},{-1,1,3}.故选AC.
6.A [解析] 当a+2=3时,a=1,a2=1,与集合中元素的互异性矛盾.当a+2=a2时,解得a=-1或a=2,若a=-1,则a2=1,与集合中元素的互异性矛盾;若a=2,则A={1,3,4},B={1,4},符合题意.综上,a=2,故a的取值集合为{2}.故选A.
7.±2 [解析] 因为{a2,0,-1}={a,b,0},所以①或②由①得或其中不符合集合中元素的互异性,符合题意,此时a-b=2;由②得符合题意,此时a-b=-2.综上,a-b的值为±2.
8.31 [解析] 依题意得A={(3,19),(19,3),(5,17),(17,5),(11,11)},所以集合A的真子集的个数为25-1=31.
9.解:(1)由题意可知M={0,1},所以其子集为 ,{0},{1},{0,1},真子集为{0},{1}, .
(2)由题意可知N={-1,0,1},所以其子集为 ,{-1},{0},{1},{0,1},{-1,0},{-1,1},{-1,0,1},共有23=8(个),真子集为 ,{-1},{0},{1},{0,1},{-1,0},{-1,1},共有23-1=7(个),非空真子集为{-1},{0},{1},{0,1},{-1,0},{-1,1},共有23-2=6(个).
10.C [解析] 任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z,所以a∈P,所以M P,任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z,所以b∈M,所以P M,所以M=P.任取c∈S,则c=10m1+3=5·(2m1)+3,m1∈Z,所以c∈P,所以S P,又8∈P,8 S,所以S≠P,所以S P=M,故选C.
11.A [解析] 因为集合A={x∈N|0≤x12.BCD [解析] ∵集合A有且仅有2个子集,∴集合A中有且仅有1个元素.当a=0时,集合A={0},符合题意.当a≠0时,由Δ=4-4a2=0,解得a=±1,当a=1时,A={-1},符合题意,当a=-1时,A={1},符合题意,故选BCD.
13.7 [解析] 当集合M的非空子集中含有一个元素时,{-1},{1}为和美集合;当集合M的非空子集中含有两个元素时,{-1,1},为和美集合;当集合M的非空子集中含有三个元素时,,为和美集合;当集合M的非空子集中含有四个元素时,为和美集合.综上,和美集合有7个.
14.解:因为集合A={x|2x≤3x+1≤2x+4},B={x|m+1≤x-m≤2},
所以集合A={x|-1≤x≤3},B={x|2m+1≤x≤m+2}.
(1)当B= 时,2m+1>m+2,解得m>1,此时满足B A;
(2)当B≠ 时,要满足B A,只需解得-1≤m≤1.综上可得,实数m的取值范围为m≥-1.
15.31 [解析] 易知x2+mx-36=0的整数解一正一负,且绝对值是36的约数.当方程的解为-1,36时,m=-35;当方程的解为-2,18时,m=-16;当方程的解为-3,12时,m=-9;当方程的解为-4,9时,m=-5;当方程的解为-6,6时,m=0;当方程的解为-9,4时,m=5;当方程的解为-12,3时,m=9;当方程的解为-18,2时,m=16;当方程的解为-36,1时,m=35.故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35}.由非空集合A满足条件:①A M,②若a∈A,则-a∈A,可得集合A中可能含0,也可能不含0,且其他元素成对出现或不出现,即-35与35同时出现或同时不出现,-16与16同时出现或同时不出现,-9与9同时出现或同时不出现,-5与5同时出现或同时不出现,且A为非空集合,故这样的集合A的个数为5+10+10+5+1=31.
16.解:(1)因为集合A={x|x2+4x=0,x∈R}={-4,0},A=B,
所以B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}={-4,0},所以-4和0为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,则解得a=1.
(2)①当B= 时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
②当B≠ 时,若B={0},
则解得a=-1;
若B={-4},则无解;
若B={-4,0},则
解得a=1.综上所述,若B A,则实数a的取值范围为a≤-1或a=1.1.2 集合间的基本关系
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
2.能使用Venn图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用.
3.在具体情境中,了解空集的含义.
◆ 知识点一 子集
定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集
记法与 读法 记作 (或 ),读作“A包含于B”(或“B包含A”)
(续表)
Venn图 在数学中,经常用平面上封闭曲线的 代表集合,这种图称为Venn图
图示
结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集,即A A; (2)传递性:对于集合A,B,C,若A B,且B C,则A C
◆ 知识点二 集合的相等关系
定义 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等
记法 记作
符号 表示 若A B且B A,则A=B
图示
◆ 知识点三 真子集
定义 如果集合A B,但存在元素 ,且 ,就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
结论 (1)A B且B C,则A C; (2)A B且A≠B,则A B
◆ 知识点四 空集
定义 一般地,我们把 的集合叫作空集
记法 记为
规定 空集是任何集合的 ,即 A
特性 (1)空集只有一个子集,即它本身, ; (2)若A≠ ,则 A,即空集是任意非空集合的真子集
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1){0} {x|x<5,x∈R}. ( )
(2)0 {-1,0,1}. ( )
(3)已知A={a,b,c},B={c,b,a},则A≠B. ( )
(4)设A是一个集合,则A A. ( )
(5) {0},且 {0}. ( )
2.符号“∈”与“ ”的区别是什么
◆ 探究点一 集合间关系的判断
例1 判断下列每对集合之间的关系.
(1)A={x|x=2k+1,k∈N},B={y|y=4m+1,m∈N};
(2)C={1,2,3,4},D={x|x是12的正约数};
(3)E={x|x>3且x<-1},F={x|x<-1或x>3}.
变式 (1)已知集合M=,N=,则 ( )
A.M=N B.M N
C.M N D.M与N的关系不确定
(2)指出下列各集合之间的关系,并用Venn图表示:
A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.
[素养小结]
判断集合间关系的方法:
(1)观察法:一一列举观察.
(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.往往通过具体验证的方法判断端点值是否取到.
◆ 探究点二 集合的子集、真子集
例2 分别写出集合{a},{a,b},{a,b,c}的所有子集和真子集,并写出它们的子集和真子集的个数.由此猜想含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
变式 (1)[2025·豫北名校高一联考] 设集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x∈A,∈Z},则B的非空子集的个数为 ( )
A.3 B.4
C.7 D.8
(2)已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},写出所有满足条件的集合M.
[素养小结]
求集合的子集问题的一般方法:求给定集合的子集(真子集)时,一般按照子集所含元素的个数分类,再依次写出符合要求的子集(真子集).在写子集时,注意不要忘记空集和集合本身.
◆ 探究点三 由集合间的关系求参数
例3 (1)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B A,则实数a的取值组成的集合C= .
(2)已知集合A={x|0A.a>2 B.a<2
C.1变式 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,求实数a的取值范围.
[素养小结]
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法:
(1)注意点:①不能忽视集合为 的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.
1.2 集合间的基本关系
【课前预习】
知识点一
任意一个 A B B A 内部
知识点二
A=B
知识点三
x∈B x A
知识点四
不含任何元素 子集
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
[解析] (1)“ ”用来表示集合与集合间的关系,{0}中的元素0是集合{x|x<5,x∈R}中的元素,所以{0}是集合{x|x<5,x∈R}的子集.
(2)“ ”用来表示集合与集合间的关系.
(3)因为A B且B A,所以A=B.
(4)集合A是它本身的子集,但不是真子集.
(5)空集是任意集合的子集,也是任意非空集合的真子集.
2.解:符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系;而符号“ ”用于表示集合与集合之间的关系.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)集合A是由正奇数组成的集合,集合B是由被4除余1的正整数组成的集合,则B A.
又7∈A,但7 B,故B A.
(2)因为D={x|x是12的正约数}={1,2,3,4,6,12},C={1,2,3,4},所以C D.
(3)由题意知E= ,F≠ ,故E F.
变式 (1)B [解析] ∵N=,且M=,k+2是整数,2k+1是奇数,∴M N.故选B.
(2)解:各集合之间的关系为D C B A,用Venn图表示如图所示.
探究点二
例2 解:集合{a}的所有子集为 ,{a},共2个;所有真子集为 ,共1个.
集合{a,b}的所有子集为 ,{a},{b},{a,b},共4个;
所有真子集为 ,{a},{b},共3个.集合{a,b,c}的所有子集为 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},共8个;所有真子集为 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},共7个.
由此通过归纳并猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
变式 (1)C [解析] 要使x∈A,∈Z,则x=1,4,9,故B中含有三个元素.
方法一(列举法):B的非空子集有{1},{4},{9},{1,4},{1,9},{4,9},{1,4,9},共7个.
方法二(公式法):B的非空子集有23-1=7(个),故选C.
(2)解:由题意可知,M中必含元素1,2,且至少含有3,4,5中的一个,于是满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
探究点三
例3 (1) (2)D
[解析] (1)∵A={x|x2-8x+15=0},∴A={3,5}.∵B={x|ax-1=0},∴①当B= 时,a=0,显然B A;②当B≠ 时,B=,由于B A,∴=3或5,∴a=或.故集合C=.
(2)集合A={x|0变式 解:当B= 时,由2a>a+3,得a>3,满足B A.
当B≠ 时,由B A,可得
或解得a<-4或22.(共53张PPT)
1.2 集合间的基本关系
探究点一 集合间关系的判断
探究点二 集合的子集、真子集
探究点三 由集合间的关系求参数
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备用素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
2.能使用 图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念
的作用.
3.在具体情境中,了解空集的含义.
知识点一 子集
定义 一般地，对于两个集合，，如果集合 中__________
元素都是集合中的元素，就称集合为集合 的子集
记法与读 法 记作_______（或_______），读作“包含于 ”
（或“包含 ”）
图 在数学中，经常用平面上封闭曲线的______代表集合，
这种图称为 图
图示 ____________________________________________________________________________
任意一个
内部
结论 （1）反身性：任何一个集合是它本身的子集，即 ___
；
（2）传递性：对于集合，，，若 ，且
，则___
续表
知识点二 集合的相等关系
定义 一般地，如果集合的任何一个元素都是集合 的元
素，同时集合的任何一个元素都是集合 的元素，那
么集合与集合 相等
记法 记作_______
符号表示 若且，则
图示 _____________________________________
知识点三 真子集
定义 如果集合 ，但存在元素_______，且_______，就
称集合是集合 的真子集
记法与读 法 记作或,读作“真包含于”（或“ 真包含
”）
图示 _____________________________________________
结论 且，则___ ；
且，则___
知识点四 空集
定义 一般地，我们把______________的集合叫作空集
记法 记为
规定 空集是任何集合的______，即
特性 （1）空集只有一个子集，即它本身， ；
（2）若 ，则 ___ ，即空集是任意非空集合的真子集
不含任何元素
子集
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）, }.( )
√
[解析] “ ”用来表示集合与集合间的关系, 中的元素0是集合
,}中的元素,所以是集合, }的子集.
（2）,0, .( )
[解析] “ ”用来表示集合与集合间的关系.
×
（3）已知,,,,,,则 .( )
[解析] 因为且,所以 .
×
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）设是一个集合,则 .( )
×
[解析] 集合 是它本身的子集,但不是真子集.
（5），且 .( )
[解析] 空集是任意集合的子集，也是任意非空集合的真子集.
√
2.符号“”与“”的区别是什么？
解：符号“”用于表示元素与集合之间的关系；
而符号“”用于表示集合与集合之间的关系.
探究点一 集合间关系的判断
例1 判断下列每对集合之间的关系.
（1）,,, };
解：集合是由正奇数组成的集合，集合 是由被4除余1的正整数组
成的集合，则 .又,但,故 .
（2）， 是12的正约数}；
解：因为是12的正约数， ，
所以 .
（3）且，或 .
解：由题意知 ， ,故 .
变式（1）已知集合 ,
,则( )
A. B.
C. D.与 的关系不确定
[解析] ,且, 是
整数,是奇数, .故选B.
√
（2）指出下列各集合之间的关系，并用 图表示：
是四边形，是平行四边形，是矩形 ，
是正方形}.
解：各集合之间的关系为，用 图表示如图所示.
［素养小结］
判断集合间关系的方法:
（1）观察法：一一列举观察.
（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特
征，再利用集合元素的特征判断关系.
（3）数形结合法：利用数轴或图.往往通过具体验证的方法判
断端点值是否取到.
探究点二 集合的子集、真子集
例2 分别写出集合，,，,, 的所有子集和真子集,并写出它
们的子集和真子集的个数.由此猜想含个元素的集合,, ,
的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
解：集合的所有子集为 ,,共2个；所有真子集为 ,共1个.
集合,的所有子集为 ,,,, ,共4个；
所有真子集为 ,,,共3个.集合,,的所有子集为,, ,
,,,,,,,,,,共8个；
所有真子集为 ,,,,, ,,,, ,共7个.
由此通过归纳并猜想:含个元素的集合,, , 的所有子集的
个数是,真子集的个数是,非空真子集的个数是 .
变式（1）［2025· 豫北名校高一联考］设集合 ，
,，则 的非空子集的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
[解析] 要使，，则,4,9，故 中含有三个元素.
方法一（列举法）的非空子集有，，，， ，
， ，共7个.
方法二（公式法）的非空子集有 （个），故选C.
√
（2）已知集合满足 ，写出所有满足条件的
集合 .
解：由题意可知， 中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，
于是满足条件的集合为，2，，，2，，，2，， ，2，
3，，，2，3，，，2，4，，，2，3，4， .
［素养小结］
求集合的子集问题的一般方法:求给定集合的子集（真子集）时,一般
按照子集所含元素的个数分类,再依次写出符合要求的子集
（真子集）.在写子集时,注意不要忘记空集和集合本身.
探究点三 由集合间的关系求参数
例3（1）设， ，若
，则实数的取值组成的集合 ________.
[解析] ， ，
，当 时，，显然 ；
②当时，，由于，或5，或 .
故集合 .
（2）已知集合,，若 ，则
实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 集合,，且.
当 时，，此时满足，符合题意；
当时，要使 ，则需解得.
综上可得，实数的取值范围为 .故选D.
√
变式 已知集合或， ，
若，求实数 的取值范围.
解：当 时，由,得，满足 .
当 时，由，可得或
解得或.
综上，实数 的取值范围为或 .
［素养小结］
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法：
（1）注意点：①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参
数时，一般需要分类讨论.
（2）常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求
相关参数的范围（值）时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
1.子集概念解读
若 ,则有以下三种情况:
（1） 是空集;
（2）是由 的部分元素构成的集合;
（3）是由 的全部元素构成的集合.
2.从两个角度看集合相等
（1）从元素的角度看:集合中的元素与集合中的元素相同,则 ;
（2）从集合的包含关系看:若且,则 .
3.对空集的理解
（1）空集首先是集合,只不过空集中不含任何元素;
（2）规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
1.集合间关系的判断的一般步骤:
（1）化简、整理每个集合;
（2）借助 图或数轴表示集合,要注意端点处的元素是否属于集合;
（3）根据图形确定关系.
例1（1）能正确表示集合 和集合
的关系的 图是( )
A. B. C. D.
[解析] 解得或，故，易得 ，
其对应的 图如选项B所示.
√
（2）（多选题） 已知集合 ,
,,则,, 之间的关
系判断错误的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 由题意知 ,
,
,
由此可知集合,表示被3除余1的数再除以6的数的集合,集合 表示
被6除余1的数再除以6的数的集合,故,故选 .
2.集合的子集与真子集的几个结论:
设集合中有个元素,则集合的子集有 个,真子集有
个,非空子集有个,非空真子集有 个.
3.由集合间的关系求参数的一般方法:
（1）若集合中的元素是一一列举的,依据集合间的关系,可转化为解
方程（组）求解,此时要注意集合中元素的互异性.
（2）若集合表示的是不等式的解集,常借助于数轴转化为不等式（组）
求解,此时要注意端点能否取到.
（3）对子集是否为空集要进行分类讨论,做到不漏解.
例2 已知集合，集合 .若
，求实数 的取值范围．
解：当时，，，满足 ，符合题意；
当时，，因为，所以 且
，则 ；
当时，，因为，所以 且
，则 .
综上可知，实数的取值范围为 .
练习册
1.下列结论正确的是( )
A. B. C. D.,,
[解析] 对于A， 中不含有任何元素， 是任何集合的子集，则
，故A错误；
对于B，表示有理数集， 为无理数，则，故B错误；
对于C，表示自然数集， 表示整数集，则，故C正确；
对于D，集合之间不能用“ ”符号，故D错误.故选C.
√
2.（多选题）［2025·武汉二中高一月考］ 下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,,故A正确;
对于B,集合表示数集,集合表示点集,故B错误;
对于C,集合表示以点 为元素的集合,
集合表示以点 为元素的集合,故C错误;
对于D,空集是任意非空集合的真子集,故D正确.故选 .
√
√
3.［2025·衢州五校高一月考］若集合 ，则集合
可用列举法表示为( )
A. B. ,0,
C. ,, D. ,,,
[解析] 因为，所以可能为,,, ，
所以,,, .故选D.
√
4.能正确表示集合和集合
关系的 图的是( )
A. B. C. D.
[解析] ,, .
故选B.
√
5.（多选题）［2025·聊城二中高一月考］ 满足
,0,1,的集合 可能为( )
A., B., C.,0, D.,0,1,
[解析] 由，得或 ，
由题意知,,0,1,，
所以满足条件的集合可能为 ,，,0,，,1,.
故选 .
√
√
6.已知集合,3,，,，，则实数 的取值集
合为( )
A. B., C. D.
[解析] 当时，， ，与集合中元素的互异性矛盾.
当时，解得或，
若，则 ，与集合中元素的互异性矛盾；
若，则， ，符合题意.
综上，，故的取值集合为 .故选A.
√
7.若，0，，，，则 ____.
[解析] 因为，0，，，，所以 或
由①得或其中 不符合集合中元素的互异性，
符合题意，此时；
由②得 符合题意，此时.
综上，的值为 .
8.［2025·湖南多校高一期中］集合, ,
,,均为质数 的真子集的个数为____.
31
[解析] 依题意得,,,, ，
所以集合的真子集的个数为 .
9.（13分）已知集合, .
（1）写出集合 的子集、真子集.
解：由题意可知，所以其子集为,,, ，
真子集为,,.
（2）求集合 的子集及其个数、真子集及其个数和非空真子集及其
个数.
解：由题意可知,0,，所以其子集为,,,, ,
,,,,,0,，共有（个），
真子集为,, ,,,,,,,共有 （个），
非空真子集为,,,,,,,,共有 （个）.
10.集合,，, ，
, }的关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 任取，则， ，
所以，所以，
任取，则 ，，所以，
所以，所以.
任取 ，则，，所以，
所以 ，又，，所以，所以 ，故选C.
√
11.已知集合有8个子集,则实数 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合有 （个）子集,
所以集合中含有3个元素,则 .故选A.
√
12.（多选题）已知集合,},若集合 有
且仅有2个子集,则 的取值可以为( )
A. B. C.0 D.1
[解析] ∵集合有且仅有2个子集,∴集合 中有且仅有1个元素.
时,集合,符合题意.
当时,由 ,解得,
当时,,符合题意,
当时, ,符合题意,
故选 .
√
√
√
13.当时,,则称是和美集合.集合 的所
有非空子集中是和美集合的个数为___.
7
[解析] 当集合的非空子集中含有一个元素时,, 为和美集合;
当集合的非空子集中含有两个元素时,,, 为和美集合;
当集合的非空子集中含有三个元素时,, 为和美集合;
当集合的非空子集中含有四个元素时, 为和美集合.
综上, 和美集合有7个.
14.（15分）已知集合 ，
，若，求实数 的取值范围．
解:因为集合 , ，
所以集合， .
（1）当 时，，解得，此时满足 ；
（2）当 时,要满足,只需 解得.
综上可得，实数的取值范围为 ．
15.已知集合有整数解,非空集合 满足
条件:,②若,则,则所有这样的集合 的个数为____.
31
[解析] 易知 的整数解一正一负,且绝对值是36的约数.
当方程的解为,36时,;当方程的解为,18时, ;
当方程的解为,12时,;当方程的解为,9时, ;
当方程的解为,6时,;当方程的解为,4时,;
当方程的解为 ,3时,;当方程的解为,2时,;
当方程的解为 ,1时,.
故集合,,,,0,5,9,16,.
由非空集合 满足条件:,②若,则，可得集合 中
可能含0，也可能不含0，且其他元素成对出现或不出现,即 与35
同时出现或同时不出现,与16同时出现或同时不出现, 与9同时
出现或同时不出现,与5同时出现或同时不出现,且为非空集合，
故这样的集合 的个数为 .
16.（15分）设集合， ，
， }．
（1）若，求 的值．
解：因为集合，，， ，
所以，， ，
所以和0为方程 的两个根，
解得 .
16.（15分）设集合， ，
， }．
（2）若，求实数 的取值范围．
解：①当时，，解得 .
②当时，若 ，则解得 ；
若，则 无解；
若，，则 解得．
综上所述，若，则实数的取值范围为 或 ．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 任意一个 ><>< 内部 >> 知识点二 >
知识点三>m>m> 知识点四 不含任何元素 子集 >
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）× （5）√
2.“”表示元素与集合之间的关系；“”表示集合与集合之间的关系.
课中探究 例1 （1） （2） （3） 变式 （1）B （2），图
. 例2 集合的所有子集为,,共2个;所有真子集为,共1个.集合,的所有子集为,,,,,共4个;
所有真子集为,,,共3个.集合,,的所有子集为,,,,,,, ,,,,,,共8个;
所有真子集为,,,,,,,,,,共7个.猜想:含个元素的集合,, ,的所有子集的
个数是,真子集的个数是,非空真子集的个数是.
变式 （1）C （2）集合为,2,,,2,,,2,,,2,3,,,2,3,,,2,4,,,2,3,4,.
例3 （1） （2）D 变式 或
.
快速核答案（练习册）
1.C 2.AD 3.D 4.B 5.AC 6.A 7. 8.31
9.（1）子集为>,,,，真子集为, ,（2）子集为 ,,,,, ,,,,,0,,共个,
真子集为,,,,, ,,,，共个,
非空真子集为,,,,,, ,,共个.
10.C 11.A 12.BCD 13.7 14. 15.31
16.（1）m>（2）或