本章总结提升
判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
1.由方程x2-3x+2=0的根和方程x2-4=0的根组成的集合中有3个元素. ( )
2.“ x∈R,x2-1≥-1”的否定是全称量词命题. ( )
3.“正方形的对角线相等”是全称量词命题. ( )
4. 和{ }表示的意义相同. ( )
5.任何集合都至少有两个子集. ( )
6.若集合A={x∈N*|-1≤x≤3},B={-2,0,1},则A∩B={0,1}. ( )
7.设全集U={0,2,3,4},A={x|x2+mx=0},若 UA={3,2},则实数m=-4. ( )
8.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. ( )
9.“|x-2|≠1”是“x≠1”的充分不必要条件. ( )
◆ 题型一 集合的概念、集合的基本关系
[类型总述] (1)集合中元素的互异性;(2)集合的基本关系.
例1 (1)(多选题)下列表述正确的有 ( )
A.-1 Z B.π∈ RQ
C.{x||x|<0} {0} D.N* N Z
(2)已知m∈R,n∈R,若集合={m2,m+n,0},则m2025+n2025= .
变式 集合M== (用列举法表示).
例2 (1)设m为实数,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},若B A,则m的取值范围是 .
(2)对于任意两个数x,y(x,y∈N*),定义某种运算“·”如下:①当x,y同为奇数或同为偶数时,x·y=x+y;②当x,y为一奇一偶时,x·y=xy.据此可得,集合A={(x,y)|x·y=10}的子集个数是 ( )
A.214 B.213
C.211 D.27
变式1 已知集合A={1},B={a383,a384},若A B,则实数a= .
变式2 已知集合A={x|x2+5x-6=0},B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}.若B A,求实数m的取值范围.
◆ 题型二 集合的基本运算
[类型总述] (1)集合的并集、交集运算;(2)集合的补集运算;(3)由集合运算求参数.
例3 (1)设集合A={x|-1
A.{x|3≤x<4} B.{x|3C.{x|-1-1}
(2)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2k-2①当k=2时,求A∪B;
②若A∪B=A,求k的取值范围.
变式 (1)(多选题)已知全集U=Z,集合A={1,2,3},B={a+b|a,b∈A},则下列结论正确的是 ( )
A.集合B中有6个元素
B.A∪B={1,2,3,4,5,6}
C.( UA)∩B={4,5,6}
D.A∩B的真子集个数是3
(2)有三支股票A,B,C,28位股民的持有情况如下:每位股民至少持有其中一支股票;在不持有A股票的人中,持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍;在持有A股票的人中,只持有A股票的人数比除了持有A股票外,同时还持有其他股票的人数多1;在只持有一支股票的人中,有一半持有A股票.据此可得,只持有B股票的股民人数是 ( )
A.7 B.6
C.5 D.4
(3)已知集合M={x|y=},N={y|y=x2-6x,x∈R},若M∩N= ,则实数m的取值范围是 .
◆ 题型三 充分条件、必要条件
[类型总述] (1)判断充分条件、必要条件;(2)充要条件的逆用求参数.
例4 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.“x2-2x=0”是“x=2”的必要不充分条件
B.“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件
C.当a≠0时,“b2-4ac<0”是“方程ax2+bx+c=0有解”的充要条件
D.若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件
(2)若“m≤x≤m+1”是“≤x≤3”的充分不必要条件,则整数m的值为 .
例5 已知a为实数,p:-3≤x≤1,q:x≤a.若q的一个充分不必要条件是p,则实数a的取值范围是 .
变式 已知m≥0,p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
◆ 题型四 全称量词与存在量词
[类型总述] (1)全称量词命题与存在量词命题的真假判定;(2)全称量词命题与存在量词命题的否定.
例6 (1)命题“ x>0,x2-2=0”的否定是 ( )
A. x≤0,x2-2≠0 B. x>0,x2-2≠0
C. x>0,x2-2≠0 D. x≤0,x2-2≠0
(2)(多选题)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( )
A. x∈R,x2-x+1≥0
B. x,y∈Z,2x+4y=3
C.所有菱形的对角线都互相垂直
D.任意四边形均有外接圆
变式 (多选题)“ x∈R,x2-x+a=0”为真命题的充分不必要条件可以是 ( )
A.a≤- B.a≤
C.a<0 D.a<2
◆ 题型五 集合新概念问题
[类型总述] (1)集合运算的新定义;(2)集合元素性质的新定义.
例7 [2025·夷陵中学高一期中] 已知集合A={x1,x2,…,xn},n∈N*,n≥3,若对任意x∈A,y∈A,都有x+y∈A或x-y∈A,则称集合A具有“包容”性.
(1)判断集合{-1,1,2,3}和集合{-1,0,1,2}是否具有“包容”性;
(2)若集合B={1,a,b}具有“包容”性,求a2+b2的值;
(3)若集合C具有“包容”性,且集合C中的元素共有6个,1∈C,试确定集合C.
变式 (1)(多选题)[2025·广东潮州高一期中] 设P,Q为非空实数集,定义PQ={z|z=xy,x∈P,y∈Q},则 ( )
A.P{1}=P
B.(PQ) R=P (QR)
C.P{0} P
D.PQ=P∩Q
(2)(多选题)[2025·温州高一期末] 已知整数集A={a1,a2,…,an},B={x|x=a+b或x=a-b,a≠b,a∈A,b∈A},若存在m∈B,使得m=ck,c∈Z,k∈N*,则称集合A具有性质M(k).下列说法正确的是 ( )
A.若A={1,2},则A具有性质M(2)
B.若A={1,2,3},则A具有性质M(3)
C.若n=4,则A一定具有性质M(5)
D.若n=7,则A一定具有性质M(10)
本章总结提升
【知识辨析】
1.√ [解析] 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,由x2-4=0得x=2或x=-2,因为集合中的元素具有互异性,所以由两方程的根组成的集合中有3个元素.
2.× [解析] “ x∈R,x2-1≥-1”的否定是“ x∈R,x2-1<-1”,它是存在量词命题.
3.√ [解析] “正方形的对角线相等”可以写为“所有正方形的对角线都相等”,命题中含有全称量词“所有”,因此是全称量词命题.
4.× [解析] 是不含任何元素的集合,而集合{ }中含有一个元素.
5.× [解析] 空集只有1个子集.
6.× [解析] 依题意得A={1,2,3},B={-2,0,1},所以A∩B={1}.
7.√ [解析] ∵U={0,2,3,4}, UA={3,2},∴A={0,4},∴0,4是方程x2+mx=0的两个根,∴m=-4.
8.√ [解析] 两个三角形相似 两个三角形的三边对应成比例,所以正确.
9.√ [解析] 由|x-2|≠1,得x≠1且x≠3,所以由|x-2|≠1可以推出x≠1;由x=3,得|x-2|=1,所以由x≠1不能推出|x-2|≠1.所以“|x-2|≠1”是“x≠1”的充分不必要条件.
【素养提升】
题型一
例1 (1)BCD (2)-1 [解析] (1)因为-1是整数,所以-1∈Z,A错误;因为π是无理数,所以π∈ RQ,B 正确;因为{x||x|<0}= ,所以{x||x|<0} {0},C正确;因为N*为正整数集,N为自然数集,Z为整数集,所以N* N Z,D正确.故选BCD.
(2)因为={m2,m+n,0},所以解得或
当m=1时,不满足集合中元素的互异性,故m=-1,n=0,则m2025+n2025= (-1)2025+02025=-1.
变式 {-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}
[解析] ∵∈Z,m∈Z,∴m+1=1,2,5,10,-10,-5,-2,-1,∴m=0,1,4,9,-11,-6,-3,-2,则M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}.
例2 (1)m≤ (2)B [解析] (1)当B= 时,m>2m-1,解得m<1,满足B A;当B≠ 时,由B A得解得1≤m≤.综上所述,m的取值范围是m≤.
(2)当x,y同为奇数或同为偶数时,由题意得x+y=10,则或或或或或或或或当x为偶数,y为奇数时,由题意得xy=10,则或当x为奇数,y为偶数时,由题意得xy=10,则或综上,集合A中有13个元素,它的子集个数为213.故选B.
变式1 -1 [解析] 因为A={1},B={a383,a384},A B,所以a383=1或a384=1.若a383=1,则a=1,此时a384=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;若a384=1,则a=-1或a=1(舍去),此时a383=-1,即B={-1,1},满足题意.综上,a=-1.
变式2 解:因为A={x|x2+5x-6=0}={-6,1},B A,
所以分以下两种情况讨论:①当B为空集时,Δ=4(m+1)2-4(m2-3)<0,解得m<-2;
②当B不为空集时,若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)=0,则m=-2,
此时B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}={1},满足题意,
若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)>0,则m>-2,此时B={-6,1},由根与系数的关系得此时m无解.
综上,实数m的取值范围是m≤-2.
题型二
例3 (1)B [解析] 因为B={x|x≤3},所以 RB={x|x>3},又A={x|-1(2)解:①当k=2时,B={x|2②因为A∪B=A,所以B A,
当B= 时,2k-2≥k+3,解得k≥5,符合题意;
当B≠ 时,可得解得-≤k≤1.
综上,k的取值范围是k≥5或-≤k≤1.
变式 (1)BCD (2)B (3)m<-9
[解析] (1)由B={a+b|a,b∈A},且A={1,2,3},得B={2,3,4,5,6},故集合B中有5个元素,A错误;A∪B={1,2,3,4,5,6},B正确;( UA)∩B={4,5,6},C正确;A∩B={2,3},其真子集的个数是22-1=3,D正确.故选BCD.
(2)如图,设只持有A股票的人数为X,则除了持有A股票外,同时还持有其他股票的人数为X-1(图中d+e+f的和),∵在只持有一支股票的人中,有一半持有A股票,∴只持有B股票和只持有C股票的人数和为X(图中b+c的和).设同时持有B和C股票的人数为a,则X+X-1+X+a=28,即3X+a=29,则X的可能取值是9,8,7,6,5,4,3,2,1,与之对应的a的值分别为2,5,8,11,14,17,20,23,26,∵在不持有A股票的人中,持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍,∴a+b=2(a+c),即X-a=3c,∴X=8,a=5,此时c=1,b=7,∴只持有B股票的股民人数是7.故选A.
(3)由题知M={x|y=}={x|x≤m},因为y=x2-6x=(x-3)2-9≥-9,所以N={y|y=x2-6x,x∈R}={y|y≥-9},又M∩N= ,所以m<-9,即实数m的取值范围是m<-9.
题型三
例4 (1)ABD (2)2 [解析] (1)对于A,由x2-2x=0得x=0或x=2,所以由x2-2x=0不一定能推出x=2,但由x=2可以推出x2-2x=0,故A正确; 对于B,由x>2且y>3可以推出x+y>5,但由x+y>5不能推出x>2且y>3,如x=6,y=1,满足x+y>5,但不满足x>2且y>3,故B正确;对于C,当a≠0时,方程ax2+bx+c=0有解等价于b2-4ac≥0,所以由b2-4ac<0不能推出方程ax2+bx+c=0有解,反之,方程ax2+bx+c=0有解也不能推出b2-4ac<0,故C错误;对于D,若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件,故D正确.故选ABD.
(2)因为“m≤x≤m+1”是“≤x≤3”的充分不必要条件,所以{x|m≤x≤m+1} ,故且等号不同时成立,解得≤m≤2,故整数m的值为2.
例5 a≥1 [解析] 设A={x|-3≤x≤1},B={x|x≤a},∵q的一个充分不必要条件是p,∴A B,∴a≥1,则实数a的取值范围是a≥1.
变式 解:(1)由p是q的充分不必要条件,得集合{x|-2≤x≤10}是集合{x|1-m≤x≤1+m}的真子集,
所以或解得m≥9,
所以实数m的取值范围是m≥9.
(2)由p是q的必要不充分条件,得集合{x|1-m≤x≤1+m}是集合{x|-2≤x≤10}的真子集.
所以或所以0≤m≤3.
题型四
例6 (1)C (2)AC [解析] (1)命题“ x>0,x2-2=0”的否定是“ x>0,x2-2≠0”.故选C.
(2)对于A,“ ”是全称量词,因为x2-x+1=+>0,所以“ x∈R,x2-x+1≥0”为真命题,故A正确;对于B,“ ”是存在量词,故B错误;对于C,“所有”是全称量词,且“所有菱形的对角线都互相垂直”为真命题,故C正确;对于D,任意四边形不一定有外接圆,对角和为180°的四边形有外接圆,对角和不是180°的四边形没有外接圆,故D错误.故选AC.
变式 AC [解析] 由题意可得Δ=1-4a≥0,解得a≤.结合选项知,和{a|a<0}是的真子集,故选AC.
题型五
例7 解:(1)对于集合{-1,1,2,3},
因为3+3=6 {-1,1,2,3},3-3=0 {-1,1,2,3},
所以集合{-1,1,2,3}不具有“包容”性.
集合{-1,0,1,2}中的任何两个元素相加或相减,得到的两个数中至少有一个属于集合{-1,0,1,2},所以集合{-1,0,1,2}具有“包容”性.
(2)若集合B={1,a,b}具有“包容”性,记m=max{1,a,b},则m≥1,易得2m {1,a,b},从而必有0∈{1,a,b},
不妨令a=0,则B={1,0,b},b≠0且b≠1,
则{1+b,1-b}∩{1,0,b}≠ ,且{1+b,b-1}∩{1,0,b}≠ .
①当1+b∈{1,0,b}时,若1+b=0,则b=-1,
此时B={1,0,-1}具有“包容性”;
若1+b=1,则b=0,舍去;
若1+b=b,则b无解.
②当1+b {1,0,b}时,则{1-b,b-1} {1,0,b},由b≠0且b≠1,可知b无解.
故B={1,0,-1}.
综上,a2+b2=1.
(3)根据题意知0∈C,且C中的元素既有正数也有负数,不妨设C={-bk,-bk-1,…,-b1,0,a1,a2,…,al},
其中k+l=5,0根据题意得{a1-al,…,al-1-al} {-bk,-bk-1,…,-b1},且{bk-b1,bk-1-b1,…,b2-b1} {a1,a2,…,al},
所以k=2,l=3或k=3,l=2.
①当k=3,l=2时,{b3-b1,b3-b2}={a2,a1},并且由{-b3+b1,-b3+b2}={-b2,-b1},得b3=b1+b2,
由a2-a1∈{a1,a2},得a2=2a1,
由上可得b2=b3-b1=a2=2a1,b1=b3-b2=a1,并且b3=b1+b2=3a1,
故C={-3a1,-2a1,-a1,0,a1,2a1}.
②当k=2,l=3时,同理可得C={-2a1,-a1,0,a1,2a1,3a1}.
综上,当1∈C时,符合条件的集合C有5个,分别是{-2,-1,0,1,2,3},,,{-3,-2,-1,0,1,2},.
变式 (1)AB (2)BCD [解析] (1)对于选项A,由题可知,P{1}={z|z=x,x∈P}=P,故A正确;对于选项B,PQ={z|z=xy,x∈P,y∈Q},所以(PQ) R={a|a=zb,z∈(PQ),b∈R}={a|a=xyb,x∈P,y∈Q,b∈R},同理P (QR)={a|a=xyb,x∈P,y∈Q,b∈R},所以(PQ) R=P (QR),故B正确;对于选项C,P{0}={z|z=x×0,x∈P}={0},而集合P中不一定有元素0,故C错误;对于选项D,由题可知PQ={z|z=xy,x∈P,y∈Q}≠ ,但是P∩Q可能为空集,故D错误.故选AB.
(2)对于A选项,若A={1,2},则B={1,3,-1},因为3=1×3,-1=-1×1,1=1×1,故不可能存在k=2满足题意,故A错误;对于B选项,若A={1,2,3},则B={-2,-1,1,2,3,4,5},则当m=3,c=1,k=3时,A具有性质M(3),故B正确;对于C选项,将整数分成5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4,k∈Z这五类,构成的集合依次记为C,D,E,F,G,当n=4时,如果a1,a2,a3,a4属于的集合各不相同,比如a1∈D,a2∈E,a3∈F,a4∈G,那么a1+a4肯定是5的倍数,且a1+a4∈B,满足M(5)的定义,如果a1,a2,a3,a4中有两个或两个以上元素属于同一个集合,比如a1,a2∈G,那a1-a2也是5的倍数,且a1-a2∈B,满足 M(5)的定义,故C正确;对于D选项,将整数分成10k,10k+1,10k+2,10k+3,10k+4,10k+5,10k+6,10k+7,10k+8,10k+9(k∈Z)这十类,构成的集合依次记为C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,当n=7时,如果a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7属于的集合各不相同,比如a1∈C,a2∈D,a3∈E,a4∈F,a5∈G,a6∈H,a7∈I,那么a5+a7肯定是10的倍数,且a5+a7∈B,满足M(10)的定义,如果a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中有两个或两个以上元素属于同一个集合,比如a6,a7∈G,那么a6-a7也是10的倍数,且a6-a7∈B,满足M(10)的定义,故D正确.故选BCD.