第一章 集合与常用逻辑用语 单元素养测评卷（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

单元素养测评卷(一)
第一章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列关系中正确的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.∈Q B. R
C.0∈N* D.π∈Z
2.[2025·重庆巴蜀中学高一月考] 命题“ x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是 (　　)
A. x∈(-∞,0),x3+x<0
B. x∈(-∞,0),x3+x<0
C. x∈[0,+∞),x3+x<0
D. x∈[0,+∞),x3+x≥0
3.已知集合M={1,-1},N={x|x2+x-2=0},则M∪N= (　　)
A.{-1} B.{-1,1}
C.{-1,1,2} D.{-2,-1,1}
4.“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.满足{1} A {1,2,3,4}的集合A的个数为 (　　)
A.7 B.8
C.15 D.16
6.[2025·武汉二中高一月考] 已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且 p是 q的充分不必要条件,则a的取值范围是 (　　)
A.a≥1 B.a≤1
C.a≥-1 D.a≤-3
7.已知A={x|x2+px-6=0},B={x|x2+qx+2=0},且A∩( RB)={2},则p+q的值为 (　　)
A.4 B.
C. D.5
8.[2025·烟台高一期中] 若集合U的三个子集A,B,C满足A B C,则称(A,B,C)为集合U的一组“亲密子集”.已知集合U={1,2,3},则U的所有“亲密子集”的组数为 (　　)
A.9 B.12
C.15 D.18
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知集合A={x|x2-1=0},则下列说法正确的是 (　　)
A.1∈A B.{-1}∈A
C.A {-1,1} D. ∈A
10.下列结论中错误的是 (　　)
A.“ n∈N,2n2+5n+2能被2整除”是真命题
B.“ n∈N,2n2+5n+2不能被2整除”是真命题
C.“ n∈N,2n2+5n+2不能被2整除”是真命题
D.“ n∈N,2n2+5n+2能被2整除”是假命题
11. 对任意x>0,都有mx+1>0成立的一个充分不必要条件可以是 (　　)
A.m>-1 B.m>1
C.m=0 D.m>2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.试用列举法表示集合:A={x|3x-1≤11,x∈N}=　　　　　　.
13.已知集合A中含有两个元素1,a,则实数a的取值范围是　　　　;若a2∈A,则a=　　　　.
14.已知α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若β是α的必要不充分条件,则m的取值集合是　　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)集合A={x|2≤x<9},B={x|1<3x-14<16}.
(1)求A∪B;
(2)求( RA)∩B.
16.(15分)已知非空集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-2≤x≤4},全集U=R.
(1)当a=2时,求( UA)∪( UB);
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知p: x∈{x|x≥1},a-2x2≤0.q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0.
(1)写出p,q的否定;
(2)若p,q都是真命题,求实数a的取值范围.
18.(17分)经调查,亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱.小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛的情况,每人至少观看过其中一类比赛,有15人观看过这3类比赛,18人没观看过球类比赛,20人没观看过田径类比赛,16人没观看过游泳类比赛,因不慎将观看过其中两类比赛的人数的数据丢失,记为m,求m的值.
19.(17分)[2025·华师大一附中高一月考] 已知集合A={a1,a2,…,ak}(k≥2),其中ai∈Z(i=1,2,…,k),由A中所有满足条件的元素构成两个点集P和Q:P={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},Q={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},其中P中有m个元素,Q中有n个元素.新定义一个性质G:若对任意的x∈A,必有-x A,则称集合A具有性质G.
(1)已知集合J={0,1,2,3},集合K={-1,2,3},它们是否具有性质G 若有,则直接写出其对应的集合P,Q;若无,请说明理由.
(2)若集合A具有性质G,k=2025,则集合Q中最多有几个元素
(3)试判断:“集合A具有性质G”是“m=n”的什么条件 并证明.
单元素养测评卷(一)
1.A　[解析] 对于A,因为为有理数,所以∈Q,所以A正确;对于B,因为是实数,所以∈R,所以B错误;对于C,因为0不是正整数,所以0 N*,所以C错误;对于D,因为π为无理数,所以π Z,所以D错误.故选A.
2.C　[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“ x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是“ x∈[0,+∞),x3+x<0”.故选C.
3.D　[解析] ∵N={x|x2+x-2=0}={x|(x+2)(x-1)=0}={-2,1},M={-1,1},∴M∪N={-2,-1,1}.故选D.
4.B　[解析] 设A={x|15.A　[解析] ∵{1} A,∴1∈A,∵A {1,2,3,4},∴满足题意的集合A有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},共7个.故选A.
6.A　[解析] ∵p:|x+1|>2,∴p:x>1或x<-3.∵ p是 q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件,∵q:x>a,p:x>1或x<-3,∴a≥1.故选A.
7.C　[解析] 因为A∩( RB)={2},所以2∈A,所以4+2p-6=0,解得p=1,当p=1时,由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以-3∈B,所以9-3q+2=0,解得q=,所以p+q=1+=.故选C.
8.D　[解析] U={1,2,3}的所有子集有 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.
(1)若A= ,B为单元素集合,C为双元素集合,则符合要求的有 {1} {1,2}, {1} {1,3}, {2} {1,2}, {2} {2,3}, {3} {1,3}, {3} {2,3},共6组;
(2)若A= ,B为单元素集合,C为三元素集合,则符合要求的有 {1} {1,2,3}, {2} {1,2,3}, {3} {1,2,3},共3组;
(3)若A= ,B为双元素集合,C为三元素集合,则符合要求的有 {1,2} {1,2,3}, {1,3} {1,2,3}, {2,3} {1,2,3},共3组;
(4)若A为单元素集合,B为双元素集合,C为三元素集合,则符合要求的有{1} {1,2} {1,2,3},{1} {1,3} {1,2,3},{2} {1,2} {1,2,3},{2} {2,3} {1,2,3},{3} {1,3} {1,2,3},{3} {2,3} {1,2,3},共6组.综上所述,满足要求的“亲密子集”一共有6+3+3+6=18(组).故选D.
9.AC　[解析] 集合A={x|x2-1=0}={-1,1},所以1∈A,{-1} A,A {-1,1}, A.故选AC.
10.ABD　[解析] 当n=1时,2n2+5n+2不能被2整除,当n=2时,2n2+5n+2能被2整除,所以A,B,D中的结论错误,C中的结论正确.故选ABD.
11.BCD　[解析] 若对任意x>0,都有mx+1>0成立,则m>-对任意x>0恒成立,因为x>0,所以-<0,所以m≥0.故选BCD.
12.{0,1,2,3,4}　[解析] 由题意可得A={x|3x-1≤11,x∈N}={x|x≤4,x∈N}={0,1,2,3,4}.
13.a≠1　0或-1　[解析] 由集合中元素的互异性知,a≠1.当a2=1时,a=-1或a=1,由集合中元素的互异性得a=-1满足条件;当a2=a时,a=0或a=1,由集合中元素的互异性得a=0满足条件.综上所述,a=0或a=-1.
14.　[解析] 令A={x|1≤x≤3},B={x|m+1≤x≤2m+4,m∈R},由题得A B,∴且等号不能同时成立,解得-≤m≤0.
15.解:(1)由1<3x-14<16,解得5∴B={x|1<3x-14<16}={x|5又A={x|2≤x<9},∴A∪B={x|2≤x<10}.
(2)∵ RA={x|x<2或x≥9},
∴( RA)∩B={x|9≤x<10}.
16.解:(1)方法一:当a=2时,A={x|1≤x≤7},
所以 UA={x|x<1或x>7}.
因为B={x|-2≤x≤4},所以 UB={x|x<-2或x>4},
所以( UA)∪( UB)={x|x<1或x>4}.
方法二:当a=2时,A={x|1≤x≤7},
因为B={x|-2≤x≤4},所以A∩B={x|1≤x≤4},
所以( UA)∪( UB)= U(A∩B)={x|x<1或x>4}.
(2)因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,所以A是B的真子集,
因为A为非空集合,所以或
解得-1≤a<或-1综上,实数a的取值范围是-1≤a≤.
17.解:(1)因为p: x∈{x|x≥1},a-2x2≤0,
所以 p: x∈{x|x≥1},a-2x2>0.
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0,
所以 q: x∈{x|1≤x≤3},x+a<0.
(2)因为p: x∈{x|x≥1},a-2x2≤0为真命题,
所以 x∈{x|x≥1},a≤2x2,
由x≥1,得2x2≥2,故a≤2.
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0为真命题,
所以 x∈{x|1≤x≤3},a≥-x,
又-3≤-x≤-1,故a≥-3.
综上,当p,q都是真命题时,a的取值范围为-3≤a≤2.
18.解:不妨设观看过球类与田径类比赛的有x人,观看过球类与游泳类比赛的有y人,观看过田径类与游泳类比赛的有z人,
则m=x+y+z.设只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为a,b,c,
则a+b+c+x+y+z=50-15=35①.
因为18人没观看过球类比赛,20人没观看过田径类比赛,16人没观看过游泳类比赛,
所以b+c+z=18,a+c+y=20,a+b+x=16,
所以2(a+b+c)+x+y+z=54②,
由①②得,a+b+c=19,则m=16.
19.解:(1)①0∈J,不符合性质G的定义,故J不具有性质G;
②对任意的x∈K,必有-x K,故集合K具有性质G,对应的集合P={(-1,3),(3,-1)},Q={(2,-1),(2,3)}.
(2)由题意可知集合A中的元素构成有序数对(ai,aj)(i,j∈N*,i≤k,j≤k),共有k2个,
∵0 A,∴(ai,ai) Q,
又∵当a∈A时,-a A,∴当(ai,aj)∈Q时,(aj,ai) Q,
∴集合Q中的元素个数不超过个,
取A={1,2,…,2025},则Q中元素的个数为2 049 300,
故Q中最多有2 049 300个元素.
(3)当集合A具有性质G时,
①对于(a,b)∈P,根据定义可知a∈A,b∈A,a+b∈A,则(a+b,a)∈Q,
若(a,b),(c,d)是P中的不同元素,则a=c,b=d中至少有一个不成立,
故b=d,a+b=c+d中至少有一个不成立,
故(a+b,b)和(c+d,d)也是Q中不同的元素,可知P中的元素个数不多于Q中的元素个数,即m≤n;
②对于(a,b)∈Q,根据定义可知a∈A,b∈A,a-b∈A,则(a-b,b)∈P,
若(a,b),(c,d)是Q中的不同元素,则a=c,b=d中至少有一个不成立,
故b=d,a-b=c-d中至少有一个不成立,
故(a-b,b)和(c-d,d)也是P中不同的元素,可知Q中的元素个数不多于P中的元素个数,即n≤m.
由①②可知m=n.
令集合A={-1,1,2,3},则P={(-1,2),(2,-1),(-1,3),(3,-1),(1,1),(1,2),(2,1)},Q={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,-1),(3,1),(2,-1)},
故m=7,n=7,满足m=n,但集合A不具有性质G.
∴“集合A具有性质G”是“m=n”的充分不必要条件.