【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.1 空间向量及其运算 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共84张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　
空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其运算
学习任务 1．了解空间向量、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、平行向量、共面向量等概念．(数学抽象)
2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(数学运算)
3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(数学运算、逻辑推理)
国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1)，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要
登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2)，
那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　空间向量的概念
(1)定义：空间中既有______又有______的量．
(2)模(或长度)：向量的______．
(3)表示方法：
①几何表示法：可以用__________来直观地表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||.
②字母表示法：在印刷时，用加粗的斜体小写字母如a，b，c，…表示；在书写时，用带箭头的小写字母，，，…来表示．模为|a|，|b|，|c|，…或||，||，||….
大小
方向
大小
有向线段
(4)几类特殊的向量
名称 定义及表示
零向量 ______和______相同的向量，记作0
单位向量 模等于___的向量
相等向量 大小______、方向______的向量
相反向量 方向______，大小______的向量
始点
终点
1
相等
相同
相反
相等
名称 定义及表示
平行向量 方向______或者______的两个非零向量，通常规定零向量与任意向量平行
共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在__________内，则称这些向量共面
相同
相反
同一平面
思考　 1．0与0有何区别？
[提示]　(1)0是向量，是既有大小又有方向的量．
(2)0是实数，只有大小，没有方向．
(3)0的长度为0，对于任意向量a，都有|a|≥0.
提醒　(1)向量的模可以比较大小，而两个向量可以相等但不可以比较大小．
(2)通常规定零向量与任意向量平行，研究向量平行(共线)问题时勿遗漏这一特殊情况．例如，“a∥b，b∥c，则a∥c”这是一个假命题．
知识点2　空间向量的线性运算
空间 向量 的运 算 加法
减法
数乘 加法与 数乘运 算律 (1)加法交换律：a＋b＝b＋a；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)分配律：λa＋μa＝(λ＋μ)a，
λ(a＋b)＝λa＋λb
思考　2．空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？
[提示]　完全一致．凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们．
提醒　三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量．
知识点3　空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝，则称向量a与b______，记作______．
提醒　对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点：
(1)由概念知两个非零向量才有夹角，零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定零向量与任意向量都垂直．
(2)对空间任意两个非零向量a，b，有
①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉．
②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉．
③〈〉＝〈〉＝π－〈〉．
垂直
a⊥b
(2)空间向量的数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则_________________________称为a，b的数量积(或内积)，记作______．
(3)空间向量数量积的几何意义
①向量的投影
如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的_________．
|a||b|cos 〈a，b〉
a·b
投影a′
②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的_______________与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为___．
投影a′的数量
0
(4)空间向量的数量积的性质
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a|2＝a2.
③|a·b|≤|a||b|.
④(λa)·b＝λ(a·b)．
⑤a·b＝b·a(交换律)．
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
思考　3．空间向量的数量积的运算符号“·”能省略吗？能写成“×”吗？
[提示]　不能，不能．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (　　)
(2)任意两个空间向量可以比较大小． (　　)
(3)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． (　　)
(4)只有零向量的模等于0. (　　)
(5)空间中任意两个单位向量必相等． (　　)
×
√
×
×
×
2．(多选题)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，下列结论正确的是
(　　)
A．与是共线向量
B．与是共面向量
C．是共面向量
D．是共面向量
√
√
3．(源自北师大版教材习题改编)已知空间任意四点A，B，C，D，则＝__________.
　[＝＝＝.]
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝__________．
120°　[∵cos 〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.]
120°
类型1　对空间向量有关概念的理解
【例1】　(1)(多选题)给出下列结论，其中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝
D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
关键能力·合作探究释疑难
√
√
√
(2)如图所示是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，则下列向量相等的是(　　)
A．与　　
B．与
C．与
D．与
√
(1)BCD　(2)C　[(1)依据向量相等的概念，选项A错误；若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|.选项B正确；依据向量相等的概念，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝.选项C正确；依据向量相等的概念，若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.选项D正确．故选BCD.
(2)由正四棱柱可知，||＝||，但与方向相反，故A不符合题意；||＝||，但与方向不同，故B不符合题意；||＝||，且与方向相同，故C符合题意；||＝||，但与方向相反，故D不符合题意．故选C.]
反思领悟　解答空间向量有关概念问题的关键点和注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：①零向量不是没有方向，它的方向是任意的．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量的模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向相同．若两个向量的模相等，方向相反，则它们互为相反向量．
[跟进训练]
1．下列命题中正确的是(　　)
A．空间中任意两个向量共面
B．空间向量a，b，c共面，即它们所在直线共面
C．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行
D．若空间向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则b＝0
√
A　[空间中任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；空间三个向量共面，表示它们的有向线段通过平移后都能在同一平面内，而不是表示它们的直线在同一平面内，B错误；若a∥b，b∥c，但当b＝0时，a与c不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错误；由|a＋b|＝|a－b|两边平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，即a⊥b，D错误．]
类型2　空间向量的线性运算
【例2】　(1)在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　)
A．a－b＋c　　　 B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．a＋b－c
√
(2)如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量，并在图中标出化简得到的向量．
①；
②.
(1)B　[如图所示．
N为BC中点，则＝)，＝2，则＝，
∴＝＝)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.]
(2)[解]　①＝＝＝.
②＝()＋＝＝.
向量如图所示．
发现规律　1．空间向量的加法、减法运算的依据及技巧
(1)依据：________法则或____________法则．
①利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的______指向被减向量的______．
②平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差．
三角形
平行四边形
终点
终点
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：结合具体图形，利用________法则、____________法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
三角形
平行四边形
[跟进训练]
2．已知M，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD的中点，化简下列各式：
(1)；
(2))；
(3))．
[解]　如图所示，连接BG，MG.
(1)＝＝.
(2)因为G是CD的中点，所以＝2，
所以)＝＝.
(3)因为M是BC的中点，
所以＝2，
所以)＝＝.
类型3　数量积的运算及应用
【例3】　【链接教材P11例5】
如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)；
(2)；
(3)()·()．
[解]　(1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，
所以＝||||cos 〈〉
＝||||cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，
所以EF綉AC，
于是＝||||cos 〈〉
＝||||cos 〈〉
＝×1×1×cos 〈〉
＝×1×1×cos 120°＝－.
(3)()·()
＝()·()
＝()·(－2)
＝－2
＝1＋－2×＋1－2×＝1.
[母题探究]
(变条件，变问法)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长．
[解]　由题意知＝)，＝，
所以＝＝)，
所以||2＝(||2＋||2＋||2＋2－2－2)．
又||＝||＝||＝1，且〈〉＝60°，〈〉＝60°，〈〉＝60°，
所以＝＝＝，
所以||2＝＝，
即||＝，所以EH的长为.
【教材原题·P11例5】
【例5】　如图1-1-15所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
(2).
[解]　(1)(方法一)因为是长方体，而且AA′＝AD＝2，所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，
||＝AA′＝1，
||＝BC′＝＝2，
因此＝||||cos 〈〉＝2×1×＝2.
(方法二)由图可以看出，在上的投影是，而且||＝AA′＝1，
注意到与的方向相同，所以等于的长，即＝||＝2.
(2)由图可以看出，在上的投影是，
而且||＝AA′＝1，
注意到与的方向相反，所以等于的长的相反数，即＝－||＝－2.
反思领悟　求数量积的两种情况及方法
(1)已知向量的模和夹角：利用向量的数量积公式(此时要注意向量夹角的正确性)并结合运算律进行计算．
(2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．
提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材例题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°.求：
(1)；
(2)AC′的长(精确到0.1)．
[解]　(1)＝||||cos 〈〉
＝5×3×cos 60°＝7.5.
(2)||2＝()2
＝||2＋||2＋||2＋2()
＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)
＝98＋56，
所以AC′≈13.3.
1．下列命题是真命题的是(　　)
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量满足||>||，且与同向，则>
D．若两个非零向量与满足＝0，则∥
学习效果·课堂评估夯基础
√
D　[因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，选项A是假命题；由＝知，||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，选项B是假命题；因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法，选项C是假命题；因为＝0，所以＝
－，即与共线，故∥，选项D是真命题．]
2．如图所示，在三棱锥O-ABC中，D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.－a＋b－c
B．a－b＋c
C.－a＋b－c
D．a－b＋c
√
D　[＝＝－)＝a－b＋c，故选D.]
3．(教材P12练习B T4改编)在棱长为2的正四面体ABCD中，若E，F分别是BC，AD的中点，则＝(　　)
A．0　　　　B．　　　　C．1　 　　D．－1
√
C　[＝)·＝)＝×(2＋2)＝1.]
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝__________．
　[|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cos ＋22＝7，∴|a＋b|＝.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个向量的数量积与数乘向量有何不同？
[提示]　两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0·a＝0，而0·a＝0.
2．空间向量数量积的性质有什么作用？
[提示]　(1)向量模的应用：式子|a|＝可以解决有关空间长度问题．
(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得．
(3)两个向量a与b的数量积的几何意义：数量积a·b等于a在b上的投影的数量|a|cos 〈a，b〉与b的长度的乘积；要明确向量a在向量b上的投影仍是一个向量，其数量为|a|cos 〈a，b〉＝.
(4)数量积的应用：两非零向量a，b，若a·b＝0，则两向量对应的直线相互垂直．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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一、选择题
1．下列命题中为真命题的是(　　)
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
课时分层作业(一)　空间向量及其运算
A　[对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，当λ＞0时，λa与a同向，当λ＜0时，λa与a反向；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等．]
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2．已知三棱锥O-ABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MN＝2GN，则)＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[如图，连接ON，OG，由题可知G为MN的中点，则＋)＝)＝＝＝.]
3．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.则AC′的长为(　　)
A． B． C．12 D．2
√
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A　[记a＝，b＝，c＝，则a·b＝4×3×cos 90°＝0，同理b·c＝，a·c＝10，
由空间向量加法法则得＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝42＋32＋52＋2×＋2×10＝85，
∴||＝，即AC′＝.
故选A.]
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4．(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是(　　)
A．()－
B．()－
C．()＋
D．()－
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√
ABC　[对于选项A：()－＝＝，
对于选项B：()－＝＝＝，
对于选项C：()＋＝＝，
对于选项D：()－＝()－＝＝.
故选ABC.]
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√
5．(多选题)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，A1C∩AC1＝O，则(　　)
A．＝a2
B．＝a2
C．＝a2
D．＝a2
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BC　[对于A，因为AA1⊥BC，所以＝0，故A错误．对于B，＝·()＝||2＝a2，故B正确．对于C，＝·()＝||2＝a2，故C正确．对于D，＝＝a2，故D错误．故选BC.]
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二、填空题
6．(教材P12练习B T2改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．化简＝__________.
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　[＝)＝＝＝.]
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7．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝__________．
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　[因为|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c
＝1＋4＋1－4×－4×＋2×＝3，
所以|a－2b＋c|＝.]
8．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为__________，＝__________．
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60°　
1
60°　1　[法一：连接A1D，PD(图略)，则∠PA1D就是与所成角，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，
因此＝×cos 60°＝1.
法二：根据向量的线性运算可得
＝()·()＝＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝，则×cos 〈〉＝1，从而〈〉＝60°.]
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三、解答题
9．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′的中心，求下列各式中x，y的值：
(1)＝x()；
(2)＝＋x＋y；
(3)＝＋x＋y.
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[解]　如图所示．
(1)连接A′C′，C′D，＝，
所以x＝1.
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(2)＝＝＝)＝，
所以x＝，y＝.
(3)＝＝＝)＝，
所以x＝，y＝.
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√
10．(多选题)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　)
A．()2＝3||2
B．·()＝0
C．向量与向量的夹角为60°
D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||
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√
AB　[A中，由⊥⊥⊥，得()2＝＋||2＝，故A正确．
B中，连接AB1(图略)，则＝，由于⊥，即＝0，故B正确．
C中，异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但向量夹角为120°，故C不正确．
D中，||＝0，该正方体的体积应为||·||·||，故D不正确．]
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√
11．两个平面的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在这两个平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则AC与BD所成的角为(　　)
A．150° B．45°
C．60° D．120°
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C　[由题意，知＝0，＝0，＝.∴||2＝＋2＋2＋2＝62＋42＋82＋2×6×8×cos 〈〉＝(2)2，
∴cos 〈〉＝－，∴〈〉＝120°，∴AC与BD所成的角为60°.故选C.]
题号
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12．已知a，b是空间中相互垂直的单位向量，且|c|＝5，c·a＝c·b＝2，则|c－ma－nb|的最小值是__________.
题号
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3　[因为a，b互相垂直，所以a·b＝0，
所以|c－ma－nb|2＝c2＋m2a2＋n2b2－2ma·c－2nb·c＋2mna·b＝25＋m2＋n2－4m－4n＝(m－2)2＋(n－2)2＋9，当且仅当m＝n＝2时，|c－ma－nb|2取得最小值，最小值为9，则|c－ma－nb|的最小值为3.]
3
13．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其中AB与EF之比约为9∶10，则＝__________．
题号
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　[延长EA，FB，GC，HD相交于一点O(如图)，则＝＝，又＝，且＝，所以＝＝＝＝＝.]
题号
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14．如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：⊥；
(2)求〈〉．
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[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则a·b＝a·c＝b·c＝＝(a＋b＋c)，＝＝＝(b＋c－5a)，＝＝＝(a＋c－5b)．
所以＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)
＝(18a·b－9|a|2)＝＝0，
所以⊥.
题号
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(2)＝＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝＝.
又||＝＝，
＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos 〈〉＝＝.
又〈〉∈[0，π]，所以〈〉＝.
题号
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15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同，具体形状、大小由它的三组棱长a，b，c及棱间交角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表示．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的体对角线AC1的长为
__________．
题号
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　[将晶胞各顶点标上字母，如图所示，则＝＝＝.由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°，所以＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，故||＝.即AC1的
长为.]
题号
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谢 谢！