第2课时 集合的全集、补集
【学习目标】
1.在具体情境中,了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表示集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
◆ 知识点一 全集
(1)定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集.
(2)记法:全集通常记作 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在集合运算中,全集一定是实数集R. ( )
(2)为了研究集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是A. ( )
◆ 知识点二 补集的概念及性质
定义 文字 语言 对于一个集合A,由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作
符号 语言 UA={x| }
图形 语言
性质 (1) UA U; (2) UU= , U = ; (3) U( UA)= ; (4)A∪( UA)= ,A∩( UA)=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)一个集合的补集一定含有元素. ( )
(2)设全集U=R,存在x0∈U,x0 A,且x0 UA. ( )
(3)设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|x>0且y>0},则 UA={(x,y)|x≤0且y≤0}. ( )
◆ 探究点一 补集的简单运算
例1 (1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},则 UM= ( )
A.5 B.{5}
C.{3,4} D.{1,2,3,4}
(2)已知集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},则 UA= ( )
A.{x|x<-1或x>2}
B.{x|-1
C.{x|x≤-1或x≥2}
D.{x|-1变式 (1)集合A={x|y=},B={y|y=x2+2},则图中阴影部分表示的集合为 ( )
A.{x|x≥1}
B.{x|x≥2}
C.{x|1≤x≤2}
D.{x|1≤x<2}
(2)已知全集U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= .
[素养小结]
求集合的补集的方法:
(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出补集.
(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点取值.
◆ 探究点二 并集、交集、补集的综合运算
例2 (1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩( UA)= ( )
A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
(2)已知集合U={x|1求:①( UA)∩( UB);② U(A∩B).
变式 (1)(多选题)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则 ( )
A.A∩B=
B.A∩( RB)=
C.A∪B=
D.( RA)∪B=R
(2)如图,U为全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合可以是 ( )
A.[P∩( US)]∪M
B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩( US )
D.(M∩P)∪( US)
[素养小结]
(1)解决与集合的交、并、补集运算有关的综合问题时,一般先运算括号内的部分,如求( UA)∩B时,可先求出 UA,再求交集;求 U(A∪B)时,可先求出A∪B,再求补集.
(2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集.
◆ 探究点三 利用集合间的关系求参
例3 已知集合A={x|a(1)若a=1,求A∪B;
(2)在①A∪B=B,②( RB)∩A= ,③B∪( RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围.
变式 (1)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若( UA)∩B= ,则实数m= .
(2)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A UB,求实数a的取值范围.
[素养小结]
由集合的补集求解参数的方法:
(1)当集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)当集合中元素个数无限时,一般利用数轴分析法求解.
拓展 设全集U=R,集合A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2}.
(1)求 U(A∪B);
(2)记 U(A∪B)=D,C={x|2a-3≤x≤-a},若C∩D=C,求a的取值范围.
1.3.2 集合的全集、补集
【课前预习】
知识点一
(1)所有元素 (2)U
诊断分析
(1)× (2) √ [解析] (1)全集是一个相对的概念,只包含研究问题中涉及的所有元素,所以在集合运算中,全集不一定是实数集R.
(2)根据全集的定义知应选集合A作为全集.
知识点二
不属于集合A UA x∈U,且x A
U A U
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)全集的补集是空集,即 UU= .
(2)x0∈A和x0∈ UA中有且只有一个成立.
(3)全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合,而集合A表示第一象限内的点构成的集合,显然所求的 UA是错误的.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B [解析] (1)因为全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},所以 UM={5}.故选B.
(2)因为集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},所以 UA={x|-1变式 (1)D (2){2,3,5,7}
[解析] (1)由x-1≥0,得x≥1,则A={x|y=}={x|x≥1}.由x2+2≥2,得B={y|y≥2},则题图中阴影部分表示的集合是 AB={x|1≤x<2}.故选D.
(2)因为集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
探究点二
例2 (1)C [解析] ∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},∴ UA={1,6,7},则B∩( UA)={6,7},故选C.
(2)解:①因为集合U={x|1所以 UA={x|1②因为A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7},所以A∩B={x|3≤x<5},
又因为集合U={x|1变式 (1)AB (2)C [解析] (1)集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0}=, RB=,所以A∩B=,A∩( RB)=,故A,B正确;A∪B={x|x<2}, RA={x|x≥2},( RA)∪B=,故C,D错误.故选AB.
(2)图中的阴影部分是M∩P的子集,不属于集合S,属于集合S的补集,即是 US的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩( US).故选C.
探究点三
例3 解:(1)当a=1时,集合A={x|1因为B={x|-2≤x≤0},所以A∪B={x|-2≤x≤0或1(2)若选①,由A∪B=B,可得A B,所以解得-2≤a≤-1.
若选②,由( RB)∩A= ,可得A B,
则解得-2≤a≤-1.
若选③,由B∪( RA)=R,可得A B,
则解得-2≤a≤-1.
变式 (1)1或2 [解析] 由题意知A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},B={x|x2+(m+1)x+m=0}={x|(x+m)(x+1)=0},若( UA)∩B= ,则B A,所以m=1或m=2.
(2)解:若B= ,则a+1>2a-1,即a<2,此时 UB=R,所以A UB;
若B≠ ,则a+1≤2a-1,即a≥2,此时 UB={x|x2a-1},
又A UB,所以a+1>5或2a-1<-2,所以a>4或a<-(舍去).
综上,实数a的取值范围为a<2或a>4.
拓展 解:(1)由题意知,A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2},
则A∪B={x|x≤2或x≥5},
又全集U=R,所以 U(A∪B)={x|2(2)由(1)得D={x|2①当C= 时,-a<2a-3,解得a>1;
②当C≠ 时,可得解得a∈ .
综上,a的取值范围为a>1.1.3.2 集合的全集、补集
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},则 UA= ( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5}
C.{2,4,5} D.{2,5}
2. 已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A满足 UA={0,1,3},则A= ( )
A.{0,2} B.{-1,2}
C.{-1,0,2} D.{0}
3.已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},则 UA的非空子集的个数为 ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
4.设全集U={-3,-2,1,2,3},集合A={1,2},B={-3,2,3},则A∩( UB)= ( )
A.{-3,3} B.{2}
C.{1} D.{-2,1,3}
5.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4,5},则( UA)∩( UB)= ( )
A.{1,6} B.{6}
C.{2,3} D.{1,4,5,6}
6.(多选题)如图,U是全集,M,N是U的两个子集,则图中的阴影部分可以表示为 ( )
A.( UM)∩( UN)
B.( UM)∩N
C.M∪( UN)
D.N∩[ U(M∩N)]
7.已知全集U={1,2,m2},集合A={2,m+1}, UA={m},则实数m的值为 .
8.已知全集U=A∪B中有m个元素,( UA)∪( UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B中的元素个数为 .
9.(13分)设集合U={x|x≤5},A={x|1≤x≤2},B={x|-1≤x≤4}.
求:(1)A∩B;(2) U(A∪B);(3)( UA)∩( UB).
10.学校开运动会,设全集为U,A={x|x是参加100米跑的同学},B={x|x是参加200米跑的同学},C={x|x是参加400米跑的同学}.学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛,则可以正确说明这项规定的是 ( )
A.(A∩B)∪C=
B.(A∪B)∩C=
C.( UA)∩( UB)=
D.(A∩B)∩C=
11.设集合A={x|x≤a},B={x|x≥2},( RB)∪A=A,则a的取值范围为 ( )
A.a>2 B.a<2
C.a≥2 D.a≤2
12.(多选题)如果集合A S,那么S的子集A的补集为 SA={x|x∈S,x A}.类似地,对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,x B}叫作集合A与B的差集,记作A-B.例如,A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则A-B={1,2,3},B-A={6,7,8}.下列说法正确的是 ( )
A.若A={x|x>2},B={x|x2>4},则B-A={x|x<-2}
B.若A-B= ,则B A
C.若S是高一(1)班全体同学的集合,A是高一(1)班全体女同学的集合,则S-A= SA
D.若A∩B={2},则2一定是集合A-B的元素
13.已知全集U=R,集合A={x|x>1 或 x<-2},B={x|a≤x≤2a-1},若( UA)∩B= ,则实数a的取值范围为 .
14.(15分)设全集U=R,集合A={x|x2+4x+a=0},B={x|x2+bx-2=0}.
(1)若集合A中恰有一个元素,求实数a的值;
(2)若( UA)∩B={2},( UB)∩A={-3},求A∪B.
15.某社区需要招募志愿者进行连续3天的消防安全宣传工作,第一天有19人参加,第二天有13人参加,第三天有18人参加,其中,前两天都参加的有3人,后两天都参加的有4人,则这三天参加的不同志愿者的总人数最少为 .
16.(15分)定义1:通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.
定义2:集合X上的一个拓扑是以X的子集为元素的一个族Γ,它满足以下条件:① 和X在Γ中;②Γ的任意子集的元素的并集在Γ中;③Γ的任意有限子集的元素的交集在Γ中.
(1)若族P={ ,X},族Q={x|x X},判断族P与族Q是否为集合X的拓扑
(2)设有限集X为全集,证明: X(A1∩A2∩…∩An)=( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*,n≥2).
1.3.2 集合的全集、补集
1.B [解析] 因为U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},所以 UA={1,3,5}.故选B.
2.B [解析] 因为U={-1,0,1,2,3}, UA={0,1,3},所以A={-1,2}.故选B.
3.B [解析] 根据题意可得 UA={2,4,6},则 UA的非空子集有23-1=7(个).故选B.
4.C [解析] 因为U={-3,-2,1,2,3},B={-3,2,3},所以 UB={-2,1},又A={1,2},故A∩( UB)={1}.故选C.
5.B [解析] 因为U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4,5},所以 UA={4,5,6}, UB={1,6},所以( UA)∩( UB)={6}.故选B.
6.BD [解析] 根据题意可知,阴影中的元素属于集合N但不属于集合M,根据选项知,( UM)∩N,N∩[ U(M∩N)]符合要求.故选BD.
7.0 [解析] 由集合A={2,m+1},可得m+1≠2,解得m≠1,又由 UA={m}且U={1,2,m2},可得解得m=0,经验证m=0满足条件,所以实数m的值为0.
8.m-n [解析] ( UA)∪( UB)中有n个元素,如图中阴影部分所示,∵U=A∪B中有m个元素,∴A∩B中有m-n个元素.
9.解:(1)A∩B={x|1≤x≤2}.
(2)A∪B={x|-1≤x≤4},故 U(A∪B)={x|x<-1或4(3) UA={x|x<1或210.D [解析] 学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛,故没有同学参加三项比赛,即(A∩B)∩C= .故选D.
11.C [解析] 因为集合B={x|x≥2},所以 RB={x|x<2}.由集合A={x|x≤a},A∪( RB)=A,可得( RB) A,所以a≥2.故选C.
12.AC [解析] 对于选项A,B={x|x2>4}={x|x>2或x<-2},A={x|x>2},则B-A={x|x<-2},故A正确;对于选项B,令A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},则A-B= ,但B不包含于A,故B错误;对于选项C,S-A表示高一(1)班全体同学中去除全体女同学后剩下的同学的集合,即为高一(1)班全体男同学的集合,则必有S-A= SA.故C正确;对于选项D,令A={1,2,3},B={2,4,5},则A∩B={2},A-B={1,3},此时2 {1,3},故D错误.故选AC.
13.a<1或a>1 [解析] ∵A={x|x>1 或 x<-2},∴ UA={x|-2≤x≤1}.①当 a>2a-1,即 a<1 时,B= ,满足题意;②当 a≤2a-1,即 a≥1时,∵( UA)∩B= ,∴a>1 或 2a-1<-2,可得 a>1.∴实数a的取值范围是 a<1或a>1.
14.解:(1)∵集合A中恰有一个元素,
∴Δ=16-4a=0,解得a=4.
(2)∵( UA)∩B={2},∴2∈B,则4+2b-2=0,解得b=-1.
∵( UB)∩A={-3},∴-3∈A,
则9-12+a=0,解得a=3,
则A={x|x2+4x+3=0}={-1,-3},B={x|x2-x-2=0}={-1,2}.
检验可知( UA)∩B={2},( UB)∩A={-3}成立,
∴A∪B={-3,-1,2}.
15.29 [解析] 记第一天、第二天、第三天参加的志愿者分别构成集合A,B,C,三天都参加的志愿者人数为x,第一天和第三天都参加的志愿者人数为x+y,根据题意可作出Venn图如图.依题意必有x,y,3-x,14-y均为自然数,所以0≤x≤3,0≤y≤14,故这三天参加的不同志愿者的总人数为19+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y,故当y=14时,总人数最少,最少为43-14=29.
16.解:(1)族P={ ,X},族Q={x|x X}都是集合X的拓扑.
(2)证明:设x∈ X(A1∩A2∩…∩An),则x (A1∩A2∩…∩An),故存在整数i(1≤i≤n),使得x Ai,
因此x∈ XAi,得x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)].
设x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)],则存在整数j(1≤j≤n),使得x∈ XAj,故x Aj,
因此x (A1∩A2∩…∩An),得x∈ X(A1∩A2∩…∩An).
故 X(A1∩A2∩…∩An)=( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*,n≥2).(共59张PPT)
1.3.2 集合的全集、补集
探究点一 补集的简单运算
探究点二 并集、交集、补集的综合运算
探究点三 利用集合间的关系求参
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在具体情境中,了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
3.能使用 图表示集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念
的作用.
知识点一 全集
（1）定义:一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的_______
___,那么就称这个集合为全集.
（2）记法:全集通常记作___.
所有元素
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在集合运算中，全集一定是实数集 .( )
×
[解析] 全集是一个相对的概念,只包含研究问题中涉及的所有元素,
所以在集合运算中，全集不一定是实数集 .
（2）为了研究集合,, 之间的关
系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是 .( )
[解析] 根据全集的定义知应选集合 作为全集.
√
知识点二 补集的概念及性质
定 义 文字语言
符号语言
图形语言 ______________________________________
不属于集合
,且
性 质
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）一个集合的补集一定含有元素.( )
×
[解析] 全集的补集是空集,即 .
（2）设全集，存在，，且 .( )
×
[解析] 和 中有且只有一个成立.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）设全集，，且 ，
则且 .( )
×
[解析] 全集是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，
而集合 表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的 是错误的.
探究点一 补集的简单运算
例1（1）已知全集,集合,则( )
A.5 B. C. D.
[解析] 因为全集，集合 ，
所以 .故选B.
√
（2）已知集合，或，则 ( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 因为集合，或 ，
所以 .故选B.
√
变式（1）集合, ,则图中阴影
部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得,则 .
，得 ，
则题图中阴影部分表示的集合是 .故选D.
√
（2）已知全集，集合，3，5，，，4， ，
，4，，则集合 _____________.
，3，5，
[解析] 因为集合，3，5，，，4，，
所以 ，2，3，4，5，6，.
又，4，，所以，3，5， .
［素养小结］
求集合的补集的方法：
（1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
（2）图法：借助图可直观地求出补集.
（3）数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此
时需注意端点取值.
探究点二 并集、交集、补集的综合运算
例2（1）已知集合，， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，， ，
，则 ，故选C.
√
（2）已知集合， ，
．
求：
① ;
解：因为集合, , ，
所以或， ，
因此 .
（2）已知集合， ，
．
求：
② ．
解：因为， ，
所以 ，
又因为集合，
所以 或 .
变式（1）（多选题）已知集合， ，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 集合， ，
，
所以 ，，故A,B正确；
，， ，
故C，D错误.故选 .
（2）如图，为全集，，，是 的三个子集，则阴影部分所表
示的集合可以是( )
A. B.
C. D.
[解析] 图中的阴影部分是的子集，不属于集合，属于集合
的补集，即是 的子集，
则阴影部分所表示的集合是 .故选C.
√
［素养小结］
（1）解决与集合的交、并、补集运算有关的综合问题时，一般先运
算括号内的部分，如求时，可先求出，再求交集；求
时，可先求出，再求补集.
（2）不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集
是全集的子集.
探究点三 利用集合间的关系求参
例3 已知集合, .
（1）若,求 ;
解：当时,集合 ,
因为,所以或 .
例3 已知集合, .
（2）在, , 这三个条件
中任选一个作为已知条件,求实数 的取值范围.
解：若选①,由,可得,
所以 解得 .
若选②,由 ,可得 ,
则解得 .
若选③,由,可得 ,
则解得 .
变式（1）设，集合 ，
，若 ，则实数
______.
1或2
[解析] 由题意知, ，
，
，则，所以或 .
（2）已知全集,集合 ,
,且,求实数 的取值范围.
解:若 ,则,即,此时,所以 ；
若,则,即,
此时 或 ,
又,所以或,
所以或 （舍去）.
综上，实数的取值范围为或 .
［素养小结］
由集合的补集求解参数的方法：
（1）当集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
（2）当集合中元素个数无限时，一般利用数轴分析法求解.
拓展 设全集，集合或， .
（1）求 ；
解：由题意知，或， ，
则或 ，
又全集，所以 .
拓展 设全集，集合或， .
（2）记，，若 ，
求 的取值范围.
解：由（1）得 ，
由得 .
①当 时，，解得 ；
②当 时，可得解得 .
综上，的取值范围为 .
1.全集仅含我们研究问题所涉及的所有元素,问题不同,全集也不尽相同.
2.补集运算是集合间的一种基本运算,求集合相对于全集 的补集,全集
不同,得到的补集也不相同,因此,它们是相互依存、不可分割的两个概念.
3.的三层含义:是一个集合;是的子集,即;
是中不属于 的所有元素组成的集合.
1.进行集合的交、并、补集运算时应紧扣定义,适当借助 图及数
轴等工具.
例1 已知,,求, ,
.
解：因为，所以或 ，
又 ，
所以 ， ，
.
2.补集思想的应用.
有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考
虑的因素太多，可用补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思
考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓
解题思路.
例2 已知， .
若，求实数 的取值集合.
解：若，则 .
,， 当时，集合 有以下
三种情况：
①当 时，，即，
或 ；
②当是单元素集时，，或 ，
若，则，不包含于，若，则 ；
③当,时，，4是方程 的两个根，
则 .
综上可得，当时，的取值集合为或 或
，
时，实数的取值集合为且 .
练习册
1.已知全集,2,3,4,5,,,4,,则( )
A.，4， B.，3， C.，4， D.，
[解析] 因为，2，3，4，5，，，4， ，
所以，3， .故选B.
√
2.已知全集,0,1,2,，集合满足，
则( )
A. B., C.,0, D.
[解析] 因为,0,1,2,，，所以, .故选B.
√
3.已知,,则 的非空子集的个数
为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 根据题意可得,则的非空子集有
（个）.故选B.
√
4.设全集,,1,2,,集合,,2, ,则
( )
A., B. C. D.,1,
[解析] 因为,,1,2,,,2,,所以, ,
又,所以 .故选C.
√
5.已知集合,， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,， ，
所以，，所以 .
故选B.
√
6.（多选题）如图，是全集，,是 的
两个子集，则图中的阴影部分可以表示
为( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意可知，阴影中的元素属于集合但不属于集合 ，
根据选项知，,符合要求.故选 .
√
√
7.已知全集,2,，集合,， ，则实数
的值为___.
0
[解析] 由集合,，可得，解得 ，
又由且,2,，可得解得 ，
经验证满足条件，所以实数 的值为0.
8.已知全集中有个元素，中有 个元素.若
非空，则 中的元素个数为_______.
[解析] 中有 个元素，如图中阴影部分所示，
中有个元素，中有 个元素.
9.（13分）设集合， ，
.
求：
（1） ；
解： .
（2） ；
解：，故或 .
9.（13分）设集合， ，
.
求：
（3） .
解：或，或 ，
故或 .
10.学校开运动会，设全集为，是参加100米跑的同学 ，
是参加200米跑的同学， 是参加400米跑的同学}.学
校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛,则可以正
确说明这项规定的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，
故没有同学参加三项比赛，即 .故选D.
√
11.设集合，，，则 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合，所以 .
由集合，，可得，
所以 .故选C.
√
12.（多选题）如果集合,那么的子集 的补集为
,.类似地,对于集合,,我们把集合
,叫作集合与的差集,记作.例如,
,,则, .
下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若 ,则
C.若是高一（1）班全体同学的集合, 是高一（1）班全体女同学的
集合,则
D.若,则2一定是集合 的元素
√
√
[解析] 对于选项A，或 ,
,则 ，故A正确；
对于选项B，令,,则,但不包含于 ，
故B错误；
对于选项C， 表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩
下的同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合,则必有
.故C正确；
对于选项D，令, ,
,,此时，故D错误.故选 .
13.已知全集，集合或 ，
，若 ，则实数 的取值范围为
_____________．
或
[解析] 或， ．
①当，即时， ，满足题意；
②当 ，即时， ，
或，可得
实数的取值范围是或 ．
14.（15分）设全集，集合 ，
．
（1）若集合中恰有一个元素，求实数 的值；
解： 集合 中恰有一个元素，
，解得 .
14.（15分）设全集，集合 ，
．
（2）若，，求 .
解：，，则，解得 ．
， ，则，解得 ，
则， ，
， ．
检验可知， 成立，
，， ．
15.某社区需要招募志愿者进行连续3天的消防安全宣传工作，第一天
有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两
天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天参加的不同志
愿者的总人数最少为____.
29
[解析] 记第一天、第二天、第三天参加的志愿者
分别构成集合，， ，三天都参加的志愿者人
数为 ，第一天和第三天都参加的志愿者人数为
，根据题意可作出 图如图.
依题意必有,,,均为自然数，所以 ， ，
故这三天参加的不同志愿者的总人数为
,
故当 时，总人数最少，最少为 .
16.（15分）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.
定义2：集合上的一个拓扑是以的子集为元素的一个族 ,它满
足以下条件：和在中；的任意子集的元素的并集在
中；的任意有限子集的元素的交集在 中.
（1）若族 ,，族，判断族与族 是否为集合
的拓扑？
解：族 ,，族都是集合 的拓扑.
16.（15分）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.
定义2：集合上的一个拓扑是以的子集为元素的一个族 ，它满
足以下条件： 和在 中； 的任意子集的元素的并集在
中； 的任意有限子集的元素的交集在 中.
（2）设有限集为全集，证明： .
证明：设，则 ，
故存在整数，使得 ，
因此，得 .
设，
则存在整数 ，使得，故 ，
因此，得 .
故 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 （1）所有元素 （2） 【诊断分析】 （1）× （2）√
知识点二 不属于集合 ,且
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）×
课中探究 探究点一 例1 （1）B （2）B 变式 （1）D （2），3，5，
探究点二 例2 （1）C （2）①
②或 变式 （1）AB （2）C
探究点三 例3 （1）或
（2）若选①, 若选②, 若选③,
变式 （1）1或2 （2）或
拓展 （1） （2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.BD 7.0 8.
9.（1） （2）或
（3）或
10.D 11.C 12.AC 13.或
14.（1）（2），，
15.29
16.（1）族 ,，族都是集合的拓扑 （2）证明略