【学霸笔记：同步精讲】第二章 微专题3 圆锥曲线中的证明与探索性问题 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共35张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题
1．证明问题
圆锥曲线证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素的位置关系，如某直线(曲线)过定点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些相关量相等或不等，某些量是定值等．
解决此类问题主要是依据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相应的性质应用、代数变形、数值运算等进行证明．
2．探索性问题
圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、抽象、概括等，是高考的常考题型，以解答题的形式出现，难度一般较大．
主要的命题角度有：①点的存在性；②曲线的存在性；③最值的存在性；④探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系．
常用的解题技巧：存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在．
类型1　证明问题
【例1】　已知抛物线C：y2＝4x，直线l交C于A，B两点．
(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；
(2)设A，若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．
[思路导引]　(1)判断在抛物线开口之内，且不在x轴上，直线l的斜率存在，设为k，且设，代入抛物线方程，作差后，结合中点坐标公式和直线的斜率公式可得k，再由点斜式方程可得所求直线方程．
(2)讨论直线l的斜率不存在和存在，且斜率存在时分k＝0和k≠0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，结合根与系数的关系和直线恒过定点的求法，即可得证．
[解]　(1)由于在抛物线开口之内，且不在x轴上，
所以直线l的斜率存在，设为k，且设A，
可得 4x2 ，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
即k＝＝2，则直线l的方程为y－1＝2，即y＝2x－5．
检验直线l存在，且方程为y＝2x－5．
(2)证明：若直线l的斜率不存在，可得x＝x1(其中x1＝x2)，将x＝x1代入抛物线方程y2＝4x，可得y1＝，
则y1y2＝－4x1＝－12，即x1＝3，直线AB过．
若直线l的斜率存在，设为k，当k≠0时，设l的方程为y＝kx＋b，将y＝kx＋b代入抛物线的方程消去x可得y2－y＋b＝0，
所以y1y2＝，即有－12＝，所以b＝－3k，
所以直线l的方程为y＝k，则直线l恒过定点．
当k＝0时，直线l的方程为y＝y1＝y2，
又y1y2＝－12，即 －12 < 0，此时不存在直线l满足题意．
综上，直线l恒过定点．
【例2】　已知椭圆C的方程为：＝1(a>b>0)，右焦点为F，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．
[解]　(1)由题意知 椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：当M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my＋，如图所示，
圆心O(0，0)到MN的距离d＝＝1 m2＝1，
联立 (m2＋3)y2＋2my－1＝0 4y2＋2my－1＝0，
|MN|＝，必要性成立．
下证充分性，当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n，
此时圆心O(0，0)到MN的距离d＝＝1，n2－t2＝1，
联立 (t2＋3)y2＋2tny＋n2－3＝0，
Δ＝4t2n2－4(t2＋3)(n2－3)＝12(t2－n2＋3)＝24，
且|MN|＝ t2＝1，∴n2＝2，
∵MN与曲线x2＋y2＝b2(x＞0)相切，∴n＞0，n＝，
∴直线MN的方程为x＝ty＋恒过点F，
∴M，N，F三点共线，充分性得证．
类型2　探索性问题
【例3】　已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点P(4，4)，其焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M(5，0)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；
(3)设点Q在抛物线C上，试问直线2x－y＋6＝0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)经过点P(4，4)，所以16＝8p，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)由(1)可知F(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－6x＋1＝0，
则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8，
点M(5，0)到直线y＝x－1的距离为．
所以△ABM的面积为．
(3)假设存在满足题意的点N，设N(t，2t＋6)，Q(x0，y0)，
因为四边形PQFN是平行四边形，所以，
所以(4－t，－2t－2)＝(x0－1，y0)，
所以
即Q(5－t，－2t－2)，
将点Q(5－t，－2t－2)代入抛物线方程，可得(－2t－2)2＝4(5－t)，即t2＋3t－4＝0，
解得t＝－4或1，所以Q(9，6)或Q(4，－4)．
经检验，四边形PQFN是平行四边形，
所以直线2x－y＋6＝0上存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形，此时Q(9，6)或Q(4，－4)．
【例4】　已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意，得解得a2＝2，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1．
直线PA的方程为y－1＝x，
所以xM＝，即M．
(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．
设N(xN，0)，则xN＝．
“存在点Q(0，yQ)，使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)，使得”，则yQ满足＝|xM||xN|．
因为xM＝＋n2＝1，
所以＝|xM||xN|＝＝2．
所以yQ＝或yQ＝－．
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且点Q的坐标为或．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
微专题强化练(三)　圆锥曲线中的证明与探索性问题
1．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)过点A(－3，2)，且离心率e＝．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)如果B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线BC的斜率为定值，并求出该定值．
2
4
3
题号
1
[解]　(1)由题意解得a2＝8，b2＝32，故双曲线的标准方程为＝1．
(2)证明：设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，设直线AB的方程为y－2＝k(x＋3)，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－2k(3k＋2)x－(3k＋2)2－32＝0，
2
4
3
题号
1
∴－3＋x1＝，y1＝，
∴B，
同理C，
∴kBC＝＝6为定值．
2
4
3
题号
1
2．已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)和F2(1，0)，短轴的一个端点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在一点P使得PF1⊥PF2？若存在求△PF1F2的面积，若不存在，请说明理由．
2
4
3
题号
1
[解]　(1)椭圆的两焦点分别为(－1，0)和(1，0)，短轴的一个端点为，
∴c＝1，b＝，∴a＝＝2，∴椭圆的标准方程为＝1．
(2)假设椭圆上存在点P(x0，y0)，使得PF1⊥PF2，
则＝(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝0，即＝1，
联立得＝－8，此方程无解．
∴椭圆上不存在点P，使得PF1⊥PF2．
2
4
3
题号
1
3．已知点A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为－．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C的右焦点为F，过M(4，0)的直线l与曲线C交于点D，E，求证：直线FD与直线FE的斜率之和为定值．
2
4
3
题号
1
[解]　(1)设P(x，y)．因为kPA·kPB＝－，
所以(x≠±2)，
化简得＝1(x≠±2)．
又A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点，
所以曲线C的方程为＝1．
2
4
3
题号
1
(2)证明：当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝ty＋4，D(x1，y1)，E(x2，y2)．
联立得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，
Δ＝144(t2－4)＞0，y1＋y2＝－，
y1y2＝，
所以，即3(y1＋y2)＝－2ty1y2．
2
4
3
题号
1
又F(1，0)，所以kFD＝，
所以kFD＋kFE＝＝0．
当直线l的斜率为0时，易知kFD＋kFE＝0．
综上，直线FD与直线FE的斜率之和为定值0．
2
4
3
题号
1
4．已知A(－2，0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点N(2，3)能否作一条直线m与轨迹C交于P，Q两点，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，请说明理由．
2
4
3
题号
1
[解]　(1)设M(x，y)，x≠±2，则直线AM的斜率kAM＝，直线BM的斜率kBM＝，由kAM·kBM＝3，得＝3，
整理得3x2－y2＝12(x≠±2)，
即轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．
(2)假设存在满足条件的直线m．
易知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为，Q(x2，y2)，
2
4
3
题号
1
则两式相减得＝0，即．
∵N(2，3)是线段PQ的中点，
∴＝2，即k＝2，
2
4
3
题号
1
故直线m的方程为2x－y－1＝0．
由得x2－4x＋13＝0，Δ＝－36＜0，此时直线m与轨迹C不相交．
故假设不成立，即不能作出满足条件的直线．
2
4
3
题号
1
谢 谢！