【学霸笔记：同步精讲】第二章 微专题2 直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共35张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题
第二章
平面解析几何
1．定值问题的处理方法
(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．最值问题的处理方法
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为r－d(其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)．
(2)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点与最长弦垂直的弦就是最短弦．
(3)对于求含有分式型的代数式的最值，可以考虑利用斜率的几何意义．
(4)求形如y＋ax的代数式的最值，设y＋ax＝b，考虑利用直线在y轴上的截距来求．
类型1　定值问题
【例1】　已知圆C：x2＋y2＝16，直线l：3x－4y＋5＝0．
(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线的方程．
(2)已知点A(0，6)，在直线OA上(O为坐标原点)是否存在定点B(不同于点A)，满足对圆C上任一点P，都有为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设所求直线的方程为4x＋3y＋b＝0．
由题意知圆C的圆心C(0，0)，半径r＝4．
∵所求直线与圆C相切，∴＝4，得b＝±20，
∴所求直线方程为4x＋3y＋20＝0或4x＋3y－20＝0．
(2)设点B(0，t)，t≠6．
当P为圆C与y轴的上交点(0，4)时，＝；
当P为圆C与y轴的下交点(0，－4)时，＝．
依题意，＝，解得t＝6(舍去)或t＝．
下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为定值．
设P(x，y)，则x2＝16－y2，
∴＝＝＝，
∴＝，为定值．
故满足条件的点B的坐标为．
类型2　定点问题
【例2】　已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
[解]　(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2．
设P(2a，a)，连接MA，MP(图略)．
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°．
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝4．
又|MP|＝＝，
所以＝4，解得a＝0或a＝，
所以点P的坐标为(0，0)或．
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，MP的中点为圆心的圆，
所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0．
由
解得或
所以圆N过定点(0，4)和．
类型3　最值(范围)问题
【例3】　已知直线l经过点P(－2，3)，且其倾斜角α的余弦值为．
(1)求直线l的方程；
(2)判断直线l与圆C：________的位置关系；如果相交，记交点为A，B，求经过A，B两点的圆的面积的最小值；如果相离，过直线l上的点E作圆C的切线，切点为F，求EF长的最小值．
现给出两个条件：①(x＋3)2＋y2＝25；②(x－2)2＋y2＝16，从中选出一个条件填在横线上，写出一种方案即可．
[解]　(1)因为直线l的倾斜角的余弦值为，则倾斜角的正切值为，所以直线l的斜率k＝，
即直线l方程为y－3＝(x＋2)，即x－2y＋8＝0．
(2)选①．
圆心C(－3，0)，r＝5，则圆心C到直线l的距离d＝＝＜5，所以直线l与圆C相交．
易知以AB为直径时，所求圆的面积最小．
由解得或
不妨令A(－8，0)，B(0，4)，
则|AB|＝＝4，面积最小为π×(2)2＝20π．
选②．
圆心C(2，0)，r＝4，则圆心C到直线l的距离d＝＝2＞4，
所以直线l与圆C相离．
因为|EF|＝＝，
所以当CE⊥l，即|CE|＝d＝2时|EF|最小，
此时|EF|＝＝2．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
一、选择题
1．若直线l：ax＋y－2a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－2mx＋4＝0至少有一个交点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
微专题强化练(二)　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题
√
A　[将圆C的方程整理为(x－m)2＋y2＝m2－4，∴m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2．由圆C的标准方程可知圆心C(m，0)，半径r＝．将直线l的方程整理为a(x－2)＋y＝0，则直线l恒过定点(2，0)．∵直线l与圆C至少有一个交点，
∴(2，0)在圆C内部或圆上，即4－4m＋4≤0，解得m≥2．综上可知，实数m的取值范围为(2，＋∞)．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
2．已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
B　[将点(1，2)的坐标代入圆的方程x2＋y2－6x＝0，可得12＋22－6×1＝－1＜0，所以点(1，2)在圆内．由垂径定理可知，过该点的直线被圆所截得的最短弦为与过该点的直径垂直的弦．如图，A(3，0)，B(1，2)，C为最短弦与圆的一个交点，圆心A到最短弦所在直线的距离|AB|＝＝2．因为圆A的半径为3，BC⊥AB，所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得|BC|＝
＝＝1，所以弦长的最小值为2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
3．已知直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点，点A为定点(2，0)，则|PA|的最大值为(　　)
A． B．5＋
C．2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
√
D　[由题意，得圆心C(－3，m)到直线4x＋3y＋1＝0的距离为．
结合垂径定理，得＝，化简得|3m－11|＝5．
因为m＜3，故m＝2．
又|AC|＝＝，半径为，
所以|PA|的最大值为．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
4．(多选题)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
√
√
ACD　[由题意知直线AB：＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5，5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝．因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5，5)到点B的距离为＝，则|PB|＝＝3；当切点
在点P′的位置时，∠PBA最大，同理可得|PB|＝
3．所以C、D项正确．故选ACD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
5．(多选题)已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝3(a，b∈R)与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则下列结论错误的是(　　)
A．a2＋b2＝4
B．四边形OAMB的面积为
C．a＋b的最小值为－
D．是定值
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
√
√
ABC　[圆M的圆心M(a，b)，半径r＝，则△MAB为边长为的等边三角形，
由|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，得△OAB中AB边上的高h＝＝，
所以S△OAB＝＝，S△MAB＝×()2＝，
所以S四边形OAMB＝＝，故B错误．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
由两圆相交可得－1＜＜＋1，
两圆方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－(a2＋b2－2)＝0，
由|AB|＝，可得O到直线AB的距离为d＝h＝＝，即(a2＋b2－2)2＝a2＋b2，
所以a2＋b2＝4或a2＋b2＝1，故A错误．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
令a2＋b2＝4，因为2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以(a＋b)2≤8，
即－2≤a＋b≤2，
当且仅当a＝b时取等号，
则a＋b的最小值为－2；故C错误．
＝||·||·cos 60°＝＝，故D正确．故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
二、填空题
6．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝144，则的最小值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
1　[因为(x＋5)2＋(y－12)2＝144，表示圆心为A(－5，12)，半径r＝12的圆，
而表示圆上的点B(x，y)与原点(0，0)的距离，
又|AO|＝＝13，
所以的最小值为|AO|－r＝13－12＝1．]
1
7．已知点A(－4，0)，B(－1，0)，C(－4，3)，动点P，Q满足＝＝2，则||的取值范围是________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
[6，14]
[6，14]　[设P(x，y)，则|PA|＝，|PB|＝，
因为＝2，所以＝2，即x2＋y2＝4，因此点P在以原点O为圆心，2为半径的圆上，
同理可得点Q也在以原点O为圆心，2为半径的圆上．
又因为＝2，所以当P和Q重合，且C，O，P三点共线时，||取得最值，
因此||max＝2(|OC|＋2)＝＝2(|OC|－2)＝6．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
三、解答题
8．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0．
(1)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求m的值．
(2)当m＝1时，由直线l：x－y＋4＝0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB(A，B为切点)，试探究四边形PACB的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
[解]　(1)圆C的方程可化为：(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以5－m＞0，即m＜5，
方程x2＋y2－8x－12y＋36＝0可化为：(x－4)2＋(y－6)2＝16，因为两圆外切，所以圆心距d＝＝5＝＋4，
解得m＝4，符合题意，所以m＝4．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
(2)由题意可知四边形PACB的外接圆是以PC中点为圆心，为半径的圆，设P(a，a＋4)，则圆的方程为(x－a)(x－1)＋(y－a－4)(y－2)＝0，
整理得：x2＋y2－(a＋1)x－(a＋6)y＋3a＋8＝0，
式子可化为：x2＋y2－x－6y＋8－a(x＋y－3)＝0，
联立方程
整理得：2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－，
所以外接圆恒过定点(1，2)和．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
谢 谢！