1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
◆ 知识点 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.(1)全称量词命题的否定: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, ,也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)存在量词命题的否定: x∈M,p(x),它的否定: ,也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.
2.常见命题的表述
命题 全称量词命题 存在量词命题
表 述 ①对所有的x∈M,p(x)恒成立; ②对一切x∈M,p(x)恒成立; ③对每一个x∈M,p(x)恒成立; ④任给一个x∈M,p(x)恒成立; ⑤对任意一个x∈M,p(x)恒成立 ①存在x∈M,使p(x)能成立; ②至少有一个x∈M,使p(x)能成立; ③有些x∈M,使p(x)能成立; ④至少存在一个x∈M,使p(x)能成立; ⑤对某些x∈M,p(x)能成立
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”. ( )
(2)“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“所有奇数的平方都不是奇数”. ( )
(3)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“ x∈R,|x|≤0”. ( )
(4)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定. ( )
◆ 探究点一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)所有自然数的平方都是正数;
(2) x∈R,x2+2x+1≠0;
(3)等腰梯形的对角线相等.
变式 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)任何一个末位数字为9的整数都能被3整除;
(2)所有的素数都是奇数;
(3) x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
[素养小结]
(1)对全称量词命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定.
(2)判定全称量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判定一个全称量词命题是假命题,只要举出集合M中的一个特殊值x,使p(x)不成立即可.
◆ 探究点二 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)有些三角形的三个顶点不在同一个圆上;
(2)有一个奇数不能被3整除;
(3)存在k∈R,使函数y=kx+b随x的增大而减小.
变式 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(2)有些三角形是等边三角形;
(3)有些无理数不是实数.
[素养小结]
存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将存在量词改为全称量词.要判断存在量词命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x,使p(x)成立即可,否则就是假命题.
◆ 探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用
例3 若“ x∈{x|1≤x≤2},2x-λx+1<0”是假命题,则实数λ的取值范围是 ( )
A.λ≤ B.λ≤3
C. λ≥ D.λ≥3
变式 已知命题p: x∈R,x2+4x≥m,则p的否定是 ,若p的否定是假命题,则实数m的取值范围为 .
[素养小结]
(1)p与p的否定只能一真一假,解决问题时可以相互转化.
(2)在求参数范围的问题中,往往分离参数,转化成求函数的最值问题.
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
【课前预习】
知识点
1.(1) p(x) (2) x∈M, p(x)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个(或有些)菱形不是平行四边形”.
(2)“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“有些(或存在一个)奇数的平方不是奇数”.
(3)由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,而命题的否定只否定结论.
(4)存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”变成“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1) 该命题的否定是“有的自然数的平方不是正数”,为真命题.
(2) 该命题的否定是“ x∈R,x2+2x+1=0”,为真命题.
(3)该命题的否定是“有的等腰梯形的对角线不相等”,为假命题.
变式 解:(1)该命题的否定是“存在一个末位数字为9的整数不能被3整除”,为真命题.
(2) 该命题的否定是“存在一个素数不是奇数”,为真命题.
(3)该命题的否定是“ x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0”,为真命题.
探究点二
例2 解:(1)该命题的否定:所有三角形的三个顶点都在同一个圆上.真命题.
(2)该命题的否定:每一个奇数都能被3整除.假命题.
(3)该命题的否定: 对任意k∈R,函数y=kx+b不随x的增大而减小.假命题.
变式 解:(1)该命题的否定: 任意实数的绝对值都是正数.假命题.
(2)该命题的否定:所有的三角形都不是等边三角形.假命题.
(3)该命题的否定:所有的无理数都是实数.真命题.
探究点三
例3 A [解析] 由题意可知,“ x∈{x|1≤x≤2},2x-λx+1≥0”是真命题,则解得λ≤,所以实数λ的取值范围是λ≤.故选A.
变式 x∈R,x2+4x
[解析] 全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p的否定为“ x∈R,x2+4x1.命题“任意圆的内接四边形是矩形”的否定为 ( )
A.每一个圆的内接四边形是矩形
B.有的圆的内接四边形不是矩形
C.所有圆的内接四边形不是矩形
D.存在一个圆的内接四边形是矩形
2.下列说法中正确的个数是 ( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;
②命题“ x∈R,x2+1<0”是全称量词命题;
③命题“ x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“ x∈R,x2+2x+1≤0”;
④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题.
A.0 B.1
C.2 D.3
3.命题p: x∈N,x3>x2的否定为 ( )
A. x∈N,x3≤x2 B. x N,x3≤x2
C. x∈N,x3≤x2 D. x∈N,x34.已知命题p: x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<1 B.a≤1
C.a>1 D.a≥1
5.若命题“ x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤4 B.a<4
C.a<-4 D.a≥-4
6.(多选题)下列命题的否定为真命题的是 ( )
A.每一个素数都是奇数
B.能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除
C. x∈R,=0
D. x∈R,x2+x+1≠0
7. 命题“对于所有的实数x,都有x2-x+1=0”可用符号记为 ,该命题的否定为 .
8.命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的否定是 命题(填“真”或“假”).
9.(13分)写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)存在一个四边形,它的对角线互相垂直;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)所有二次函数的图象都开口向上;
(4)存在x∈Q,使得x2=6.
(5)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根;
(6) x∈R,x2+2x+5>0.
10. [2025·江西九江高一期末] 若命题“ x∈[1,3],ax2+(a-2)x-2≤0”是真命题,则a的值不可能为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
11.(多选题)下列命题的否定为假命题的是 ( )
A. x∈R,x2-x+≥0
B. 所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+3≤0
D.至少有一个实数x,使x2-2=0
12.命题p的否定是“ x>0,>x+1”,则命题p是 .
13.已知命题p: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0为真命题,则a的取值范围是 ;若命题q: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0为真命题,则a的取值范围是 .
14.(15分)已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1,命题q: x∈R,2x2+5x+a=0,若p的否定是假命题,q是真命题,求实数a的取值范围.
15.已知命题p: x∈R,|2x+1|>a-2|x|,若p的否定是真命题,则实数a的取值范围是 .
16.(15分)已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q的否定均为真命题,求实数a的取值范围.
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.B [解析] 由全称量词命题的否定为存在量词命题,知命题“任意圆的内接四边形是矩形”的否定为“有的圆的内接四边形不是矩形”.故选B.
2.C [解析] 对于①,命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故①错误;对于②,命题“ x∈R,x2+1<0”是全称量词命题,故②正确;对于③,命题“ x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“ x∈R,x2+2x+1>0”,故③错误;对于④,由ac2>bc2可以推出a>b,所以命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题,故④正确.故选C.
3.C [解析] 因为命题p: x∈N,x3>x2,所以命题p的否定为“ x∈N,x3≤x2”.故选C.
4.D [解析] 若p为假命题,则“ x>0,x+a-1≠0”为真命题,所以1-a≤0,解得a≥1.故选D.
5.A [解析] 由题知“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,则关于x的方程x2-4x+a=0有实数根,即Δ=16-4a≥0,解得a≤4.故选A.
6.AC [解析] 对于A,2是偶数,也是素数,所以原命题为假命题,故它的否定为真命题;对于B,原命题为真命题,故它的否定为假命题;对于C,原命题为假命题,故它的否定为真命题;对于D,原命题为真命题,故它的否定为假命题.故选AC.
7. x∈R,x2-x+1=0 x∈R,x2-x+1≠0 [解析] 命题“对于所有的实数x,都有x2-x+1=0”可用符号记为“ x∈R,x2-x+1=0”,该命题的否定为“ x∈R,x2-x+1≠0”.
8.假 [解析] ∵命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”是真命题,∴命题的否定是假命题.
9.解:(1)该命题的否定:任意四边形的对角线都不互相垂直.菱形为四边形,所有菱形的对角线互相垂直,故所得命题为假命题.
(2)该命题的否定:每一个平行四边形都不是菱形.是假命题.
(3)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题,其否定为“有些二次函数的图象不开口向上”,是真命题.
(4)“存在x∈Q,使得x2=6”是存在量词命题,其否定为“对任意x∈Q,都有x2≠6”,是真命题.
(5)该命题的否定:存在实数m,使得方程x2+2x-m=0没有实数根.是真命题.
(6)该命题的否定: x∈R,x2+2x+5≤0.是假命题.
10.D [解析] 当x∈[1,3]时,由ax2+(a-2)x-2≤0,可得a≤=,所以a≤=2.故选D.
11.ABD [解析] 对于选项A,因为x2-x+=≥0,所以选项A为真命题,所以命题的否定为假命题,故A符合题意;对于选项B,因为所有的正方形都是矩形,所以选项B为真命题,所以命题的否定为假命题,故B符合题意;对于选项C,因为x2+2x+3=(x+1)2+2>0,所以选项C为假命题,所以命题的否定为真命题,故C不符合题意;对于选项D,因为当x=±时,x2-2=0,所以选项D为真命题,所以命题的否定为假命题,故D符合题意.故选ABD.
12. x>0,≤x+1
13.a≤1 a≤4 [解析] 由命题p为真命题可知,当x∈{x|1≤x≤4}时,x≥a恒成立,因此a≤1.由命题q为真命题可知,当x∈{x|1≤x≤4}时,x≥a有解,因此a≤4.
14.解:因为p的否定是假命题,所以p是真命题,
由“ x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1”为真命题,得a≥3.因为q是真命题,所以关于x的方程2x2+5x+a=0有实数根,
则Δ=25-8a≥0,解得a≤.
综上,实数a的取值范围是3≤a≤.
15.a≥1 [解析] 由题可知,p的否定为“ x∈R,|2x+1|≤a-2|x|”,∵p的否定为真命题,∴|2x+1|+2|x|≤a有实数解,即+|x|≤有实数解.根据绝对值的几何意义可得+|x|≥,∴≤,∴a≥1.
16.解:(1)若命题p为真命题,则对于任意x∈{x|1≤x≤2},不等式x2-a≥0,即a≤x2恒成立,而当x∈{x|1≤x≤2}时,(x2)min=1,所以a≤1.
因为命题p的否定为真命题,
所以实数a的取值范围是a>1.
(2)若命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0为真命题,则4a2-4(2a+a2)=-8a≥0,解得a≤0.
因为命题p和命题q的否定均为真命题,所以解得0所以实数a的取值范围是01.5 全称量词与存在量词
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题
的否定
探究点一 全称量词命题的否定
探究点二 存在量词命题的否定
探究点三 全称量词命题、存在量词命题
的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
知识点 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.（1）全称量词命题的否定:,,它的否定: ,_______,
也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.
（2）存在量词命题的否定:, ,它的否定:______________,
也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.
,
2.常见命题的表述
命题 全称量词命题 存在量词命题
表述
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个菱形不是平
行四边形”.( )
√
[解析] “所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个（或有些）
菱形不是平行四边形”.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“所有奇数的平方都不是
奇数”.( )
×
[解析] “任意奇数的平方还是奇数”的否定是“有些（或存在一个）奇
数的平方不是奇数”.
（3）“有些实数的绝对值是正数”的否定是“, ”.( )
√
[解析] 由词语“有些”知原命题为存在量词命题,
故其否定为全称量词命题,而命题的否定只否定结论.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“ ”同时否定.( )
×
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“ ”进行否定,
而将“存在量词”变成“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
探究点一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
（1）所有自然数的平方都是正数；
解：该命题的否定是“有的自然数的平方不是正数”，为真命题．
（2）, ;
解：该命题的否定是“, ”,为真命题.
（3）等腰梯形的对角线相等.
解：该命题的否定是“有的等腰梯形的对角线不相等”,为假命题.
变式 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
（1）任何一个末位数字为9的整数都能被3整除；
解：该命题的否定是“存在一个末位数字为9的整数不能被3整除”,
为真命题.
（2）所有的素数都是奇数；
解：该命题的否定是“存在一个素数不是奇数”,为真命题.
（3），， .
解：该命题的否定是“，， ”,
为真命题.
［素养小结］
（1）对全称量词命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,
没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词;②对原命题的结
论进行否定.
（2）判定全称量词命题“,”是真命题,需要对集合中的
每个元素,证明成立;要判定一个全称量词命题是假命题,只要举
出集合中的一个特殊值,使不成立即可.
探究点二 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
（1）有些三角形的三个顶点不在同一个圆上;
解：该命题的否定:所有三角形的三个顶点都在同一个圆上.真命题.
（2）有一个奇数不能被3整除；
解：该命题的否定：每一个奇数都能被3整除.假命题.
（3）存在，使函数随 的增大而减小.
解：该命题的否定: 对任意,函数不随 的增大而减小.
假命题.
变式 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
（1）存在一个实数，它的绝对值不是正数;
解：该命题的否定: 任意实数的绝对值都是正数.假命题.
（2）有些三角形是等边三角形；
解：该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.假命题.
（3）有些无理数不是实数.
解：该命题的否定:所有的无理数都是实数.真命题.
［素养小结］
存在量词命题的否定,是在否定结论的同时,改变量词的属性,即将
存在量词改为全称量词.要判断存在量词命题是真命题,只要在限定集
合内至少能找到一个,使成立即可,否则就是假命题.
探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用
例3 若“，”是假命题，则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，“， ”是真命题，
则解得，所以实数 的取值范围是 .
故选A.
√
变式 已知命题，，则 的否定是____________
_____________，若的否定是假命题，则实数 的取值范围为______
____.
，
[解析] 全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题 的否定为“，”.
因为的否定是假命题，所以 是真命题，
令，
因为的最小值为 ，所以 .
［素养小结］
（1）与的否定只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
（2）在求参数范围的问题中，往往分离参数，转化成求函数的最值
问题.
1.对全称量词命题与存在量词命题关系的认识
（1）结构关系的认识:全称量词命题中的全称量词表明给定范围内
所有对象都具备某一性质,无一例外.而存在量词命题中的存在量词却
表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成了相反意义的表述,所以
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量
词命题.
（2）真假性的认识:全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性
相反,存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反.
2.关键量词的否定
词语 是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 不都是 小于或等 于 大于或等 于 或
词语 必有一 个 至多有一 个
词语的否定 一个也 没有 至少有两 个
1.含有一个量词的命题的否定要注意的问题:
（1）确定命题类型,是全称量词命题还是存在量词命题.
（2）改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰
当的全称量词.
（3）否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”
“不存在”“不成立”等.
2.含量词命题的真假问题,直接判断含有一个量词的全称量词命题
（存在量词命题）的真假较为困难时,可借助全称量词命题与存在量
词命题的关系,转化为判断其否定的真假性问题,达到化难为易的目的.
例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1）， ；
解：该命题的否定：， .假命题.
（2）， ；
解：该命题的否定：， .假命题.
例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（3）， ；
解：该命题的否定：，.
假命题，因为当时， .
（4）有一个质数含有三个正因数.
解：该命题的否定：每一个质数都不含有三个正因数.真命题.
例2 若命题“，”是假命题，求实数 的取值
范围.
解：因为命题“， ”是假命题，
所以命题“， ”是真命题.
当时， 恒成立；
当时，根据题意得解得 .
综上， ，所以实数的取值范围是 .
练习册
1.命题“任意圆的内接四边形是矩形”的否定为( )
A.每一个圆的内接四边形是矩形
B.有的圆的内接四边形不是矩形
C.所有圆的内接四边形不是矩形
D.存在一个圆的内接四边形是矩形
[解析] 由全称量词命题的否定为存在量词命题，知命题“任意圆的内
接四边形是矩形”的否定为“有的圆的内接四边形不是矩形”.故选B.
√
2.下列说法中正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“, ”是全称量词命题；
③命题“,”的否定为“, ”；
④命题“是 的必要条件”是真命题.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 对于①，命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，
故①错误；
对于②，命题“， ”是全称量词命题，故②正确；
对于③，命题“,”的否定为
“ ,”，故③错误；
对于④，由可以推出 ，
所以命题“是 的必要条件”是真命题，故④正确.
故选C.
3.命题, 的否定为( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 因为命题,，
所以命题的否定为“ , ”.故选C.
√
4.已知命题，，若为假命题，则实数 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 若为假命题，则“， ”为真命题，
所以，解得 .故选D.
√
5.若命题“,”为假命题,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知“,”为真命题，
则关于 的方程有实数根，即，
解得 .故选A.
√
6.（多选题）下列命题的否定为真命题的是( )
A.每一个素数都是奇数
B.能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除
C.，
D.，
[解析] 对于A，2是偶数，也是素数，所以原命题为假命题，
故它的否定为真命题；
对于B，原命题为真命题，故它的否定为假命题；
对于C，原命题为假命题，故它的否定为真命题；
对于D，原命题为真命题，故它的否定为假命题.故选 .
√
√
7.命题“对于所有的实数，都有 ”可用符号记为______
_________________，该命题的否定为______________________.
，
，
[解析] 命题“对于所有的实数，都有 ”可用符号记为
“，”，该命题的否定为“， ”.
8.命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的
否定是____命题（填“真”或“假”）.
假
[解析] 命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
相等”是真命题,
命题的否定是假命题.
9.（13分）写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
（1）存在一个四边形,它的对角线互相垂直;
解:该命题的否定:任意四边形的对角线都不互相垂直.
菱形为四边形,所有菱形的对角线互相垂直,故所得命题为假命题.
（2）某些平行四边形是菱形;
解:该命题的否定:每一个平行四边形都不是菱形.是假命题.
（3）所有二次函数的图象都开口向上;
解:“所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题,
其否定为“有些二次函数的图象不开口向上”,是真命题.
9.（13分）写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
（4）存在,使得 .
解:“存在,使得”是存在量词命题,
其否定为“对任意 ,都有 ”,是真命题.
（5）不论取何实数，方程 都有实数根；
解:该命题的否定：存在实数，使得方程 没有实数根.
是真命题.
（6）, .
解:该命题的否定：, .是假命题.
10.［2025·江西九江高一期末］若命题“ ,
”是真命题，则 的值不可能为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 当时，由，可得 ，
所以 .故选D.
√
11.（多选题）下列命题的否定为假命题的是( )
A.，
B.所有的正方形都是矩形
C.，
D.至少有一个实数，使
√
√
√
[解析] 对于选项A，因为 ，
所以选项A为真命题，所以命题的否定为假命题，故A符合题意；
对于选项B，因为所有的正方形都是矩形，所以选项B为真命题，
所以命题的否定为假命题，故B符合题意；
对于选项C，因为 ，所以选项C为假命题，
所以命题的否定为真命题，故C不符合题意；
对于选项D，因为当 时， ，所以选项D为真命题，
所以命题的否定为假命题，故D符合题意.故选 .
12.命题的否定是“，”，则命题 是_____________
__________.
，
13.已知命题，为真命题，则 的取
值范围是______；若命题， 为真命
题，则 的取值范围是______.
[解析] 由命题为真命题可知,当时, 恒成立,
因此.
由命题为真命题可知,当 时,有解,因此 .
14.（15分）已知命题,,命题 ,
,若的否定是假命题，是真命题，求实数 的取值范围.
解：因为的否定是假命题,所以 是真命题,
由“,”为真命题,得.
因为 是真命题, 所以关于的方程 有实数根,
则,解得 .
综上,实数的取值范围是 .
15.已知命题，，若 的否定是真命题，
则实数 的取值范围是______.
[解析] 由题可知，的否定为“，”，
的否定为真命题，
有实数解，即 有实数解.
根据绝对值的几何意义可得， ， .
16.（15分）已知命题, ，命题
, .
（1）若命题的否定为真命题，求实数 的取值范围；
解：若命题为真命题，则对于任意 ，
不等式，即恒成立，
而当 时，，所以 .
因为命题 的否定为真命题，所以实数的取值范围是 .
16.（15分）已知命题, ，命题
, .
（2）若命题和命题的否定均为真命题，求实数 的取值范围.
解：若命题, 为真命题，
则，解得 .
因为命题和命题的否定均为真命题，所以解得 ，
所以实数的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.（1） （2）,
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）“有的自然数的平方不是正数”真命题 （2）“,”真命题 （3）“有的等腰梯形的对角线不相等”假命题
变式（1）“存在一个末位数字为9的整数不能被3整除”真命题 （2）“存在一个素数不是奇数”真命题 （3）“，，”真命题
探究点二 例2 （1）所有三角形的三个顶点都在同一个圆上.真命题.
（2）每一个奇数都能被3整除.假命题.
（3） 对任意，函数不随的增大而减小.假命题.
变式 （1） 任意实数的绝对值都是正数.假命题. （2）所有的三角形都不是等边三角形.假命题. （3）所有的无理数都是实数.真命题.
探究点三 例3 A 变式 ，
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.AC
7.， ， 8.假
9.（1）任意四边形的对角线都不互相垂直.假命题. （2）每一个平行四边形都不是菱形.假命题. （3）有些二次函数的图象不开口向上.真命题. （4）对任意,都有.真命题. （5）存在实数，使得方程没有实数根.真命题. （6）,.假命题.
10.D 11.ABD 12.， 13. 14.
15. 16.（1）（2）