1.4.2 充要条件
【学习目标】
通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
◆ 知识点 充要条件的概念
1.逆命题
将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.
2.充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q,又有q p,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为 .显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 已知p:两个角是对顶角,q:两个角相等,则p是q的充要条件. ( )
(2)已知p:x=0且y=0,q:x2+y2=0,则p是q的充要条件. ( )
(3)已知p:集合A B,B C,C A,q:集合A=B=C,则p是q的充要条件. ( )
◆ 探究点一 充要条件的判断
例1 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件.
(1)p:ab=0,q:a=0;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形;
(3)p: a是无理数,q:a+5是无理数;
(4)p:A B,q:A∪B=B.
[素养小结]
判断p是q的充要条件的两种思路:
(1)命题角度:判断p是q的充要条件,主要是判断p q及q p是否成立.若p q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p q及q p是否成立时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题大有益处.
此外,对于较复杂的关系,常用 , , 等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
◆ 探究点二 充要条件的证明
例2 已知△ABC的三边长为a,b,c,其中a=2.求证:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4.
变式 求证:方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0
[素养小结]
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件” “结论”,必要性需要证明“结论” “条件”.
◆ 探究点三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3 已知集合A={x|2m≤x≤m+3},B={x|-2变式 已知集合A={x|4[素养小结]
应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤:
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
1.4.2 充要条件
【课前预习】
知识点
2.p q 充分必要条件 充要条件
互为充要条件
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)若两个角是对顶角,则这两个角相等,即p q,因此充分性成立;当两个角相等时,两个角不一定是对顶角,如两个角为同位角,即q / p,因此必要性不成立.所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为x=0且y=0 x2+y2=0,x2+y2=0 x=0且y=0,所以p是q的充要条件.
(3)根据集合之间的关系和充要条件的定义可知p是q 的充要条件.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为ab=0 / a=0,而a=0 ab=0,所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为四边形的对角线相等 / 四边形是正方形,而四边形是正方形 四边形的对角线相等,所以p是q的必要不充分条件.
(3)因为a是无理数 a+5是无理数,a+5是无理数 a是无理数,所以p是q的充要条件.
(4)因为A B A∪B=B,A∪B=B A B,所以p是q的充要条件.
探究点二
例2 证明:充分性:
方法一:当a=2时,b2+c2-2(b+c)=bc-4可化为b2+c2-a(b+c)=bc-a2,即a2+b2+c2=ab+ac+bc,
所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
所以a-b=b-c=a-c=0,
即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立.
方法二:因为b2+c2-2(b+c)=bc-4,所以2b2+2c2-4b-4c-2bc+8=0,
则(b-2)2+(c-2)2+(b-c)2=0,所以b=c=2,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立.
必要性:由△ABC为等边三角形,且a=2,得a=b=c=2,
则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0,
所以b2+c2-2(b+c)=bc-4,必要性成立.
故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4.
变式 证明:先证明充分性:
若0∴Δ=4-12m>0,∴方程有两个不相等的实根,设方程的两个实根为x1,x2,
则x1+x2=>0,x1·x2=>0,
∴两根同号,故方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根,充分性成立.
再证明必要性:
若方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个不相等的实根,
则Δ=4-12m>0,解得m<①.
∵方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号的实根,∴由根与系数的关系知>0,∴m>0②.
∴由①②得m的取值范围是0∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0探究点三
例3 解:∵A={x|2m≤x≤m+3},B={x|-2p:x∈B,q:x∈A,且p是q的充分不必要条件,∴B A,
∴解得-2≤m≤-1,
∴m的取值范围为-2≤m≤-1.
变式 解:因为5-m2≤5+m2,所以B={x|5-m2≤x≤5+m2}≠ .
因为p是q的必要不充分条件,所以B A,只需解得-1综上,实数m的取值范围为-11.“x>4”是“x>2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2025·十堰高一期中] 已知p:-1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.“a=0”是“关于x的不等式ax-b≥1的解集为R”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)ab>0的一个充分不必要条件可以是 ( )
A.a>0,b>0 B.a+b>0
C.a<0,b<0 D.a>1,b>1
6.设计如图所示的四个电路图,则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是 ( )
A B C D
7.对任意实数a,b,c,下列结论正确的是 .
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;
②“a+8是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a>b”是“a2>b2”的充要条件;
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
8.设p:≤x≤1;q:a≤x≤a+1,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
9.(13分)指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;
(3)p:关于x的方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根,q:a>-1;
(4)p:A∪B=A,q:A∩B=B.
10.已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中所有的真命题是 ( )
A.①④ B.②③
C.③ D.④
11.(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的是 ( )
A.p:ab=0,q:a2+b2=0
B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|
C.p:m≥-,q:方程x2-x-m=0有实数根
D.p:x>2或x<-1,q:x<-1
12.设集合A={x|x>2},B={x|x<0},C={x|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
13.若a,b都是实数,则“a,b至少有一个为0”的充要条件是 .试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出一个适合的条件,用序号填空.
14.(15分)求方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件.
15.已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、三象限},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是 .
16.(15分)设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且a≤b≤c,则△ABC为直角三角形的充要条件是a2+b2=c2.试用边长a,b,c(a≤b≤c)探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件,并证明.
1.4.2 充要条件
1.A [解析] 因为{x|x>4}是{x|x>2}的真子集,所以“x>4”是“x>2”的充分不必要条件.故选A.
2.C [解析] 根据相似三角形的性质得,由“两个三角形相似”可得到“两个三角形的三边对应成比例”,即充分性成立;反之,由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”,即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C.
3.A [解析] 由<2,得-1≤x<3,因为集合{x|-14.B [解析] 当a=0且b>-1时,不等式ax-b≥1 -b≥1,此时不等式ax-b≥1的解集为 ;当a=0且b≤-1时,不等式ax-b≥1 -b≥1 b≤-1,此时不等式ax-b≥1的解集为R;当a>0时,不等式ax-b≥1的解集为;当a<0时,不等式ax-b≥1的解集为.综上,“a=0”是“关于x的不等式ax-b≥1的解集为R”的必要不充分条件.故选B.
5.ACD [解析] 由a>0,b>0可以推出ab>0,反之推不出,故A满足题意.当a=5,b=-4时,满足a+b>0,但不满足ab>0,故B不满足题意.由a<0,b<0可以推出ab>0,反之推不出,故C满足题意.由a>1,b>1可以推出ab>0,反之推不出,故D满足题意.故选ACD.
6.C [解析] 对于A,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件;对于B,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;对于C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;对于D,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
7.②④ [解析] “a=b”能推出“ac=bc”,当c=0时,ac=bc不能推出a=b,故①错误;“a+8是无理数”能推出“a是无理数”,反之也能推出,故②正确;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立,故③错误;a<5推不出a<3,a<3能推出a<5,故④正确.故填②④.
8.0≤a≤ [解析] 因为p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1,q是p的必要不充分条件,所以且两个等号不同时成立,解得0≤a≤.
9.解:(1)x-3=0 (x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 / x-3=0,
故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似 / 两个三角形全等,但两个三角形全等 两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件.
(3)由ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,得a>-1且a≠0,即p q;反之,当a=0时,方程ax2+2x-1=0只有一个实数根,即q / p.故p是q的充分不必要条件.
(4)因为A∪B=A A∩B=B,所以p是q的充要条件.
10.C [解析] 因为p是r的充分条件,所以p r.因为q是r的充分不必要条件,所以q r,r / q.因为s是r的必要条件,所以r s.因为p是s的必要条件,所以s p.由p r,r s,s p可得p r s,则r是p的充要条件,命题①为假命题;r是s的充要条件,命题②为假命题;因为q r,r / q,所以q p,p / q,故q是p的充分不必要条件,命题③为真命题;易得s / q,q s,所以s是q的必要不充分条件,命题④为假命题.故选C.
11.BC [解析] 对于A,由p可知a=0或b=0,由q可知a=0且b=0,故p不是q的充要条件;对于B,由|x|+|y|=|x+y|知x,y要么同为正数,要么同为负数,要么至少有一个为零,故xy≥0,故p是q的充要条件;对于C,由方程x2-x-m=0有实数根,得判别式Δ=1+4m≥0,即m≥-,所以p是q的充要条件;对于D,因为p / q,所以p不是q的充要条件.故选BC.
12.充要 [解析] 由题意可得A∪B={x|x<0或x>2},即A∪B=C,所以“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件.
13.① [解析] 对于①,ab=0 a=0或b=0,即a,b至少有一个为0,故①满足题意;对于②,a+b=0 a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能为一正一负,故②不满足题意;对于③,a(a2+b2)=0 a=0或故③不满足题意;对于④,ab>0 或则a,b都不为0,故④不满足题意.故填①.
14.解:若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根,
则解得0故方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的必要条件为0反之,若00,
∴方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,设两根为x1,x2,
则x1x2=,由m>0得x1x2=>0,∴x1,x2同号,即充分性成立.
因此方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是015.0即①或②.当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,此时A={x∈Z|a≤x≤1},故A={1},则01时,②无解,由①得1≤x≤a,此时A={x∈Z|1≤x≤a},因为1∈A,3 A,所以116.解:△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2.
证明:充分性:若a2+b2>c2,则△ABC不是直角三角形.
若△ABC为钝角三角形,则∠ACB>90°,过B作AC的垂线,交AC的延长线于点D(如图①),
由勾股定理知c2=BD2+(b+CD)2=BD2+CD2+b2+2·CD·b=a2+b2+2·CD·b>a2+b2,矛盾,
故△ABC为锐角三角形,充分性成立.
必要性:若△ABC为锐角三角形,则∠ACB为锐角,过点A作边BC的垂线,交边BC于点D(如图②),由勾股定理知,c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=b2-CD2+(a-CD)2=a2+b2-2·CD·a故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2.(共56张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
探究点一 充要条件的判断
探究点二 充要条件的证明
探究点三 充分条件、必要条件、充要条
件的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义
与充要条件的关系.
知识点 充要条件的概念
1.逆命题
将命题“若，则”中的条件和结论 互换，就得到一个新的命题“若
，则 ”，称这个命题为原命题的逆命题.
2.充要条件
如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即既有 ,又有
,就记作_______.此时,既是的充分条件，也是 的必要条件，
我们说是的______________,简称为__________.显然,如果是 的
充要条件,那么也是的充要条件.概括地说,如果,那么与
______________.
充分必要条件
充要条件
互为充要条件
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知两个角是对顶角,两个角相等,则是 的充要条件.( )
×
[解析] 若两个角是对顶角,则这两个角相等,即 ,因此充分性成立；
当两个角相等时，两个角不一定是对顶角，如两个角为同位角，
即，因此必要性不成立.
所以是 的充分不必要条件.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）已知且,,则是 的充要条件.( )
√
[解析] 因为且, 且,
所以是 的充要条件.
（3）已知集合,,,集合,则是 的充要
条件.( )
[解析] 根据集合之间的关系和充要条件的定义可知是 的充要条件.
√
探究点一 充要条件的判断
例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件.
（1）， ；
解：因为，而，
所以是 的必要不充分条件.
（2）四边形的对角线相等， 四边形是正方形；
解：因为四边形的对角线相等 四边形是正方形，
而四边形是正方形 四边形的对角线相等，
所以是 的必要不充分条件.
例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件.
（3）是无理数, 是无理数;
解：因为是无理数是无理数,是无理数 是无理数,
所以是 的充要条件.
（4）, .
解：因为，,
所以是 的充要条件.
［素养小结］
判断是的充要条件的两种思路：
（1）命题角度：判断是的充要条件，主要是判断及
是否成立.若成立，则是的充分条件，同时是的必要条件；
若成立，则是的必要条件，同时是的充分条件；若二者
都成立，则与互为充要条件.
（2）集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判
断及 是否成立时，也可以从集合角度去判断，结合集合
中“小集合 大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题大
有益处.
此外，对于较复杂的关系，常用 ，， 等符号进行传递，画
出它们的综合结构图，可降低解题难度.
探究点二 充要条件的证明
例2 已知的三边长为,,，其中.求证： 为等边三
角形的充要条件是 .
证明：充分性:方法一：当时， 可化为
，即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，即，
所以 为等边三角形，充分性成立.
方法二：因为 ，
所以 ，
则，所以，即 ,
所以 为等边三角形，充分性成立.
必要性:由为等边三角形，且，得 ，
则， ，
所以 ，必要性成立．
故为等边三角形的充要条件是 .
变式 求证：方程 有两个同号且不相等的
实根的充要条件是 .
证明：先证明充分性：
若，则， ,
， 方程有两个不相等的实根，
设方程的两个实根为， ，则， ，
两根同号，故方程 有两个同号且不相等
的实根，充分性成立.
再证明必要性：
若方程 有两个不相等的实根，
则，解得 .
方程有两个同号的实根，
由根与系数的关系知， .
由①②得的取值范围是 ，必要性成立.
方程 有两个同号且不相等的实根的充要
条件是 .
［素养小结］
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清
哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明
“条件” “结论”，必要性需要证明“结论” “条件”.
探究点三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3 已知集合， .若
，，且是的充分不必要条件，求 的取值范围.
解：， ，
，，且是的充分不必要条件，
，解得 ，
的取值范围为 .
变式 已知集合， .设
，，若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
解：因为，所以 .
因为是的必要不充分条件，所以，
只需 解得 .
综上，实数的取值范围为 .
［素养小结］
应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值（范围）
的一般步骤：
（1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化
为集合间的关系；
（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组）
求解.
对充要条件的理解：利用集合间的包含关系判断.设 满足
，满足
若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是
的必要条件或是的充分条件；若且，即，则 是
的充要条件.
1.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
（1）若，则称是的充分条件，是 的必要条件.
（2）若，则是 的充要条件.
（3）若，但，则称是 的充分不必要条件.
（4）若，但，则称是 的必要不充分条件.
（5）若，且，则称是 的既不充分也不必要条件.
2.从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即 满足，
满足 .
（1）若，则是 的充分条件.
（2）若，则是 的必要条件.
（3）若，则是 的充要条件.
（4）若，则是 的充分不必要条件.
（5）若，则是 的必要不充分条件.
（6）若不包含于且不包含于，则是 的既不充分也不必要条件.
3.“ ”的传递性
若是的充要条件，是的充要条件，即， ，则有
，即是 的充要条件.
充要条件的证明与探求：
（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两
种叙述方式的区别.
①是的充要条件，则证的是充分性， 证的是必要性；
②的充要条件是，则证的是必要性， 证的是充分性.
（2）探求充要条件，也可先证出必要性，再证充分性；如果能保证
每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
例1 求证：的内心与外心重合是 为正三角形的充要条件.
证明：充分性：如图,设点既是 的外心,
也是的内心,,,的延长线分别交
,,于点,, .
由是的外心可得,,分别是,,
且,所以.
由是 的内心可得,分别是,的平分线,
则 ,同理可得,则,
即 是正三角形,故充分性成立.
必要性：当 是正三角形时,角平分线所在直线和三边的中垂线所
在直线重合,则其内心和外心必重合,
故必要性成立.
综上, 的内心与外心重合是
为正三角形的充要条件.
例2 求证：关于的方程 有实数根且至多有一个负
实数根的充要条件是或 .
证明：（1）充分性：当时,方程 为，
解得 ，只有一个负实数根；
当时，方程为，解得 ，
只有一个负实数根；
当时，由方程的判别式 ，
，可得方程的两根一正一负.
所以当或时，关于的方程 有实数根且
至多有一个负实数根.
（2）必要性：方程 有实数根且至多有一个负实数根，
①当时， ，符合题意.
②当时，由方程有实数根，得 ，
解得 .
当时，方程的根为 ，符合题意；
当且时，方程有两个不相等的实数根， ，
若方程至多有一个负实数根，则，可得 .
所以当关于的方程 有实数根且至多有一个负实数
根时，或 .
综上，关于的方程 有实数根且至多有一个负实数
根的充要条件是或 .
练习册
1.“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为是的真子集，
所以“”是“ ”的充分不必要条件．故选A.
√
2.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个
三角形的三边对应成比例”，即充分性成立；
反之，由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”，
即必要性成立.
所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.
故选C.
√
3.［2025·十堰高一期中］已知，，则 是
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由，得 ，
因为集合，
所以，且 ，故充分性成立，必要性不成立，
所以是 的充分不必要条件.故选A.
√
4.“”是“关于的不等式的解集为 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当且时，不等式 ，
此时不等式的解集为 ；
当且 时，不等式，
此时不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为.
综上，“”是“关于 的不等式的解集为 ”的必要不充分
条件.故选B.
√
5.（多选题） 的一个充分不必要条件可以是( )
A., B. C., D.,
[解析] 由，可以推出 ，反之推不出，故A满足题意.
当,时，满足，但不满足 ，故B不满足题意.
由，可以推出 ，反之推不出，故C满足题意.
由，可以推出，反之推不出，故D满足题意.故选 .
√
√
√
6.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关闭合”是“灯泡 亮”
的必要不充分条件的一个电路图是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，“开关闭合”是“灯泡 亮”的充分不必要条件;
对于B，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件;
对于C，“开关闭合”是“灯泡 亮”的必要不充分条件;
对于D，“开关闭合”是“灯泡 亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
√
7.对任意实数，， ，下列结论正确的是______.
①“”是“ ”的充要条件；
②“是无理数”是“ 是无理数”的充要条件；
③“”是“ ”的充要条件；
④“”是“ ”的必要条件.
②④
[解析] “”能推出“”，当时， 不能推出，
故①错误；
“是无理数”能推出“ 是无理数”，反之也能推出，故②正确；
当，时，成立， 不成立，故③错误；
推不出，能推出 ，故④正确.
故填②④.
8.设;，若是 的必要不充分条件，则实
数 的取值范围是__________.
[解析] 因为，，是 的必要不充分条件，
所以且两个等号不同时成立，解得 .
9.（13分）指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必
要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）.
（1）， ；
解: ,但 ,
故是 的充分不必要条件.
（2）两个三角形相似, 两个三角形全等；
解:两个三角形相似两个三角形全等,
但两个三角形全等 两个三角形相似,故是 的必要不充分条件.
9.（13分）指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必
要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）.
（3）关于的方程 有两个不相等的实数根,
;
解:由 有两个不相等的实数根,
知且,得且,即 ;
反之,当时,方程只有一个实数根,即.
故是 的充分不必要条件.
9.（13分）指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必
要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）.
（4）, .
解:因为,所以是 的充要条件.
10.已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是 的必要条
件，是的必要条件，现有下列命题：是 的必要不充分条件；
是的充分不必要条件；是的充分不必要条件；是 的充
要条件.其中所有的真命题是( )
A.①④ B.②③ C.③ D.④
√
[解析] 因为是的充分条件,所以.
因为是 的充分不必要条件,所以,.
因为是的必要条件,所以.因为是 的必要条件,所以.
由,,可得 ,则是的充要条件,命题①为假命题；
是 的充要条件,命题②为假命题；
因为,,所以,,故是 的充分不必要条件,命题③为
真命题；
易得,,所以是 的必要不充分条件,命题④为假命题.
故选C.
11.（多选题）下列选项中,是 的充要条件的是( )
A.，
B.，
C.，方程 有实数根
D.或，
√
√
[解析] 对于A，由可知或，由可知且,
故 不是的充要条件;
对于B，由知, 要么同为正数,要么同为负数,要么
至少有一个为零,故,故是 的充要条件;
对于C，由方程有实数根,得判别式 ,
即,所以是的充要条件;
对于D，因为,所以不是 的充要条件.
故选 .
12.设集合，，或 ，
则“”是“ ”的______条件.（填“充分不必要”“必要不
充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
充要
[解析] 由题意可得或，即 ，
所以“”是“ ”的充要条件.
13.若，都是实数,则“， 至少有一个为0”的充要条件是____.试从
;;; 中选出一个适合的
条件,用序号填空.
①
[解析] 对于①，或,即， 至少有一个为0，
故①满足题意;
对于②，，互为相反数,则， 可能均为0,也可能为
一正一负，故②不满足题意;
对于③，或 故③不满足题意；
对于④，或则， 都不为0，故④不满足题意.
故填①.
14.（15分）求方程 有两个同号且不相等的实数根
的充要条件.
解：若方程 有两个同号且不相等的实数根，
则解得 ，
故方程 有两个同号且不相等的实数根的必要条件
为 .
反之，若，则， ，
即 ，
方程有两个不相等的实数根，设两根为， ，
则，由得，， 同号,即充分性成立.
因此方程 有两个同号且不相等的实数根的充要条件
是 .
15.已知集合点不在第一、三象限 ，集合
，若“”是“”的必要条件，则实数 的取
值范围是__________.
[解析] 由“”是“”的必要条件，得.
又 中元素为整数，故只可能为，，.
由点 不在第一、三象限，得或
即.
当时，①无解，由②得 ，此时，
故，则；
当 时，，则，满足题意；
当 时，②无解，由①得，此时，
因为， ，所以.
综上，实数的取值范围是 .
16.（15分）设，，分别是的内角，， 所对的边，且
，则为直角三角形的充要条件是 .试用边长
，，探究 为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
解：为锐角三角形的充要条件为 .
证明：充分性：若，则 不是直角三角形.
若为钝角三角形，则 ，过作的
垂线，交 的延长线于点 （如图①），
由勾股定理知
，矛盾，
故 为锐角三角形，充分性成立.
必要性：若为锐角三角形，则为锐角，
过点作边 的垂线，交边于点（如图②），
由勾股定理知，
，
故必要性成立.
故为锐角三角形的充要条件为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 2. 充分必要条件 充要条件 互为充要条件
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√
课中探究 探究点一 例1（1）是的必要不充分条件
（2）是的必要不充分条件 （3）是的充要条件 （4）是的充要条件
探究点二 例2 证明略 变式 证明略
探究点三 例3 变式
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.A 4.B 5.ACD 6.C 7.②④ 8.
9.（1）是的充分不必要条件（2）是的必要不充分条件
（3）是的充分不必要条件 （4）是的充要条件
10.C 11.BC 12.充要 13.①
14.方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是..。。
15.
16.为锐角三角形的充要条件为.证明略.