【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.2 空间向量基本定理 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共80张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　
空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.2　空间向量基本定理
学习任务 1．理解共线向量基本定理、共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(数学抽象)
2．理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题．(数学运算)
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而实现将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？
必备知识·情境导学探新知
如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p？
知识点1　共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得_______．
b＝λa
提醒　共线向量基本定理中的a≠0这一条件不能去掉，若b＝λa可得b∥a，反之，若b∥a，当a＝0且b≠0时，b＝λa就不成立了．
知识点2　共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在______的实数对(x，y)，使c＝________．
唯一
xa＋yb
[拓展]　如图所示，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y；或对空间任意一点O，有＝＋x＋y；或对空间任意一点O，有＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．
知识点3　空间向量基本定理
(1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c________，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0.
(2)相关概念
①线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的__________或____________．
不共面
xa＋yb＋zc
线性组合
线性表达式
②基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}．
③基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
④分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
思考　平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量应满足什么条件？
[提示]　空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基底，基底选定后，空间中任意向量均可由基底唯一表示．
提醒　(1)由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量这一条件．
(2)一组基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则{－a，b，2c}也可构成空间的一组基底． (　　)
(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基底，则a，b，c共面． (　　)
(3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一组基底． (　　)
×
√
√
[提示]　(1)√　{a，b，c}为空间的一组基底，则a，b，c不共面，－a，b，2c也不共面，故{－a，b，2c}也可构成空间的一组基底．
(2)√　由共面向量定理知(2)正确．
(3)×　由c＝λa＋μb知a，b，c共面，不能构成空间的一组基底．
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间的一组基底的是
(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
√
C　[由题意知不共面，可以作为空间向量的一组基底．]
3．已知O为空间中任意一点，若＝，则A，B，C，P四点(　　)
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
√
B　[因为点O为空间中任意一点，＝，且＝1，所以由空间向量基本定理可得A，B，C，P四点共面．故选B.]
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m＝__________，n＝__________．
　
－　
　－　[如图所示，可得＝＝)＝.因为＝＋m－n，
所以m＝，n＝－.]
类型1　共线向量基本定理的应用
【例1】　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D　　　　　 B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
关键能力·合作探究释疑难
√
(2)设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
(3)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝__________．
√
1
(1)A　(2)A　(3)1　[(1)因为＝＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥.又与有公共点A，所以A，B，D三点共线．
(2)已知m＋n＝1，则m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n ＝n() ＝n.
因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线．
(3)因为＝＝7e1＋(k＋6)e2，
且与共线，故＝x，即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又因为e1，e2不共线，所以
解得故k的值为1.]
反思领悟　证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟进训练]
1．已知空间三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋yn＋2p，且a∥b，求实数x，y的值．
[解]　因为a∥b(b≠0)，所以设b＝λa(λ∈R)，
即(x＋1)m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp.
因为向量m，n，p不共面，所以
解得故实数x，y的值分别为－，1.
类型2　共面向量定理的应用
【例2】　【链接教材P13例1】
已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解]　(1)易知＝3，
所以＝()＋()，
所以＝＝－，
所以向量共面．
(2)由(1)知向量共面，三个向量又有公共点M，所以M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
[母题探究]
1．(变条件)若把本例中条件“＝”改为“＋2＝6－3”，判断点P是否与点A，B，C共面．
[解]　因为3－3＝＋2－3＝()＋2()，
所以3＝＋2，即＝－2－3.
根据共面向量定理可知，点P与点A，B，C共面．
2．(变条件)若把本例条件变成“＝4”，判断点P是否与点A，B，C共面．
[解]　设＝＋x＋y(x，y∈R)，则
＋x＋y＝4，
所以＋x()＋y()＋＝4，所以(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0.
由题意知均为非零向量，所以x，y满足：显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．
3．(变解法)上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？
[解]　(1)由题意知，＝.
因为＝1，所以点P与点A，B，C共面．
(2)因为＝4，而4－1－1＝2≠1，
所以点P与点A，B，C不共面．
【教材原题·P13例1】
【例1】　如图1-1-17所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k＝k，其中0≤k≤1.
求证：，a，c共面．
[证明]　因为＝k＝kb＋kc，
＝＝a＋k＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb，
所以＝＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.
由共面向量定理可知，，a，c共面．
反思领悟　共面向量定理应用的两种题型
(1)证明三个向量共面(或四点P，A，B，C共面)，可利用如下方法进行：
①＝x＋y(x，y∈R)．
②对空间任意一点O，x，y，z∈R，
(ⅰ)＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(ⅱ)＝＋x＋y.
③∥(或∥或∥)．
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
[跟进训练]
2．(源自苏教版教材例题)如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
[证明]　如题图，因为点M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝.
同理＝.
又因为＝＝－，
所以＝＝＝＝.
又与不共线，根据共面向量定理，可知共面．
因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.
类型3　空间向量基本定理及其应用
【例3】　如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用向量a，b，c表示向量；
(2)求cos 〈〉．
[解]　(1)＝＝)＝
＝
＝
＝
＝＝a＋b＋c.
(2)由题意知，＝＝＝1，a·b＝a·c＝b·c＝＝a－b，
则＝＝＝1，
＝＝，
＝·(a－b)＝a2＋a·b＋a·c－a·b－b2－b·c＝－，所以cos 〈〉＝＝－.
发现规律　1．空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是______的．
2．用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用________表示．
3．在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量组成基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从__________出发的三条棱所对应的向量组成基底．
唯一
基向量
同一顶点
[跟进训练]
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
[解]　(1)连接AC(图略)＝＝－＝a－b－c，
＝＝＝－)＋)＝(a－c)．
(2)因为＝)＝(－)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各组中不能构成空间的一组基底的是(　　)
A．a，2b，3c
B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋b＋c，b＋c，c
D．a＋2b，2b＋3c，3a－9c
学习效果·课堂评估夯基础
√
D　[由于a，b，c不共面，易判断A，B，C中三个向量也不共面，可作为一组基底，对于D，3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，三个向量共面，不能构成基底．]
2．给出下列命题：
①若p与a，b共面，则p＝xa＋yb(x，y∈R)；②若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p与a，b共面；③若a，b共线，则a与b所在直线平行；④若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面．
其中真命题的个数为(　　)
A．0　　 　B．1　　 　C．2　　 　D．3
√
B　[由共面向量定理可知，a，b共线时，①错误，②正确；
若a，b共线，则a与b可能在同一条直线上，所以③错误；
当b＝0时，a与c不一定共线，所以④错误；
向量a，b，c共面是指三个向量能平移到同一个平面上，但三个向量所在的直线可以共面也可以异面，所以⑤错误．故真命题的个数为1.]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1C1上， ＝且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________．
　[由题意可得：＝，则＝＝＝＝，
∴x＝1，y＝z＝，则x＋y＋z＝.]
4．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则＝__________，||＝__________.
3
3　　[设＝a，＝b，＝c，由题意得：|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝1，b·c＝1，＝(b＋c)·(b＋a)＝b2＋b·c＋b·a＋a·c＝1＋1＋0＋1＝3，
||＝|a＋b＋c|
＝
＝＝.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用基底表示向量有哪些关键步骤？
[提示]　(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
2．用基底表示向量有哪些常用方法？
[提示]　(1)线性运算法：用基底表示空间向量，一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
(2)待定系数法是用基底表示向量的重要方法．利用待定系数法解决有关问题时，先利用未知系数确定向量的线性表示，再根据空间向量分解定理建立对应系数之间的关系，将问题转化为方程(组)问题求解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
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2
4
6
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10
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12
13
√
14
15
一、选择题
1．(教材P16练习A T1改编)若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(　　)
A．m，n，p共线　　　 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
课时分层作业(二)　空间向量基本定理
D　[p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．]
题号
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√
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2．O，A，B，C为空间四点，且向量不能构成空间的一组基底，则(　　)
A.共线　　　 B．共线
C．共线 D．O，A，B，C四点共面
D　[由不能构成空间的一组基底知三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]
3．(多选题)已知下列命题，正确的有(　　)
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＝0
B．|a＋b|＝|a|＋|b|是a，b共线的充要条件
C.若a，b，c是空间三向量，则|a－b|≤|a－c|＋|c－b|
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
√
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√
AC　[对于B：当a与b反向时，|a＋b|≠|a|＋|b|，所以B不成立．对于D：当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，否则不共面，故D错误．]
题号
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√
4．下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝0
D．＝0
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C　[在C中，由＝0，得＝－，则为共面向量，即M，A，B，C四点共面；对于A，由＝，其系数和1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面；对于B，由＝，其系数和≠1，所以M，A，B，C四点不共面；对于D，由＝0，得＝－()，其系数和不为1，所以M，A，B，C四点不共面．]
题号
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√
5．(多选题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c.若＝＝，则(　　)
A．＝a＋b＋c
B．＝a＋b＋c
C．A，P，D′三点共线
D．A，P，M，D四点共面
题号
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√
BD　[＝＝＝a＋b－c，A选项错误．
＝)＝)＝a＋b＋c，B选项正确．
＝，则P是A′C的中点，
＝)＝)＝(a＋b＋c)，＝＝b＋c，则不存在实数λ使＝λ，所以C选项错误．
＝＝(a＋b＋c)＝b＝，由于P，M 直线AD，所以A，P，M，D四点共面，所以D选项正确．故选BD.]
题号
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二、填空题
6．(教材P17练习A T5改编)已知空间的一组基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__________，y＝__________．
题号
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1　
－1　
1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得]
题号
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7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．用
表示，则＝____________________．
题号
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　[＝＝＝)＋＝.]
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8．已知{a，b，c}可作为空间向量的一组基底，若d＝3a＋4b＋c, 且d在基底{a＋2b，b＋3c，c＋a}下满足d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，则x＝_________.
题号
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2　[d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(2x＋y)b＋(3y＋z)c，因为d＝3a＋4b＋c，所以，解得]
2
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，
用a，b，c表示.
题号
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[解]　(1)因为O为AC的中点，＝a，＝b，＝c，
所以＝＝)＝(a＋b)，
所以＝＝－c＋a＋b＝a＋b－c.
(2)因为＝，
所以＝＝－(a＋b)
＝－c－b＋(a＋b)＝a－b－c.
题号
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√
10．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝＝＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点．设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
题号
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B　[因为＝x＋y＋z＝x＋y，又O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1；同理可得＋z＝1.由O在平面B1BDD1内，易得x＝y，解得x＝y＝，z＝，所以x＋y＋z＝，故选B.]
题号
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√
11．(多选题)如图，在三棱柱中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则(　　)
A．＝a＋b＋c
B．||＝
C．⊥
D．cos 〈〉＝
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√
BD　[＝＝＝)＋)＝＝a＋b＋c，故A错误；由题可知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝，所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝，所以||＝，故B正确；
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因为＝a＋c，＝c＋b－a，
则cos 〈〉＝
＝
＝＝＝，故C错误，D正确．]
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12．已知空间单位向量e1，e2，e3，e1⊥e2，e2⊥e3，e1·e3＝，若空间向量m＝xe1＋ye2＋ze3满足：m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5，则x＋y＋z＝__________，|m|＝__________.
题号
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8
　　
8　　[根据题意知
即解得
所以x＋y＋z＝8，|m|＝.]
题号
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13．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝__________，向量__________(选填“能”或“不能”)构成一组基底．
题号
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3a－b＋3c　
不能
3a－b＋3c　不能　[＝)＝)＋)＝＝)＝3a－b＋3c.
假设共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－b＋3c.
题号
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所以
解得所以共面，
所以不能构成一组基底．]
题号
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14．《九章算术》中的堑堵是指两底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，AA1＝AC＝AB＝1，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用基底{a，b，c}表示向量；
(2)求的值．
题号
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[解]　(1)连接AM，AN(图略)．
∵G是MN的中点，
∴＝)＝)＝，∴＝a＋b＋c.
(2)∵＝＝－a＋b＋c，
∴＝·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋c2－a·b＋a·c＋b·c.
又a·b＝a·c＝b·c＝0，|a|＝2，|b|＝|c|＝1，
∴＝－a2＋b2＋c2＝－×4＋×1＋×1＝－1.
题号
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15．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，N是AB的中点．
(1)用a，b，c表示向量.
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？
若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．
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[解]　(1)∵N是AB的中点，∴＝，
∴＝＝
＝－)＝－a＋b－c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设＝λ(λ∈[0，1])，
显然λ＝λb，＝＝c－a＋λb，
∵AM⊥A1N，∴＝0，
题号
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即(c－a＋λb)·＝0，
∴－c·a＋c·b－c2＋a2－a·b＋c·a－λa·b＋λb2－λb·c＝0，∵CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，
∴c·a－c2＋a2－a·b＋λb2＝0，
即×1×1×－12＋×12－×1×1×λ×12＝0，
解得λ＝，
所以当C1M＝C1B1时，AM⊥A1N.
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谢 谢！