滚动习题(二)
(时间:45分钟 分值:105分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.命题“ x∈R,x2+2x+2≤0”的否定是 ( )
A. x∈R,x2+2x+2>0
B. x∈R,x2+2x+2≤0
C. x∈R,x2+2x+2>0
D. x∈R,x2+2x+2≥0
2.[2024·济南高一期中] 已知p:0
A.1B.-1C.D.3.命题“ x∈Z,x2=x-1”的否定是 ( )
A. x∈Z,x2≠x-1
B. x∈Z,x2=x-1
C. x∈Z,x2≠x-1
D. x Z,x2≠x-1
4.已知集合A={1,2,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A=B”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2025·吉林长春德惠五校高一联考] 已知p:x2-4x+3=0,q:-3≤x-1≤m,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围为 ( )
A.m> B.m≥
C.m>-2 D.m≥-2
6.若x1,x2∈R,则“(-)<0”是“x1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,那么实数a的取值范围为 ( )
A.a<3 B.a<4
C.1二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.下列命题中为真命题的是 ( )
A. x∈N,∈N
B. 存在集合A,使得A
C. x∈N,x2-2x+1>0
D. x∈R,3x2+1≠0
9.下列说法错误的是 ( )
A.命题“ x∈R,x2>-1”的否定是“ x∈R,x2<-1”
B.“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件
C.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0,且b2-4ac≤0”
D.“a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.命题“存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立”的否定是 .
11.已知A={x||x|<2},B=,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
12.对任意x∈{x|-2四、解答题(本大题共3小题,共43分)
13.(13分)判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,写出它们的否定并判断所得命题的真假.
(1)|a-b|≤|a|+|b|对一切实数a,b恒成立;
(2)至少存在一对整数x,y,使得8x-3y=11成立;
(3)有些正方形的对角线不互相垂直.
14.(15分)已知p:关于x的方程x2-2ax+a2+a-2=0有实数根,q:m-1≤a≤m+3.
(1)若p的否定是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
15.(15分)已知a,b,c均为实数,证明:“ac<0”是“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”的充要条件.
滚动习题(二)
1.C [解析] 命题“ x∈R,x2+2x+2≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+2>0”.故选C.
2.C [解析] 因为13.A [解析] 因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题“ x∈Z,x2=x-1”的否定是“ x∈Z,x2≠x-1”.故选A.
4.C [解析] a=3 A=B,故选C.
5.B [解析] 由x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,可得x=1或x=3,所以p:x=1或x=3.因为p是q的充分条件,所以p q,所以可得解得m≥.故选B.
6.A [解析] 若(-)=(x1-x2)(++x1x2)<0,则x1≠0,所以++x1x2=+≥>0,则x1-x2<0,即x17.A [解析] 因为命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,所以命题“ m∈R,A∩B= ”为真命题.因为集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},所以当A= ,即a<0时,A∩B= ,符合题意;当A≠ ,即a≥0时,由题意得a8.ABD [解析] 对于A,当x=0∈N时,=1∈N,故A为真命题;对于B,当A= 时,A ,故B为真命题;对于C,当x=1∈N时,x2-2x+1=0,故C为假命题;对于D,因为x2≥0,所以3x2+1≥1>0,故D为真命题.故选ABD.
9.AC [解析] 对于A,命题“ x∈R,x2>-1”的否定是“ x∈R,x2≤-1”,故A中说法错误;对于B,x2>y2 |x|>|y|,而|x|>|y|不能推出x>y,x>y也不能推出|x|>|y|,所以“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故B中说法正确;对于C,当a=0,b=0,c≥0时,也满足ax2+bx+c≥0,故C中说法错误;对于D,关于x的方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根的充要条件是a<0,易知“a<1”是“a<0”的必要不充分条件,故D中说法正确.故选AC.
10.对于任意一个实数对(x,y),都有2x+3y+3≥0 [解析] 命题“存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立”是存在量词命题,其否定是“对于任意一个实数对(x,y),都有2x+3y+3≥0”.
11.a<-2 [解析] 依题意得,A={x||x|<2}={x|-22,解得a<-2.
12.m≥8 [解析] 由题意可知,对任意x∈{x|-213.解:(1)因为“一切”是全称量词,所以该命题为全称量词命题.它的否定是“存在实数a,b,使得|a-b|>|a|+|b|成立”,为假命题.
(2)因为“至少存在一对”是存在量词,所以该命题为存在量词命题.它的否定是“对任意整数x,y,都有8x-3y≠11”,为假命题.
(3)因为“有些”是存在量词,所以该命题为存在量词命题.它的否定是“所有正方形的对角线都互相垂直”,为真命题.
14.解:(1)因为p的否定是真命题,所以p是假命题,即关于x的方程x2-2ax+a2+a-2=0无实数根,
所以Δ=4a2-4(a2+a-2)<0,解得a>2,所以实数a的取值范围是a>2.
(2)由(1)知,p:a≤2,若p是q的必要不充分条件,则{a|m-1≤a≤m+3} {a|a≤2},所以m+3≤2,解得m≤-1,所以实数m的取值范围是m≤-1.
15.证明:充分性:∵ac<0,∴a≠0,∴方程ax2+bx+c=0为一元二次方程,且Δ=b2-4ac≥-4ac>0,
∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,设为x1,x2.
∵ac<0,∴x1·x2=<0,∴x1,x2一正一负,即ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.
必要性:∵ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,
∴a≠0,∴方程ax2+bx+c=0为一元二次方程.设两个根为x1,x2,则x1·x2=<0,∴ac<0.综上知,“ac<0”是“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”的充要条件.