1.4.1 充分条件与必要条件
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
◆ 知识点 充分条件与必要条件
“若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件 关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
定理 关系 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件; 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2=y2”是“x=y”的充分条件. ( )
(2)“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件. ( )
(3)“b=0”是“ab=0”的必要条件. ( )
(4)“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件. ( )
◆ 探究点一 充分条件、必要条件的判断
例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12;
(2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0;
(3)在△ABC中,若A+B=90°,则C=90°.
例2 下列各题中,哪些q是p的必要条件
(1)p:x=1,q:x-1=;
(2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5;
(3)p:a是自然数,q:a是正整数;
(4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
变式 下列各题中,哪些p是q的充分条件 哪些p是q的必要条件
(1)p:A∩B=A,q:A B.
(2)p:四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.
[素养小结]
充分条件、必要条件的几种判定方法:
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理的判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题.
◆ 探究点二 充分条件、必要条件的应用
例3 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围.
变式 (1)[2025·济南一中高一月考] 已知p:-4
(2)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0(a≠0)的必要条件但不是充分条件,则实数a的值为 .
[素养小结]
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,有时还需要借助数轴解决问题.
拓展 若不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,则实数a的取值范围为 .
1.4.1 充分条件与必要条件
【课前预习】
知识点
/ 充分 必要 充分 必要
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√
[解析] (1)由x2=y2不能推出x=y,所以“x2=y2”不是“x=y”的充分条件.
(2)根据两条直线平行的判定定理知,“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件.
(3)当ab=0时,不一定有b=0;但当b=0时,一定有ab=0.所以“b=0”不是“ab=0”的必要条件.
(4)当两个三角形全等时,它们的面积一定相等;当两个三角形的面积相等时,它们不一定全等.所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=±12,所以p / q,所以p不是q的充分条件.
(2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则x=1且y=2,所以(x-1)(y-2)=0,所以p q,所以p是q的充分条件.
(3)由三角形的内角和为180°可知,若A+B=90°,则C=90°,因此p q,所以p是q的充分条件.
综上,(2)(3)中p是q的充分条件.
例2 解:(1)当x=1时,x-1==0,所以p q,所以q是p的必要条件.
(2)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p / q,所以q不是p的必要条件.
(3)0是自然数,但是0不是正整数,所以p / q,所以q不是p的必要条件.
(4)等边三角形一定是等腰三角形,所以p q,
所以q是p的必要条件.
综上,(1)(4)中q是p的必要条件.
变式 解:(1)若A∩B=A,则A B,∴p / q,∴p不是q的充分条件.
若A B,则A∩B=A,∴q p,∴p是q的必要条件.
(2)由四边形是矩形,可得四边形的对角线相等,即p q,∴p是q的充分条件.
∵四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,
即q / p,∴p不是q的必要条件.
综上,(2)中p是q的充分条件,(1)中p是q的必要条件.
探究点二
例3 解:(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,又B≠ ,所以即解得a≥2,
所以实数a的取值范围是a≥2.
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A,
又B≠ ,所以
即解得≤a≤1,
所以实数a的取值范围是≤a≤1.
变式 (1)-1≤a≤6 (2)-或
[解析] (1)由-4(2)p:x2+x-6=0,即p:x=2或x=-3.q:ax+1=0(a≠0),即q:x=-.由题意知p / q,q p,则-=2或-=-3,解得a=-或a=.综上可知,a的值为-或.
拓展 -5≤a≤0 [解析] 由|x+a|≤3,得-3-a≤x≤3-a.因为不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,所以且两个等号不同时成立,解得-5≤a≤0.1.4.1 充分条件与必要条件
1.俗语云“好人有好报”,这句话的意思中“好人”是“有好报”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断
2.下列选项中,p不是q的充分条件的是 ( )
A.p:a是无理数,q:a2是无理数
B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等
C.p:x>2,q:x≥1
D.p:a=b,q:ac2=bc2
3.若p:x<-1,则p的一个必要不充分条件为 ( )
A.x<-1 B.x<2
C.-84.下列结论中正确的是 ( )
A.“x2>0”是“x>0”的充分条件
B.“xy=0”是“x=0”的必要条件
C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件
D.“|x|>1”是“x2≥1”的必要条件
5.设p:-1≤x<2,q:xA.a≤-1
B.a≤-1或a≥2
C.a≥2
D.-1≤a<2
6.已知a,b∈R,则“ab=0”的一个充分条件是 ( )
A.a-b=0 B.a+b=0
C.a2-b2=0 D.a2+b2=0
7.已知α:四边形ABCD是正方形,β:四边形ABCD的四个角都是直角,则α是β的
条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“既充分又必要”或“既不充分也不必要”)
8.使2x>3成立的一个充分不必要条件为 .
9.(13分)判断下列情况中p是q的什么条件(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”中选择).
(1)p:a∈N,q:a∈Z;
(2)设点A与D不重合,p:S△ABD=S△ACD,q:点D在△ABC的边BC的中线上;
(3)设x,y是实数,p:x>y,q:|x|>|y|.
10.已知不等式m-1A.m≤- B.m≥
C.-≤m≤ D.-≤m≤
11.下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是 ( )
A.a<2 B.a>0
C.a<-1 D.a<1
12.(多选题)已知集合A={x|-1A.m≤-2 B.m<-2
C.m<2 D.-413.已知p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是 .
14.(15分)[2025·江西上饶高一期末] 已知集合A={x|a-2≤x≤a+1},B={x|-6≤x≤4},全集U=R.
(1)当a=2时,求( UA)∩B;
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
15.已知[x]表示不大于x的最大整数,A={y|y=x-[x]},B={y|0≤y≤m},若y∈A是y∈B的充分不必要条件,则m的取值范围是 .
16.(15分)设集合A={x|-2≤x≤3},B={x|2-m≤x≤2m-3}.
(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
1.4.1 充分条件与必要条件
1.A [解析] 这句话的意思中,“好人” “有好报”,所以“好人”是“有好报”的充分条件.故选A.
2.A [解析] 对于A,a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;对于B,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;对于C,x>2 x≥1,所以p是q的充分条件;对于D,当a=b时,ac2=bc2,所以p是q的充分条件.故选A.
3.B [解析] 设p的一个必要不充分条件为q,则p q且q / p,故只有B选项满足.
4.B [解析] A中,由x2>0得x>0或x<0,x2>0 / x>0,而x>0 x2>0,故“x2>0”是“x>0”的必要条件.B中,由xy=0得x=0或y=0,xy=0 / x=0,而x=0 xy=0,故“xy=0”是“x=0”的必要条件.C中,由|a|=|b|得a=b或a=-b,|a|=|b| / a=b,而a=b |a|=|b|,故“|a|=|b|”是“a=b”的必要条件.D中,|x|>1 x2≥1,而x2≥1 / |x|>1,故“|x|>1”是“x2≥1”的充分条件.故选B.
5.C [解析] 因为q是p的必要条件,所以p q,在数轴上画出-1≤x<2与x6.D [解析] 对于A,a-b=0,即a=b,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故A错误;对于B,a+b=0,即a=-b,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故B错误;对于C,a2-b2=0,即|a|=|b|,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故C错误;对于D,a2+b2=0,即则ab=0成立,故D正确.故选D.
7.充分不必要 [解析] 由正方形的定义知,若四边形ABCD是正方形,则四边形ABCD的四个角都是直角,所以由α可以推出β,即α是β的充分条件;当四边形ABCD的四个角都是直角时,四边形ABCD可以为矩形,所以由β推不出α,即α不是β的必要条件.故α是β的充分不必要条件.
8.x>2(答案不唯一) [解析] 因为2x>3,所以x>,所以使2x>3成立的一个充分不必要条件构成的集合为的真子集,所以充分不必要条件可以为x>2(答案不唯一).
9.解:(1)当a∈N时,a∈Z成立,当a∈Z时,a∈N不一定成立,故p是q的充分不必要条件.
(2)当S△ABD=S△ACD时,点D不一定在△ABC的边BC的中线上,当点D在△ABC的边BC的中线上时,S△ABD=S△ACD,故p是q的必要不充分条件.
(3)当x>y时,|x|>|y|不一定成立,当|x|>|y|时,x>y也不一定成立,故p是q的既不充分也不必要条件.
10.D [解析] 因为不等式m-111.C [解析] 若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,设两根为x1,x2,则即
解得a<0.选项中只有a<-1 a<0.故选C.
12.BD [解析] 因为集合A={x|-113.m>0 [解析] 若p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根为真命题,则当a=0时,由2x+1=0,得x=-,符合题意.当a<0时,Δ=4-4a>0,设方程ax2+2x+1=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=->0,x1x2=<0,则此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意.当a>0时,若Δ=4-4a=0,则a=1,此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,解得x=-1,符合题意;若Δ=4-4a>0,则00,则此时方程ax2+2x+1=0有两个负根,符合题意.综上所述,当p为真命题时,a的取值范围是a≤1.若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,则m+1>1,解得m>0.
14.解:(1)当a=2时,集合A={x|0≤x≤3},则 UA={x|x<0或x>3},
所以( UA)∩B={x|-6≤x<0或3(2)由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,得A为B的真子集,显然A≠ ,则或
解得-4≤a≤3,故实数a的取值范围为-4≤a≤3.
15.m≥1 [解析] 对于集合A={y|y=x-[x]},可设k≤x16.解:(1)由x∈A是x∈B的充分不必要条件,得A B,故且两个等号不同时成立,所以m≥4,即实数m的取值范围为m≥4.
(2)因为A∩B=B,所以B A.
当B= 时,2-m>2m-3,所以m<,满足题意;当B≠ 时,若B A,则解得≤m≤3.
综上,实数m的取值范围为m≤3.(共50张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
探究点一 充分条件、必要条件的判断
探究点二 充分条件、必要条件的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定
理与充分条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定
理与必要条件的关系.
知识点 充分条件与必要条件
“若,则 ”为真命题 “若,则 ”为假命题
推出 关系 ____ ___
条件 关系 是的______条件 是 的______条件 不是的______条件
不是的______条件
定理 关系 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论 成立的一个充分条件; 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论 成立的一个必要条件
充分
必要
充分
必要
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“”是“ ”的充分条件.( )
×
[解析] 由不能推出，
所以“”不是“ ”的充分条件.
（2）“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件.( )
[解析] 根据两条直线平行的判定定理知,
“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件.
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）“”是“ ”的必要条件.( )
×
[解析] 当时,不一定有;但当时,一定有 .
所以“”不是“ ”的必要条件.
（4）“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件.( )
[解析] 当两个三角形全等时,它们的面积一定相等;
当两个三角形的面积相等时,它们不一定全等.
所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件.
√
探究点一 充分条件、必要条件的判断
例1 下列“若,则”形式的命题中,哪些命题中的是 的充分条件
（1）若是完全平方式,则 ；
解：若是完全平方式,则,所以,
所以 不是 的充分条件.
（2）若，则 ；
解：若，则且 ，
所以，所以,所以是 的充分条件.
例1 下列“若,则”形式的命题中,哪些命题中的是 的充分条件
（3）在中，若 ，则 .
解：由三角形的内角和为可知，若，则 ,
因此，所以是 的充分条件.
综上，中是 的充分条件.
例2 下列各题中，哪些是 的必要条件
（1）, ;
解：当时,,所以,所以是 的必要条件.
（2）, ;
解：当时,成立,但是 不成立,所以,
所以不是 的必要条件.
（3）是自然数, 是正整数;
解：0是自然数,但是0不是正整数,所以,所以不是 的必要条件.
例2 下列各题中，哪些是 的必要条件
（4）三角形是等边三角形, 三角形是等腰三角形.
解：等边三角形一定是等腰三角形,所以 ,所以是 的必要条件.
综上，中是 的必要条件.
变式 下列各题中,哪些是的充分条件 哪些是 的必要条件
（1）, .
解：若,则,,不是 的充分条件.
若,则,,是 的必要条件.
变式 下列各题中,哪些是的充分条件 哪些是 的必要条件
（2）四边形是矩形, 四边形的对角线相等.
解：由四边形是矩形,可得四边形的对角线相等,即,
是 的充分条件.
四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即,
不是 的必要条件.
综上,（2）中是的充分条件,（1）中是 的必要条件.
［素养小结］
充分条件、必要条件的几种判定方法：
（1）定义法:根据,进行判断,适用于定义、定理的判断性
问题.
（2）集合法:根据,成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判
断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题.
探究点二 充分条件、必要条件的应用
例3 设全集，集合 ，非空集合
.
（1）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围；
解：因为“”是“”的充分条件，所以，
又 ，所以即解得 ，
所以实数的取值范围是 .
例3 设全集，集合 ，非空集合
.
（2）若“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围.
解：因为“”是“”的必要条件，所以 ，
又 ，所以 即解得 ，
所以实数的取值范围是 .
变式（1）［2025·济南一中高一月考］已知 ，
，若是的必要条件，则实数 的取值范围是___________
____.
[解析] 由，得，
因为是 的必要条件，所以,所以解得，
即 的取值范围为 .
（2）若是 的必要条件但不
是充分条件，则实数 的值为_______.
或
[解析] ，即 或
，即.
由题意知 ，，则或，解得或.
综上可知， 的值为或 .
［素养小结］
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、
必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包
含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解，有时还需要
借助数轴解决问题.
拓展 若不等式成立的一个充分不必要条件是 ,
则实数 的取值范围为____________.
[解析] 由,得.
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是,
所以 且两个等号不同时成立,解得 .
1.对充分条件的理解
（1）“是的充分条件”的等价说法:①“若,则”为真命题; ;
是 的必要条件.
（2）充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当具备此条件时,就
可以得出此结论;当不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,
,但是,当时,也可以成立,故“ ”是“
”的充分条件.
2.对必要条件的理解
（1）“是的必要条件”的等价说法:①“若,则”为真命题; ;
是 的充分条件.
（2）必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成
立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结
论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
下题与集合紧密结合，对于逻辑思维和推理能力要求较高.
例 已知集合,, }.
（1）分别判断，0，1是否属于集合 ；
解：因为，， ，
集合,, ，
所以，0，1都属于集合 .
例 已知集合,, }.
（2）写出所有属于集合 且不超过15的正偶数；
解：集合，, ， .
①当，为一奇一偶时，，均为奇数，
为奇数；
②当，都为奇数或都为偶数时，， 均为偶数，
为4的倍数.
综上，所有属于集合的偶数为 .
故所有属于集合 且不超过15的正偶数有4，8，12.
例 已知集合,, }.
（3）已知集合，，证明：“”是“ ”
的充分不必要条件.
证明：集合， ，且恒有 ，
所以，即一切奇数都属于 ，
又，而 ，
所以“”是“ ”的充分不必要条件.
练习册
1.俗语云“好人有好报”,这句话的意思中“好人”是“有好报”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.无法判断
[解析] 这句话的意思中,“好人” “有好报”,
所以“好人”是“有好报”的充分条件.故选A.
√
2.下列选项中，不是 的充分条件的是( )
A.是无理数， 是无理数
B.四边形为等腰梯形， 四边形对角线相等
C.，
D.，
[解析] 对于A，是无理数，是有理数，所以不是 的
充分条件；
对于B，因为等腰梯形的对角线相等，所以是 的充分条件；
对于C，，所以是 的充分条件；
对于D，当时，，所以是 的充分条件.故选A.
√
3.若，则 的一个必要不充分条件为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设的一个必要不充分条件为，则且 ,
故只有B选项满足.
√
4.下列结论中正确的是( )
A.“”是“ ”的充分条件
B.“”是“ ”的必要条件
C.“”是“ ”的充分条件
D.“”是“ ”的必要条件
√
[解析] A中,由得或, ,而,
故“”是“”的必要条件
中,由 得或,,而,
故“ ”是“”的必要条件
中,由得或 ,,而,
故“”是“ ”的必要条件
中,,而,
故“ ”是“ ”的充分条件.故选B.
5.设,,若是的必要条件,则 的取值范围
是( )
A. B.或
C. D.
[解析] 因为是的必要条件,所以,
在数轴上画出 与,如图，
可知 .故选C.
√
6.已知,，则“ ”的一个充分条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，即，
因为,，所以 不一定成立,故A错误；
对于B，，即，
因为, ，所以不一定成立,故B错误；
对于C，，即 ，
因为,，所以 不一定成立,故C错误；
对于D，，即则 成立，故D正确.故选D.
√
7.已知四边形是正方形，四边形 的四个角都是直
角，则是的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”
“既充分又必要”或“既不充分也不必要”）
充分不必要
[解析] 由正方形的定义知，
若四边形 是正方形，则四边形的四个角都是直角，
所以由可以推出，即是 的充分条件；
当四边形的四个角都是直角时，四边形可以为矩形，
所以由推不出，即不是的必要条件.
故是的充分不必要条件.
8.使 成立的一个充分不必要条件为_____________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为，所以，所以使 成立的一个充分不必要
条件构成的集合为 的真子集，
所以充分不必要条件可以为 （答案不唯一）.
9.（13分）判断下列情况中是 的什么条件（从“充分不必要条件”
“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”中选择）.
（1）, ;
解：当时,成立,当时,不一定成立,
故是 的充分不必要条件.
（2）设点与不重合,,点在的边 的中
线上；
解：当时,点不一定在的边的中线上,
当点 在的边的中线上时,,故是 的必要不充分条件.
9.（13分）判断下列情况中是 的什么条件（从“充分不必要条件”
“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”中选择）.
（3）设,是实数,, .
解：当时,不一定成立,
当时, 也不一定成立,
故是 的既不充分也不必要条件.
10.已知不等式成立的充分不必要条件是 ，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为不等式 成立的充分不必要条件是
，
所以 ，
可得且两个等号不同时成立，解得，
所以 的取值范围是 .故选D.
11.下列选项中,可以作为一元二次方程 有一
个正根和一个负根的充分条件的是( )
A. B. C. D.
[解析] 若一元二次方程 有一个正根和一个负根，
设两根为，，则即 解得.
选项中只有 .故选C.
√
12.（多选题）已知集合 ，集合
，则 的一个充分不必要条件可以
是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为集合，集合 ，
所以 等价于，即 .
对比选项,可得,均为 的充分不必要条件.
故选 .
√
√
13.已知方程至少有一个负实根，若 为真命题的
一个必要不充分条件为，则实数 的取值范围是_______.
[解析] 若方程 至少有一个负实根为真命题，
则当时，由,得，符合题意.
当 时，，
设方程的两个实根分别为， ，
则,，
则此时方程 有一个正根和一个负根，符合题意.
当时，若 ，则，
此时方程为,解得 ，符合题意；
若，则，
设方程 的两个实根分别为，，
则, ，
则此时方程有两个负根，符合题意.
综上所述，当 为真命题时，的取值范围是.
若 为真命题的一个必要不充分条件为,
则,解得 .
14.（15分）［2025·江西上饶高一期末］ 已知集合
，，全集 .
（1）当时，求 ；
解：当时，集合，
则 或 ，
所以或 .
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
解：由“”是“”的必要不充分条件，得为 的真子集，
显然，则或 解得，
故实数的取值范围为 .
14.（15分）［2025·江西上饶高一期末］ 已知集合
，，全集 .
15.已知表示不大于的最大整数， ，
，若是的充分不必要条件，则 的取
值范围是_______.
[解析] 对于集合，可设 ，
由的定义可知， ,
所以.
若是 的充分不必要条件，则，
所以的取值范围是 .
16.（15分）设集合， .
（1）若是的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
解：由是的充分不必要条件，得，
故 且两个等号不同时成立，
所以，即实数的取值范围为 .
16.（15分）设集合， .
（2）若，求实数 的取值范围.
解：因为，所以 .
当 时，，所以，满足题意；
当 时，若，则解得 .
综上，实数的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 充分 必要 充分 必要
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1 中是的充分条件
例2 中是的必要条件
变式 （2）中是的充分条件,（1）中是的必要条件
探究点二 例3 （1）（2）
变式 （1） （2）或 拓展
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D
7.充分不必要 8.（答案不唯一）
9.（1）是的充分不必要条件 （2）是的必要不充分条件
（3）是的既不充分也不必要条件
10.D 11.C 12.BD 13.
14.（1）或 （2）.
15. 16.（1） （2）