【学霸笔记：同步精讲】第二章 探究课3 直线系方程及其应用 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
探究课3　直线系方程及其应用
第二章
平面解析几何
1．平行直线系方程
(1)斜率为k的直线系方程为y＝kx＋b(k为常数，b为参数)．
(2)与定直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)．
(3)过点P(x0，y0)，且平行于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(Ax0＋By0＋C≠0)．
2．垂直直线系方程
(1)与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线系方程为y＝－x＋m(m为参数)．
(2)与定直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．
(3)过点P(x0，y0)，且垂直于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0．
3．过两条直线交点(定点)的直线系方程
设两条不平行的直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，我们将直线l：m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，且m2＋n2≠0)称为经过直线l1与l2交点(定点)的直线系方程．当m＝1，n＝0时，此方程即为直线l1的方程；当m＝0，n＝1时，此方程即为直线l2的方程．
过两条直线交点(定点)的直线系方程又可以表示为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，此时该直线系不含直线l2．
【典例1】　(1)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线l1的方程是__________________．
(2)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线l2的方程是__________________．
x－2y－1＝0
2x＋y－2＝0
(1)x－2y－1＝0　(2)2x＋y－2＝0　[(1)设直线l1的方程为x－2y＋c1＝0(c1≠－2)．将点(1，0)的坐标代入得c1＝－1，即x－2y－1＝0．
(2)设直线l2的方程为2x＋y＋c2＝0．将点(1，0)的坐标代入得c2＝
－2，即2x＋y－2＝0．]
【典例2】　无论m取何值，直线(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)是否恒过一定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
[解]　方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0．
解方程组得
令点P(3，1)．因为坐标(3，1)满足2x＋y－7＝0，x＋y－4＝0，
所以坐标(3，1)也满足(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
进一步坐标(3，1)满足(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4．
故无论m取何值，直线(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4恒过定点P(3，1)．
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且在y轴上的截距的绝对值为5的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
√
D　[设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则该直线在y轴上的截距为－c，所以|－c|＝5，解得c＝5或c＝－5，故所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．]
2．过直线2x－y＋4＝0与直线x＋y＋5＝0的交点，且与直线x－2y＝0垂直的直线的方程是____________________．
2x＋y＋8＝0　[设所求的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y＋5)＝0，整理得(2＋λ)x＋(λ－1)y＋4＋5λ＝0，因为此直线与直线x－2y＝0垂直，所以满足2＋λ－2(λ－1)＝0，所以λ＝4，故所求直线方程为2x＋y＋8＝0．]
2x＋y＋8＝0
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