1.3.1 集合的并集、交集
【学习目标】
1.理解并集、交集的概念,会用文字语言、符号语言及图形语言来描述这些概念.
2.了解并集、交集的一些简单性质,会求两个简单集合的并集与交集.
3.能使用Venn图表示两个集合的并集与交集,体会图形对理解抽象概念的作用.
◆ 知识点一 集合的并集
1.并集的三种语言表示:
文字 语言 一般地,由所有 的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 (读作“A并B”)
符号 语言 A∪B={x| }
图形 语言
2.并集的运算性质
(1)A∪A=A;(2)A∪ =A;(3)A∪B=B∪A;(4)若A B,则A∪B=B,反之也成立.
◆ 知识点二 集合的交集
1.交集的三种语言表示:
文字 语言 一般地,由所有 的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作 (读作“A交B”)
符号 语言 A∩B={x| }
图形 语言
2.交集的运算性质
(1)A∩A=A;(2)A∩ = ;(3)A∩B=B∩A;(4)若A B,则A∩B=A,反之也成立.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设A={x∈N|x<5},B={2,3,5},则A∪B={x∈N|x≤5}. ( )
(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C). ( )
(3)若A={1,2,3},B={4,5,6},则A与B的交集为空集. ( )
(4)若x∈A∪B,则x∈A∩B. ( )
(5)若x∈A∩B,则x∈A∪B. ( )
◆ 探究点一 并集及其运算
例1 (1)设集合A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则集合A∪B= ( )
A.{5,8}
B.{3,4,5,6,7,8}
C.{4,6}
D.{3,4,6,7}
(2)已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},那么A∪B= ( )
A.{x|-2≤x≤4}
B.{x|x≤3或x>4}
C.{x|-2≤x≤-1}
D.{x|-1≤x≤3}
变式 (1) 若A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B= ( )
A.{0,2,4,6} B.{0,2}
C.{0,1,2,3,4,6} D.{0,1,2,3,0,2,4,6}
(2)已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.8
[素养小结]
并集运算应注意的问题:
(1)对于用描述法表示的集合,应先看集合的代表元素是什么,然后将集合化简,再按定义求解.
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合中元素的互异性这一属性,重复的元素只能算一个.
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点的值能否取到.
◆ 探究点二 交集及其运算
例2 (1)已知集合M={x|-1
A.{x|0B.{x|0C.{x|-1D.{x|-1(2) 设集合A={-2,2},B={x|x2-5x-m=0}.若A∩B={2},则B= ( )
A.{-2,3} B.{2}
C.{-2,2} D.{2,3}
变式 (1)已知集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=5-4x},则A∩B= ( )
A.(1,1)
B.{(1,1)}
C.(-1,-1)
D.{(-1,-1),(1,1)}
(2)已知集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
[素养小结]
求集合A∩B的常见类型:
①若A,B中的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根,再求两集合的交集.
②若A,B中的元素是有序实数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集.
③若A,B是无限数集,则可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
◆ 探究点三 根据并集与交集运算求参
例3 已知集合A={x|-3≤x≤1},B={x|m-2≤x≤2m+1}.
(1)若A∪B=A,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
变式 已知集合A={x|1(1)若A∩B=A,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
[素养小结]
(1)在利用交集、并集的性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B这类问题,解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析,如由A∩B=A得A B,由A∪B=B得A B等.
(2)当集合B A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,那么运算时要考虑B= 的情况.
1.3.1 集合的并集、交集
【课前预习】
知识点一
1.属于集合A或属于集合B A∪B
x∈A,或x∈B
知识点二
1.属于集合A且属于集合B A∩B
x∈A,且x∈B
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
[解析] (1)A={x∈N|x<5}={0,1,2,3,4},B={2,3,5},则A∪B={0,1,2,3,4,5}={x∈N|x≤5}.
(2)由并集的定义知等式成立.
(3)若A={1,2,3},B={4,5,6},则A∩B= .
(4)若x∈A∪B,则x不一定是A,B的公共元素,故说法错误.
(5)若x∈A∩B,则x∈A且x∈B,∴x∈A∪B.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B [解析] (1)因为A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},所以A∪B={3,4,5,6,7,8},故选B.
(2)将集合A和集合B分别表示在数轴上,如图所示,由图可知A∪B={x|x≤3或x>4},故选B.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)∵A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},∴B={0,2,4,6},∴A∪B={0,1,2,3,4,6}.故选C.
(2)因为M∪N={-1,0,1},M={0,-1},集合M M∪N,且集合N M∪N,所以1∈N,则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个.故选C.
探究点二
例2 (1)A (2)D [解析] (1)集合M={x|-1(2)因为A∩B={2},所以2∈B,所以4-10-m=0,解得m=-6,则B={x|x2-5x+6=0}={2,3}.故选D.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)由
得所以A∩B={(1,1)}.故选B.
(2)由题知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合B={-3,2},所以题图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}.
探究点三
例3 解:(1)因为A∪B=A,所以B A.
当B= 时,m-2>2m+1,解得m<-3,符合题意;
当B≠ 时,可得解得-1≤m≤0.
综上所述,实数m的取值范围是-1≤m≤0或m<-3.
(2)∵A∩B= ,∴当B= 时,由(1)知m<-3,符合题意;
当B≠ 时,可得或解得-3≤m<-2或m>3.
综上所述,实数m的取值范围是m<-2或m>3.
变式 解:(1)∵A∩B=A,∴A B,
∴解得m≤-2,∴实数m的取值范围是m≤-2.
(2)∵A∩B= ,∴当B= 时,2m≥1-m,解得m≥,符合题意;
当B≠ 时,可得或解得0≤m<.
综上,实数m的取值范围是m≥0.1.3.1 集合的并集、交集
1.设集合A={3,5,6,8},B={4,5,8},则A∩B= ( )
A.{3,6} B.{5,8}
C.{4,6} D.{3,4,5,6,8}
2.已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|2A.{x|2C.{x|1≤x<5} D.{x|13.设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B= ( )
A.{2} B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
4.已知集合A={1,3,},B={1,m},且A∪B=A,则m等于 ( )
A.0或3 B.0或
C.1或 D.1或3或0
5.(多选题)设集合A={x|x2-4=0},B={y|y=x2-4},则 ( )
A.A∩B=
B.A∩B=A
C.A∪B=B
D.A∪B={-2,2}
6.下列表示图中的阴影部分的是 ( )
A.(A∪C)∩(B∪C)
B.(A∪B)∩(A∪C)
C.(A∪B)∩(B∪C)
D.(A∪B)∩C
7.[2025·福建师大附中高一月考] 已知集合A={x|x8.设A,B是非空集合,定义:A×B={x|x∈A∪B且x A∩B},已知A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},则A×B= .
9.(13分)已知集合A={x|4≤x<8},B={x|2≤x≤10},C={x|x<2a}.
(1)求A∪B;
(2)若A∩C≠ ,求a的取值范围.
10.设集合A,B,C均为非空集合,则下列说法正确的是 ( )
A.若A∩B=B∩C,则A=C
B.若A∪B=B∪C,则A=C
C.若A∪B=B∩C,则C B
D.若A∩B=B∪C,则C B
11.已知集合A={x|x2-ax+1=0,x∈R},B={x|x>0},若A∩B= ,则实数a的取值范围为 ( )
A.a<2 B.-2C.a>-2 D.a≥2
12.已知集合A={0,3,a2},B={0,a+2},A∪B=A,则实数a的值为 .
13.[2025·湖南长郡中学高一月考] 某班有学生56人,同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人,同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人,同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组,则该班学生中只参加了1个小组的人数最多是 .
14.(15分)已知集合A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+6=0},A∪B={2,3},A∩B={3},求a,b,c的值.
15.设集合A是集合N*的子集,对于i∈N*,定义φi(A)=给出下列三个结论:
①存在N*的两个不同子集A,B,使得对任意i∈N*,都满足φi(A∩B)=0且φi(A∪B)=1;
②任取N*的两个不同子集A,B,则对任意i∈N*,都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B);
③设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n-2,n∈N*},则对任意i∈N*,都有φi(A∩B)=φi(A)φi(B).
其中正确结论的序号为 .
16.(15分)已知集合A={x|x2+4x-5=0},B={x|x2+2(a+2)x+a2+2a-2=0}.
(1)若A∩B={1},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
1.3.1 集合的并集、交集
1.B [解析] ∵集合A={3,5,6,8},B={4,5,8},∴A∩B={5,8}.故选B.
2.C [解析] 因为A={x|1≤x≤4},B={x|23.D [解析] 由题知,A∩C={1,2},∴(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D.
4.A [解析] 由题意,集合A={1,3,},B={1,m},因为A∪B=A,所以B A,则满足或解得m=3或m=0.故选A.
5.BC [解析] 由题意得A={-2,2},B={y|y≥-4},所以A∩B={-2,2}=A,A∪B={y|y≥-4}=B.故选BC.
6.A [解析] 如图所示,A∪C表示的区域为①②③④⑥⑦,B∪C表示的区域为②③④⑤⑥⑦,所以(A∪C)∩(B∪C)表示的区域为②③④⑥⑦,故A正确;A∪B表示的区域为①②③④⑤⑥,所以(A∪B)∩(A∪C)表示的区域为①②③④⑥,故B错误;(A∪B)∩(B∪C)表示的区域为②③④⑤⑥,故C错误;(A∪B)∩C表示的区域为③④⑥,故D错误.故选A.
7.k≥2 [解析] 因为A∩B=B,所以B A,又A={x|x8.{x|0≤x≤1或x>2} [解析] 因为A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},所以A∪B={x|x≥0},A∩B={x|12}.
9.解:(1)因为集合A={x|4≤x<8},B={x|2≤x≤10},
所以A∪B={x|2≤x≤10}.
(2)因为C={x|x<2a},A∩C≠ ,
所以2a>4,解得a>2.
10.D [解析] 对于A,当A={1,2},B={1},C={1,2,3}时,满足A∩B=B∩C,但A=C不成立,故A错误;对于B,当A={1,2},B={3},C={1,2,3}时,满足A∪B=B∪C,但A=C不成立,故B错误;对于C,当A={1},B={1,2},C={1,2,3}时,满足A∪B=B∩C,但C B不成立,故C错误;对于D,因为(A∩B) B,A∩B=B∪C,所以(B∪C) B,又B (B∪C),所以B=B∪C,则C B,故D正确.故选D.
11.A [解析] 由题可知,当A= 时,满足A∩B= ,此时Δ=a2-4<0,解得-212.±1或2 [解析] 由A∪B=A知B A.当a+2=3时,a=1;当a+2=a2时,a=-1或a=2.综上,a=±1或2.
13.21 [解析] 如图,设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x,只参加了1个小组的人数为y,则(32-x)+(25-x)+(22-x)+x+y=56,即y=2x-23,因为x≤22,所以y≤21.
14.解:因为A∩B={3},所以3是方程x2+cx+6=0的根,
则32+3c+6=0,解得c=-5,所以B={x|x2-5x+6=0}={3,2}.
因为A∪B={2,3},A∩B={3},所以A≠B,
则A={3},所以方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根3,
所以解得
综上,a=-6,b=9,c=-5.
15.①③ [解析] 对于①,令集合A是正奇数集合,B是正偶数集合,则A∩B= ,A∪B=N*,∴对任意i∈N*,都满足φi(A∩B)=0,φi(A∪B)=1,故①正确. 对于②, 令A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B={1,2,3,4},当i=2时,φi(A∪B)=1,φi(A)=1,φi(B)=1,∴φi(A∪B)≠φi(A)+φi(B), 故②错误.对于③,若φi(A∩B)=0,则i A∩B,则i∈A且i B或i∈B且i A或i A且i B,∴φi(A)·φi(B)=0;若φi(A∩B)=1,则i∈A∩B,则i∈A且i∈B,∴φi(A)·φi(B)=1.∴对任意i∈N*,都有φi(A∩B)=φi(A)·φi(B),故③正确.∴所有正确结论的序号是①③.
16.解:(1)由题可知,A={-5,1},
因为A∩B={1},所以1∈B,即x=1是方程x2+2(a+2)x+a2+2a-2=0的根,
则有1+2(a+2)+a2+2a-2=0,即a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3.
当a=-1时,B={x|x2+2x-3=0}={1,-3},满足A∩B={1},符合题意;当a=-3时,B={x|x2-2x+1=0}={1},满足A∩B={1},符合题意.
综上,实数a的值为-1或-3.
(2)因为A∪B=A,所以B A.
当B= 时,Δ=[2(a+2)]2-4(a2+2a-2)=8a+24<0,解得a<-3;
当B={1}时,由(1)知,a=-3,符合题意;当B={-5}时,可得
无解;
当B={1,-5}时,可得
无解.
综上,实数a的取值范围是a≤-3.(共60张PPT)
1.3.1 集合的并集、交集
探究点一 并集及其运算
探究点二 交集及其运算
探究点三 根据并集与交集运算求参
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解并集、交集的概念，会用文字语言、符号语言及图形语言来描
述这些概念．
2.了解并集、交集的一些简单性质，会求两个简单集合的并集与交集．
3.能使用 图表示两个集合的并集与交集,体会图形对理解抽象概
念的作用.
知识点一 集合的并集
1.并集的三种语言表示:
文字语言
符号语言
图形语言 _________________________________________________________________________________________________________________________________________
属于集合或属于集合
,或
2.并集的运算性质
（1）；（2）；（3） ；（4）若
,则 ，反之也成立.
知识点二 集合的交集
1.交集的三种语言表示:
文字语言
符号语言
图形语言 _________________________________________________________________________________________________________________________________________
属于集合且属于集合
,且
2.交集的运算性质
（1）；（2） ；（3） ；（4）若
,则 ，反之也成立.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）设,,则 .( )
√
[解析] , ,
则 .
（2） .( )
[解析] 由并集的定义知等式成立.
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）若,则 .( )
×
[解析] 若,则不一定是, 的公共元素,故说法错误.
（5）若,则 .( )
√
[解析] 若,则且, .
（3）若,,则与 的交集为空集.( )
[解析] 若,,则 .
√
探究点一 并集及其运算
例1（1）设集合，，则集合 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，，所以 ，
故选B.
√
（2）已知集合,或 ，那么
( )
A. B.或
C. D.
[解析] 将集合和集合 分别表示在数轴上，如图所示，
由图可知或 ，故选B.
√
变式（1）若，1，2，，， ，则
( )
A.，2，4， B.，
C.，1，2，3，4， D.，1，2，3，0，2，4，
[解析] ，1，2，，，，
，2，4，，，1，2，3，4， .
故选C.
√
（2）已知集合,，则满足,0,的集合 的个
数是( )
A.2 B.3 C.4 D.8
[解析] 因为，0，，，，集合 ，
且集合，
所以,则集合可以为或, 或,或,,,共4个.
故选C.
√
［素养小结］
并集运算应注意的问题：
（1）对于用描述法表示的集合，应先看集合的代表元素是什么，然
后将集合化简，再按定义求解.
（2）求两个集合的并集时要注意利用集合中元素的互异性这一属性，
重复的元素只能算一个.
（3）对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用
数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到.
探究点二 交集及其运算
例2（1）已知集合, ，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 集合, ，
所以 .故选A.
√
（2）设集合，，.若 ，
则 ( )
A.， B. C.， D.，
[解析] 因为，所以,
所以 ,解得,则, .
故选D.
√
变式（1）已知集合， ，则
( )
A. B.
C. D.,
[解析] 由得
所以 .故选B.
√
（2）已知集合 ，
，则图中阴影部分表
示的集合为( )
A. B. C., D.,
[解析] 由题知集合，集合,,
所以题图中阴影部分表示的集合为 .
√
［素养小结］
求集合的常见类型：
①若，中的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根，再求
两集合的交集.
②若，中的元素是有序实数对，则是指两个方程组成的方
程组的解集，交集是点集.
③若，是无限数集，则可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴
表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空
心圈表示.
探究点三 根据并集与交集运算求参
例3 已知集合， .
（1）若，求实数 的取值范围；
解：因为，所以 .
当时，，解得 ，符合题意；
当时，可得解得 .
综上所述，实数的取值范围是或 .
例3 已知集合， .
（2）若 ，求实数 的取值范围.
解：， 当 时，由（1）知 ，符合题意；
当时，可得或
解得或 .
综上所述，实数的取值范围是或 .
变式 已知集合，集合 .
（1）若，求实数 的取值范围；
解：， ，
解得， 实数的取值范围是 .
变式 已知集合，集合 .
（2）若 ，求实数 的取值范围.
解：，
当时，，解得 ，符合题意；
当时，可得 或解得 .
综上，实数的取值范围是 .
［素养小结］
（1）在利用交集、并集的性质解题时,常常会遇到,
这类问题,解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关
系去分析,如由得,由得等.
（2）当集合时,如果集合是一个确定的集合,而集合不确定,
那么运算时要考虑 的情况.
1.对并集的理解
（1）对“或”的理解.“或” 包含三种情况：但 ；
但；且. 图表示如图所示.
（2）对“所有”的理解.不能简单地认为是由的所有元素和 的
所有元素简单拼凑组成的集合，还要注意集合中元素的互异性，相
同的元素只算一次.
2.对交集的理解
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当两个集合与 没有公
共元素时， .
（2）对“所有”的理解：不仅中的所有元素都是和 的公共元
素，同时，和的公共元素都属于 .
（3）集合与的交集的三种特殊情况用 图表示如图所示.
1.求集合的并集、交集的一般方法:
（1）当集合中的元素有限时,可根据并集、交集的定义或 图表
示集合运算的结果,但一定要注意集合中元素的互异性.
（2）与不等式有关的集合的并集、交集的运算,利用数轴分析法直观
清晰,易于理解.建立不等式时,要特别注意端点值是否能取到,最好是
把端点值代入题目验证.
例1（1）若集合,3,，,，且,3, ，则满
足条件的实数 的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为集合,3,，,，且,3, ，
所以或，解得或或.
当时，集合, 不满足元素的互异性，故舍去；
当或 时，满足题意.
故满足条件的实数 的个数为3.故选C.
√
（2）已知集合,,则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得 .
故选A.
√
2.利用并集、交集的性质解题的方法与注意点:
（1）利用集合的并集、交集的性质解题时,常常遇到集合的相等或集
合的包含关系等问题,解答时常借助于并集、交集的定义及集合间的
关系去分析.
（2）注意点:当集合中的元素不确定时,要注意分类讨论,特别注意不
确定的集合是否可以是空集的情形.
例2 已知集合,3,,, ,
，且, .
（1）求实数 的值；
解：由,，得，解得或 ，
当时，，不符合题意；
当 时，符合题意.
所以 .
例2 已知集合,3,,, ,
，且, .
（2）若,，求实数 的取值范围.
解：由（1）得，，由，得 .
①若 ，则，即 ，符合题意；
②若 ，则由，得解得 .
综上，实数的取值范围是或 .
练习册
1.设集合，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 集合，， .故选B.
√
2.已知集合，，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为， ，
所以 .故选C.
√
3.设集合,1,2,3,,, ，则
( )
A. B. C.,2, D.
[解析] 由题知，， .故选D.
√
4.已知集合,3,，,,且，则 等于( )
A.0或3 B.0或 C.1或 D.1或3或0
[解析] 由题意，集合,3,，,，
因为 ，所以，
则满足或解得或 .故选A.
√
5.（多选题）设集合, ,则( )
A. B.
C. D.,
[解析] 由题意得,，，
所以 ,，.故选 .
√
√
6.下列表示图中的阴影部分的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 如图所示，
表示的区域为①②③④⑥⑦，
表示的区域为②③④⑤⑥⑦，
所以 表示的区域为②③④⑥⑦，
故A正确；
表示的区域为①②③④⑤⑥，
所以 表示的区域为①②③④⑥，故B错误；
表示的区域为②③④⑤⑥，故C错误；
表示的区域为③④⑥，故D错误.故选A.
7.［2025·福建师大附中高一月考］已知集合 ，
，且，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为，所以，
又 ，，所以 .
8.设，是非空集合，定义：且 ，
已知，，则 ______________
_______.
或
[解析] 因为， ，
所以， ，
因为且，
所以 或 .
9.（13分）已知集合， ，
.
（1）求 ；
解：因为集合， ，
所以 .
（2）若 ，求 的取值范围.
解：因为， ，
所以,解得 .
10.设集合，， 均为非空集合，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
√
[解析] 对于A,当,,,,2, 时,
满足,但不成立,故A错误；
对于B,当, ,,,2,时,满足,
但 不成立,故B错误；
对于C,当,,,,2, 时,满足,
但 不成立,故C错误；
对于D,因为,,所以,
又 ,所以,则 ,故D正确.故选D.
11.已知集合,, ，若
，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，当 时，满足 ，
此时，解得;
当 时，设方程的两个实数根为,,
因为 ，所以 ,,所以解得.
综上， .故选A.
√
12.已知集合,3,，,，，则实数 的值
为_______.
或2
[解析] 由知.
当时，;
当 时，或.
综上， 或2.
13.［2025·湖南长郡中学高一月考］某班有学生56人，同时参加了数
学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组
的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知
该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了1个小组
的人数最多是____.
21
[解析] 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、
英语小组和语文小组的人数为 ，只参加了1个小组
的人数为 ，
，
即，因为，所以 .
14.（15分）已知集合 ,
,,，求,, 的值.
解:因为，所以3是方程 的根，
则，解得 ，
所以 .
因为,，所以 ，
则，所以方程 有两个相等的实数根3，
所以解得
综上，,, .
15.设集合是集合的子集，对于，定义 给
出下列三个结论：
①存在的两个不同子集，，使得对任意 ，都满足
且 ；
②任取的两个不同子集，，则对任意 ，都有
；
③设,，, ，则对任意
，都有 .
其中正确结论的序号为______.
①③
[解析] 对于①,令集合是正奇数集合, 是正偶数集合,则,
, 对任意,都满足 ,,故①正确.
对于②,令, ,则,
当时,, ,,
,故②错误.
对于③,若,则,
则且或且或 且,;
若,则 ,则且,
对任意 ,都有,故③正确.
所有正确结论的序号是①③.
16.（15分）已知集合 ,
.
（1）若，求实数 的值；
解：由题可知，， ，
因为，所以，
即 是方程 的根，
则有，即 ,
解得或 .
当时,,,满足 ,符合题意；
当时, ,满足 ,符合题意．
综上，实数的值为或 .
16.（15分）已知集合 ，
.
（2）若，求实数 的取值范围．
解：因为，所以 ．
当 时，
，解得 ；
当时，由（1）知，，符合题意；
当 时,
可得 无解；
当， 时，
可得 无解．
综上，实数的取值范围是 ．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.属于集合或属于集合 ,或
知识点二 1.属于集合且属于集合 ,且
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）√
课中探究 探究点一 例1 （1）B （2）B
变式 （1）C （2）C
探究点二 例2 （1）A （2）D
变式 （1）B （2）A
探究点三 例3 （1）或 （2）或
变式 （1） （2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.D 4.A 5.BC 6.A
7. 8.或
9.（1） （2）
10.D 11.A 12.或2 13.21
14.,,
15.①③
16.（1）或（2）